Diagrama de Coxeter-Dynkin

Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos fundamentales finitos de Coxeter

Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos afines fundamentales de Coxeter

En geometría, un diagrama de Coxeter-Dynkin (también diagrama de Coxeter o gráfico de Coxeter) es un grafo con enlaces etiquetados numéricamente (llamados ramas) que representa las relaciones espaciales entre una colección de espejos (o hiperplanos reflectores). Describe una construcción caleidoscópica: cada "nodo" gráfico representa un espejo (el dominio de una faceta) y la etiqueta ligada a una rama codifica el orden del ángulo diedro entre cada dos espejos (en un dominio de una cara), es decir, la cantidad por la que se tiene que multiplicar el ángulo entre los planos reflectantes para obtener 180 grados. Una rama sin etiquetar representa implícitamente el orden 3 (60 grados).

Cada diagrama representa un grupo de Coxeter, que se clasifican por sus diagramas asociados.

Los diagramas de Dynkin son objetos estrechamente relacionados, que difieren de los diagramas de Coxeter en dos aspectos: en primer lugar, las ramas etiquetadas como "4" o mayores están dirigidas, mientras que los diagramas de Coxeter son no dirigidos; en segundo lugar, los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional (la restricción cristalográfica), a saber, que las únicas etiquetas de rama permitidas son 2, 3, 4 y 6. Los diagramas de Dynkin guardan una correspondencia directa con los sistemas raíz, por lo que se usan para clasificarlos. Esto implica a su vez que forman álgebras de Lie semisimples.^[1]

Descripción

Las ramas de un diagrama de Coxeter-Dynkin están etiquetadas con un número racional p, que representa un ángulo diedro de 180°/p. Cuando $p = 2$ el ángulo es de 90° y los espejos no tienen interacción, entonces la rama puede omitirse del diagrama. Si una rama no está etiquetada, se supone que tiene $p = 3$ , que representa un ángulo de 60°. Dos espejos paralelos tienen una rama marcada con "∞". En principio, los n espejos pueden representarse mediante un grafo completo en el que se dibujan todas las $n (n - 1) / 2$ ramas. En la práctica, casi todas las configuraciones interesantes de los espejos incluyen varios ángulos rectos, por lo que debe tenerse en cuenta que las ramas correspondientes se omiten.

Los diagramas se pueden etiquetar por su estructura gráfica. Las primeras formas estudiadas por Ludwig Schläfli son los ortoesquemas, que poseen gráficos lineales que generan politopos regulares y panales regulares. Los plagioesquemas son símplex representados por gráficos ramificados, y los cicloesquemas son símplex representados por gráficos cíclicos.

Matriz de Schläfli

Cada diagrama de Coxeter tiene su correspondiente matriz de Schläfli (llamada así por Ludwig Schläfli), con elementos de matriz $a i,j = a j,i = -2cos (π / p)$ , donde p es el orden de las ramas entre los pares de espejos. Al igual que una matriz de cosenos, también se denomina matriz de Gram, en referencia al matemático danés Jørgen Pedersen Gram (1850–1916). Todas las matrices de Schläfli del grupo de Coxeter son simétricas porque sus vectores raíz están normalizados. Se relaciona estrechamente con la matriz de Cartan, utilizada en los diagramas de Dynkin, gráficos similares (aunque dirigidos) en los casos limitados a p = 2,3,4 y 6, que NO son simétricos en general.

El determinante de la matriz de Schläfli (llamado schläfliano) y su signo determinan si el grupo es finito (positivo), afín (cero), o indefinido (negativo). Esta regla se llama criterio de Schläfli. ^[2]

Los autovalores de la matriz de Schläfli determinan si un grupo de Coxeter es de tipo finito (todo positivo), tipo afín (todo no negativo, y al menos uno es cero) o tipo indefinido (de otra manera). El tipo indefinido a veces se subdivide aún más, en hiperbólicos y otros grupos de Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbólicos de Coxeter. Se usa la siguiente definición: un grupo de Coxeter con diagrama conectado es hiperbólico si no es de tipo finito ni afín, pero cada subdiagrama conectado es de tipo finito o afín. Un grupo de Coxeter hiperbólico es compacto si todos los subgrupos son finitos (es decir, tienen determinantes positivos) y paracompacto si todos sus subgrupos son finitos o afines (es decir, tienen determinantes no negativos).

Los grupos finitos y afines también se denominan elípticos y parabólicos respectivamente. Los grupos hiperbólicos también se llaman grupos de Lannér, en referencia a F. Lannér, que enumeró los grupos hiperbólicos compactos en 1950,^[3] y también grupos de Koszul (o cuasi-Lannér) para los grupos paracompactos.

Grupos de Coxeter de rango 2

Para el rango 2, el tipo de un grupo Coxeter está completamente fijado por el determinante de la matriz de Schläfli, ya que es simplemente el producto de sus valores propios: tipo finito (determinante positivo), tipo afín (determinante cero) o hiperbólico (determinante negativo). Coxeter usa una notación de corchetes equivalente, que enumera las secuencias de órdenes de ramas como un sustituto de los diagramas gráficos de ramas y nodos. También existen soluciones racionales [p/q], , con máximo común divisor (p, q) = 1, que definen dominios fundamentales superpuestos. Por ejemplo, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. y 6/5.

Tipo	Finito					Afín	Hiperbólico
Geometría					...
Coxeter	[ ]	[2]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Orden	2	4	6	8	2p	∞
Los ejes de simetría especular están coloreados para corresponder con los nodos del diagrama de Coxeter. Los dominios fundamentales están coloreados alternativamente

Diagramas de grupos de Coxeter de rango 2
Orden p	Grupo	Diagrama de Coxeter		Matriz de Schläfli
Orden p	Grupo	Diagrama de Coxeter		$\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$	Determinante (4-a₂₁*a₁₂)
Finito (Determinante>0)
2	I₂(2) = A₁xA₁		[2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	4
3	I₂(3) = A₂		[3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3
3/2			[3/2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3
4	I₂(4) = B₂		[4]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2
4/3			[4/3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2
5	I₂(5) = H₂		[5]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5-{\sqrt {5}})/2$ ~1.38196601125
5/4			[5/4]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&\phi \\\phi &2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5-{\sqrt {5}})/2$ ~1.38196601125
5/2			[5/2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1-\phi \\1-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5+{\sqrt {5}})/2$ ~3.61803398875
5/3			[5/3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&\phi -1\\\phi -1&2\end{smallmatrix}}\right]$	$(5+{\sqrt {5}})/2$ ~3.61803398875
6	I₂(6) = G₂		[6]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	1
6/5			[6/5]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	1
8	I₂(8)		[8]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	$2-{\sqrt {2}}$ ~0.58578643763
10	I₂(10)		[10]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	$(3-{\sqrt {5}})/2$ ~0.38196601125
12	I₂(12)		[12]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	$2-{\sqrt {3}}$ ~0.26794919243
p	I₂(p)		[p]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]$	$4\sin ^{2}(\pi /p)$
Afín (Determinante=0)
∞	I₂(∞) = ${\tilde {I}}_{1}$ = ${\tilde {A}}_{1}$		[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
Hiperbólico (Determinante≤0)
∞			[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
∞			[iπ/λ]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda )\\-2cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]$	$-4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0$

Visualizaciones geométricas

El diagrama de Coxeter-Dynkin puede verse como una descripción gráfica del dominio fundamental de los espejos. Un espejo representa un hiperplano dentro de un espacio euclídeo, esférico o hiperbólico de una dimensión dada. En espacios 2D, un espejo es una recta, y en 3D un espejo es un plano.

Estas visualizaciones muestran los dominios fundamentales para grupos euclídeos 2D y 3D, y grupos esféricos 2D. Para cada uno, el diagrama de Coxeter puede deducirse identificando los espejos del hiperplano y etiquetando su conectividad, ignorando los ángulos diédricos de 90 grados (orden 2).

Grupos de Coxeter en el plano euclídeo con sus diagramas equivalentes. Las reflexiones se etiquetan como nodos gráficos R1, R2, etc. y se colorean por su orden de reflexión. Las reflexiones a 90 grados están inactivas y, por lo tanto, se suprimen del diagrama. Las simetrías especulares paralelas están conectadas por una rama etiquetada con ∞. El grupo prismático ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$ se muestra como una duplicación de ${\tilde {C}}_{2}$ , pero también se puede crear en forma de dominios rectangulares al duplicar los triángulos ${\tilde {G}}_{2}$ . ${\tilde {A}}_{2}$ es una duplicación del triángulo ${\tilde {G}}_{2}$ .
Muchos grupos de Coxeter en geometría hiperbólica pueden extenderse de los casos euclídeos como una serie de soluciones hiperbólicas.
Grupos de Coxeter en el espacio 3d con sus diagramas. Los espejos (caras triangulares) están etiquetados por el vértice opuesto 0..3. Las ramas se colorean por su orden de reflexión. ${\tilde {C}}_{3}$ llena 1/48 del cubo. ${\tilde {B}}_{3}$ llena 1/24 del cubo. ${\tilde {A}}_{3}$ llena 1/12 del cubo.	Grupos de Coxeter en la esfera, con sus diagramas equivalentes. El dominio fundamental se describe en amarillo. Los vértices del dominio (y las ramas del gráfico) están coloreados por su orden de reflexión.

Grupos de Coxeter finitos

Véase también familias de politopos para obtener una tabla de los politopos uniformes de nodo final asociados con estos grupos.

Se utilizan indistintamente tres simbologías diferentes para definir los mismos grupos: como una letra/número, como un conjunto de números entre corchetes y como el diagrama de Coxeter.
Los grupos D_n bifurcados son versiones semi o alternadas de los grupos C_n regulares.
Los grupos bifurcados D_n y E_n también están etiquetados con un superíndice [3^a,b,c] donde a, b, y c son los números de segmentos en cada una de las tres ramas.

Diagramas de Coxeter-Dynkin finitos conectados (rangos de 1 a 9)
Rank	Grupos de Lie simples			Grupos de Lie excepcionales
Rank	${A}_{1+}$	${B}_{2+}$	${D}_{2+}$	${E}_{3-8}$	${F}_{3-4}$	${G}_{2}$	${H}_{2-4}$	${I}_{2}(p)$
1	A₁=[ ]
2	A₂=[3]	B₂=[4]	D₂=A₁A₁			G₂=[6]	H₂=[5]	I₂[p]
3	A₃=[3²]	B₃=[3,4]	D₃=A₃	E₃=A₂A₁	F₃=B₃		H₃
4	A₄=[3³]	B₄=[3²,4]	D₄=[3^1,1,1]	E₄=A₄	F₄		H₄
5	A₅=[3⁴]	B₅=[3³,4]	D₅=[3^2,1,1]	E₅=D₅
6	A₆=[3⁵]	B₆=[3⁴,4]	D₆=[3^3,1,1]	E₆=[3^2,2,1]
7	A₇=[3⁶]	B₇=[3⁵,4]	D₇=[3^4,1,1]	E₇=[3^3,2,1]
8	A₈=[3⁷]	B₈=[3⁶,4]	D₈=[3^5,1,1]	E₈=[3^4,2,1]
9	A₉=[3⁸]	B₉=[3⁷,4]	D₉=[3^6,1,1]
10+	..	..	..	..

Aplicación con politopos uniformes


Al construir politopos uniformes, los nodos se marcan como "activos" mediante un anillo si un punto generador está fuera del espejo, creando una nueva arista entre un punto generador y su imagen reflejada. Un nodo sin anillo representa un espejo "inactivo", que no genera puntos nuevos.	Se pueden usar dos espejos ortogonales para generar un cuadrado, , visto aquí con un punto generador rojo y 3 copias virtuales a través de los espejos. El generador tiene que estar fuera de ambos espejos en este caso ortogonal para generar un interior. El marcado del anillo supone que los anillos activos tienen generadores a la misma distancia de todos los espejos, mientras que un rectángulo también puede representar una solución no uniforme.

Los diagramas de Coxeter-Dynkin pueden enumerar explícitamente casi todas las clases de politopos uniformes y de teselados uniformes. Cada politopo uniforme con simetría reflexiva pura (todos, menos algunos casos especiales, tienen simetría reflexiva pura) puede representarse mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin con permutaciones de "márgenes". Cada politopo uniforme puede generarse usando tales espejos y un único punto generador: las imágenes especulares crean nuevos puntos como reflejos, y entonces se pueden definir las aristas del polítopo como segmentos entre cada punto y sus imágenes en los espejos. Las caras se generan por el reflejo repetido de las aristas que finalmente envuelven al generador original; la forma final, así como las facetas de dimensiones superiores, también se crean cuando la cara se refleja para encerrar un área.

Para especificar los vértices generadores, se marcan uno o más nodos con anillos, lo que significa que el vértice no está en el espejo(s) representado por el nodo(s) anillado (si se marcan dos o más espejos, el vértice es equidistante de ellos). Un espejo está "activo" (crea reflejos) solo con respecto a los puntos que no están en él. Un diagrama necesita al menos un nodo activo para representar un politopo. Un diagrama no conectado (subgrupos separados por ramas de orden 2 o espejos ortogonales) requiere al menos un nodo activo en cada subgrafo.

Todos los politopos regulares, representados por los símbolos de Schläfli { $p, q, r, ...$ }, pueden tener sus dominios fundamentales representados por un conjunto de n espejos con un diagrama de Coxeter-Dynkin relacionado con una línea de nodos y ramas etiquetadas por $p, q, r, ...,$ con el primer nodo anillado.

Los politopos uniformes con un anillo corresponden a puntos generadores en las esquinas del dominio fundamental simplex. Dos anillos corresponden a los bordes de simplex y tienen un grado de libertad, con solo el punto medio como la solución uniforme para longitudes de arista iguales. En general, los k puntos generadores con anillo están situados sobre las (k-1) caras del símplex, y si todos los nodos están anillados, el punto del generador está en el interior del símplex.

El caso especial de politopos uniformes con simetría no reflexiva está representado por un marcado secundario en el que se elimina el punto central de un nodo anillado (llamado "agujero"). Estas formas son alternancias de politopos con simetría reflexiva, lo que implica que los nodos alternativos se eliminan. El politopo resultante tendrá una subsimetría del grupo de Coxeter original. Una alternancia truncada se llama achatada.

Un solo nodo representa un solo espejo. Esto se llama grupo A₁. Si está anillado, esto crea un segmento perpendicular al espejo, representado como {}.
Dos nodos no conectados representan dos espejos perpendiculares. Si ambos nodos están anillados, se puede crear un rectángulo o un cuadrado cuando el punto está a la misma distancia de ambos espejos.
Dos nodos unidos por una rama de orden n pueden crear un n-ágono si el punto está en un espejo y un 2n-ágono si el punto está fuera de ambos espejos. Esto forma el grupo I₁(n).
Dos espejos paralelos pueden representar un grupo de polígonos infinitos I₁(∞), también llamado Ĩ₁.
Tres espejos formando un triángulo generan imágenes como las vistas en un caleidoscopio tradicional y pueden representarse por tres nodos conectados en un triángulo. Los ejemplos repetidos tendrán ramas etiquetadas como (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), aunque las dos últimas se pueden dibujar como una línea (con las ramas 2 omitidas). Estas configuraciones generarán teselados uniformes.
Tres espejos pueden generar poliedros uniformes; incluyendo números racionales se genera el conjunto de los triángulos de Schwarz.
Tres espejos, con uno perpendicular a los otros dos, pueden formar un prisma uniforme.


Hay 7 construcciones uniformes reflexivas dentro de un triángulo general, basadas en 7 posiciones del generador topológico dentro del dominio fundamental. Cada espejo activo genera una arista, con dos espejos activos se tienen generadores en los lados del dominio y con tres espejos activos se tiene el generador en su interior. Se pueden resolver uno o dos grados de libertad para una posición única imponiendo iguales longitudes de arista del poliedro o teselado resultante.	Ejemplo de 7 generadores en la simetría octaedral, triángulo de dominio fundamental (4 3 2), con la octava generación de achatado como alternancia

Los duales de los politopos uniformes a veces están marcados con una barra perpendicular que reemplaza a los nodos anillados y una barra con un orificio para los nodos de los achatados. Por ejemplo, representa un rectángulo (como dos espejos ortogonales activos), y representa su polígono dual, el rombo.

Ejemplo de poliedros y teselados

Por ejemplo, el grupo de Coxeter B₃ tiene un diagrama . Esta configuración también se denomina simetría octaédrica.

Hay 7 poliedros de aristas uniformes convexos que pueden construirse a partir de este grupo de simetría y otros 3 a partir de sus subsimetrías alternantes, cada uno con un diagrama de Coxeter-Dynkin marcado de forma única. El símbolo de Wythoff representa un caso especial del diagrama de Coxeter para gráficos de rango 3, con las 3 órdenes de rama nombradas, en lugar de omitir las ramas de orden 2. El símbolo de Wythoff puede contemplar la forma de "achatado", pero no las alternancias generales sin todos los nodos anillados.

Poliedros octaédricos uniformes
Simetría: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= or	= or	=

Duales a los poliedros uniformes
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Se pueden generar las mismas construcciones en grupos de Coxeter desarticulados (ortogonales) como el prisma uniforme, y se pueden ver más claramente como teselados de diedros y hosoedros en la esfera, como esta familia [6]×[] o [6,2]:

Poliedros esféricos diédricos hexagonales uniformes
Simetría: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Duales a los uniformes

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

En comparación, la familia [6,3], , produce un conjunto paralelo de 7 teselados uniformes del plano euclídeo, y sus duales. De nuevo hay 3 alternancias y alguna versión de semi simetría.

Teselados hexagonales/triangulares uniformes
Simetría: [6,3], (*632)							[6,3]⁺ (632)	[6,3⁺] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}


6³	3.12²	(3.6)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Uniform duals

V6³	V3.12²	V(3.6)²	V6³	V3⁶	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3⁴.6	V3⁶

En el plano hiperbólico [7,3], la familia produce un conjunto paralelo de teselados uniformes y sus duales. Solo hay 1 alternancia (achatado) ya que todos los órdenes de las ramas son impares. Se pueden ver muchas otras familias hiperbólicas de teselados uniformes en teselados uniformes en el plano hiperbólico.

Teselados heptagonales/triangulares uniformes
Simetría: [7,3], (*732)							[7,3]⁺, (732)


{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Duales uniformes


V7³	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Grupos afines de Coxeter

Las familias de teselaciones euclídeas uniformes convexas están definidas por los grupos de Coxeter afines. Estos grupos son idénticos a los grupos finitos con la inclusión de un nodo agregado. Para estos casos, se mantienen las asignaciones de letras, con una virgulilla ("~") por encima de la letra. El índice se refiere al grupo finito, por lo que el rango es el índice más 1. Los símbolos de Witt para los grupos afines figuran a continuación precedidos con la palabra también:

${\tilde {A}}_{n-1}$ : los diagramas de este tipo son ciclos (también P_n)
${\tilde {C}}_{n-1}$ está asociado con la familia de teselaciones regulares hipercúbicas { $4, 3, ...., 4$ } (también R_n)
${\tilde {B}}_{n-1}$ relacionado con C por un espejo eliminado (también S_n)
${\tilde {D}}_{n-1}$ relacionado con C por dos espejos eliminados (también _nX)
${\tilde {E}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$ , ${\tilde {E}}_{8}$ (también T₇, T₈, T₉)
${\tilde {F}}_{4}$ forma la teselación regular {3,4,3,3} (también U₅)
${\tilde {G}}_{2}$ forma los dominios fundamentales triangulares 30-60-90 (también V₃)
${\tilde {I}}_{1}$ son dos espejos paralelos (= ${\tilde {A}}_{1}$ = ${\tilde {C}}_{1}$ ) (también W₂)

Los grupos compuestos también se pueden definir como proyecciones ortogonales. El uso más común de ${\tilde {A}}_{1}$ , como ${\tilde {A}}_{1}^{2}$ , representa dominios cuadrados o rectangulares (tableros de ajedrez) en el plano euclídeo. Y ${\tilde {A}}_{1}{\tilde {G}}_{2}$ representa los dominios fundamentales con forma de prisma triangular en el espacio euclídeo tridimensional.

Gráficos afines de Coxeter entre 2 y 10 nodos
Rango	${\tilde {A}}_{1+}$ (P₂₊)	${\tilde {B}}_{3+}$ (S₄₊)	${\tilde {C}}_{1+}$ (R₂₊)	${\tilde {D}}_{4+}$ (Q₅₊)	${\tilde {E}}_{n}$ (T_n+1) / ${\tilde {F}}_{4}$ (U₅) / ${\tilde {G}}_{2}$ (V₃)
2	${\tilde {A}}_{1}$ =[∞]		${\tilde {C}}_{1}$ =[∞]
3	${\tilde {A}}_{2}$ =[3^[3]] *		${\tilde {C}}_{2}$ =[4,4] *		${\tilde {G}}_{2}$ =[6,3] *
4	${\tilde {A}}_{3}$ =[3^[4]] *	${\tilde {B}}_{3}$ =[4,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{3}$ =[4,3,4] *	${\tilde {D}}_{3}$ =[3^1,1,3⁻¹,3^1,1] = ${\tilde {A}}_{3}$
5	${\tilde {A}}_{4}$ =[3^[5]] *	${\tilde {B}}_{4}$ =[4,3,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{4}$ =[4,3²,4] *	${\tilde {D}}_{4}$ =[3^1,1,1,1] *	${\tilde {F}}_{4}$ =[3,4,3,3] *
6	${\tilde {A}}_{5}$ =[3^[6]] *	${\tilde {B}}_{5}$ =[4,3²,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{5}$ =[4,3³,4] *	${\tilde {D}}_{5}$ =[3^1,1,3,3^1,1] *
7	${\tilde {A}}_{6}$ =[3^[7]] *	${\tilde {B}}_{6}$ =[4,3³,3^1,1]	${\tilde {C}}_{6}$ =[4,3⁴,4]	${\tilde {D}}_{6}$ =[3^1,1,3²,3^1,1]	${\tilde {E}}_{6}$ =[3^2,2,2]
8	${\tilde {A}}_{7}$ =[3^[8]] *	${\tilde {B}}_{7}$ =[4,3⁴,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{7}$ =[4,3⁵,4]	${\tilde {D}}_{7}$ =[3^1,1,3³,3^1,1] *	${\tilde {E}}_{7}$ =[3^3,3,1] *
9	${\tilde {A}}_{8}$ =[3^[9]] *	${\tilde {B}}_{8}$ =[4,3⁵,3^1,1]	${\tilde {C}}_{8}$ =[4,3⁶,4]	${\tilde {D}}_{8}$ =[3^1,1,3⁴,3^1,1]	${\tilde {E}}_{8}$ =[3^5,2,1] *
10	${\tilde {A}}_{9}$ =[3^[10]] *	${\tilde {B}}_{9}$ =[4,3⁶,3^1,1]	${\tilde {C}}_{9}$ =[4,3⁷,4]	${\tilde {D}}_{9}$ =[3^1,1,3⁵,3^1,1]
11	...	...	...	...

Grupos hiperbólicos de Coxeter

Hay muchos grupos de Coxeter hiperbólicos infinitos. Los grupos hiperbólicos se clasifican como compactos o no, y los grupos compactos tienen dominios fundamentales delimitados. Los grupos hiperbólicos simples compactos (símplices de Lannér) existen de rango 3 a 5. Los grupos simples compactos (símplices de Koszul) existen hasta el rango 10. Los grupos hipercompactos (politopos de Vinberg) se han explorado pero no se han determinado completamente. En 2006, Allcock demostró que hay infinitos politopos compactos de Vinberg para dimensiones de hasta 6, e infinitos politopos de volumen finito de Vinberg para dimensiones de hasta 19,^[4] por lo que no es posible una enumeración completa. Todos estos dominios reflexivos fundamentales, tanto simples como no simples, a menudo se denominan politopos de Coxeter o, a veces, con menos precisión poliedros de Coxeter.

Grupos hiperbólicos en H²

Artículo principal: Teselados uniformes en el plano hiperbólico

Disco de Poincaré de dominios fundamentales triangulares
Ejemplos de triángulos rectángulos [p,q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞,∞]
Ejemplos de triángulos generales [(p,q,r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3,∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3,∞,∞)]	[(6,6,6)]	[(∞,∞,∞)]

Los grupos triangulares hiperbólicos bidimensionales existen como diagramas de Coxeter de rango 3, definidos por un triángulo (p q r) para:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1.

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos triangulares compactos, que incluyen grafos lineales y triangulares. Los gráficos lineales existen para triángulos rectángulos (con r = 2).^[5]

Grupos de Coxeter hiperbólicos compactos

Lineal

Cíclico

∞ [p,q], :
2(p+q)<pq

...

...

...

∞ [(p,q,r)], : p+q+r>9

			...

Los grupos de Coxeter paracompactos de rango 3 existen como límites a los compactos.

Grafos lineales	Grafos cíclicos
[p,∞] [∞,∞]	[(p,q,∞)] [(p,∞,∞)] [(∞,∞,∞)]

Grupo triangular aritmético

Los grupos triangulares hiperbólicos que también son grupos aritméticos forman un subconjunto finito. Mediante búsqueda por ordenador, la lista completa fue determinada por "Kisao Takeuchi" en su artículo de 1977 "Grupos de triángulos aritméticos".^[6] Hay 85 en total, 76 compactos y 9 paracompactos.

Triángulos rectángulos (p q 2)	Triángulos generales (p q r)
Grupos compactos: (76) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Triángulos rectángulos paracompactos: (4) , , ,	Triángulos generales: (39) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Triángulos generales paracompactos: (5) , , Febrero 12, 2022 Últimos artículos Enero 01, 1970 Paloma Faith Enero 01, 1970 Paloma Fernández Gomá Enero 01, 1970 Paloma Ker Enero 01, 1970 Paloma Yerovi Enero 01, 1970 Paloma piquirroja Enero 01, 1970 Paloma rabiche Enero 01, 1970 Paloma (tema iconográfico) Enero 01, 1970 Palomas (Hortaleza) Enero 01, 1970 Palomar (aves) Enero 01, 1970 Palomares Más leído Enero 01, 1970 Dragonquest Enero 01, 1970 Dragontea Enero 01, 1970 Draga (Velika) Enero 01, 1970 Dragan Holcer Enero 01, 1970 Dragan Kicanovic diagrama, coxeter, dynkin, diagramas, coxeter, dynkin, para, grupos, fundamentales, finitos, coxeter, diagramas, coxeter, dynkin, para, grupos, afines, fundamentales, coxeter, geometría, diagrama, coxeter, dynkin, también, diagrama, coxeter, gráfico, coxeter, . Diagramas de Coxeter Dynkin para los grupos fundamentales finitos de Coxeter Diagramas de Coxeter Dynkin para los grupos afines fundamentales de Coxeter En geometria un diagrama de Coxeter Dynkin tambien diagrama de Coxeter o grafico de Coxeter es un grafo con enlaces etiquetados numericamente llamados ramas que representa las relaciones espaciales entre una coleccion de espejos o hiperplanos reflectores Describe una construccion caleidoscopica cada nodo grafico representa un espejo el dominio de una faceta y la etiqueta ligada a una rama codifica el orden del angulo diedro entre cada dos espejos en un dominio de una cara es decir la cantidad por la que se tiene que multiplicar el angulo entre los planos reflectantes para obtener 180 grados Una rama sin etiquetar representa implicitamente el orden 3 60 grados Cada diagrama representa un grupo de Coxeter que se clasifican por sus diagramas asociados Los diagramas de Dynkin son objetos estrechamente relacionados que difieren de los diagramas de Coxeter en dos aspectos en primer lugar las ramas etiquetadas como 4 o mayores estan dirigidas mientras que los diagramas de Coxeter son no dirigidos en segundo lugar los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restriccion adicional la restriccion cristalografica a saber que las unicas etiquetas de rama permitidas son 2 3 4 y 6 Los diagramas de Dynkin guardan una correspondencia directa con los sistemas raiz por lo que se usan para clasificarlos Esto implica a su vez que forman algebras de Lie semisimples 1 8203 Indice 1 Descripcion 2 Matriz de Schlafli 2 1 Grupos de Coxeter de rango 2 2 2 Visualizaciones geometricas 3 Grupos de Coxeter finitos 4 Aplicacion con politopos uniformes 4 1 Ejemplo de poliedros y teselados 5 Grupos afines de Coxeter 6 Grupos hiperbolicos de Coxeter 6 1 Grupos hiperbolicos en H2 6 1 1 Grupo triangular aritmetico 6 1 2 Poligonos de Coxeter hiperbolicos sobre triangulos 6 2 Compactos grupos de Lanner simplex 6 2 1 Rangos 4 5 6 3 Paracompacto grupos de Koszul simplex 6 3 1 Simplices ideales 6 3 2 Rangos 4 10 6 3 2 1 Relaciones de los subgrupos de los grupos hiperbolicos paracompactos 6 4 Grupos de Coxeter hipercompactos politopos de Vinberg 6 4 1 Politopos de Vinberg con rango n 2 para un espacio n dimensional 6 4 2 Politopos de Vinberg con rango n 3 para un espacio n dimensional 6 4 3 Politopos de Vinberg con rango n 4 para un espacio n dimensional 7 Grupos lorentzianos 7 1 Diagramas de Coxeter muy extendidos 8 Plegado geometrico 9 Reflexiones complejas 10 Vease tambien 11 Referencias 12 Lecturas adicionales 13 Enlaces externos Descripcion Editar Las ramas de un diagrama de Coxeter Dynkin estan etiquetadas con un numero racional p que representa un angulo diedro de 180 p Cuando p 2 el angulo es de 90 y los espejos no tienen interaccion entonces la rama puede omitirse del diagrama Si una rama no esta etiquetada se supone que tiene p 3 que representa un angulo de 60 Dos espejos paralelos tienen una rama marcada con 8734 En principio los n espejos pueden representarse mediante un grafo completo en el que se dibujan todas las n n 1 2 ramas En la practica casi todas las configuraciones interesantes de los espejos incluyen varios angulos rectos por lo que debe tenerse en cuenta que las ramas correspondientes se omiten Los diagramas se pueden etiquetar por su estructura grafica Las primeras formas estudiadas por Ludwig Schlafli son los ortoesquemas que poseen graficos lineales que generan politopos regulares y panales regulares Los plagioesquemas son simplex representados por graficos ramificados y los cicloesquemas son simplex representados por graficos ciclicos Matriz de Schlafli Editar Cada diagrama de Coxeter tiene su correspondiente matriz de Schlafli llamada asi por Ludwig Schlafli con elementos de matriz ai j aj i 2cos p p donde p es el orden de las ramas entre los pares de espejos Al igual que una matriz de cosenos tambien se denomina matriz de Gram en referencia al matematico danes Jorgen Pedersen Gram 1850 1916 Todas las matrices de Schlafli del grupo de Coxeter son simetricas porque sus vectores raiz estan normalizados Se relaciona estrechamente con la matriz de Cartan utilizada en los diagramas de Dynkin graficos similares aunque dirigidos en los casos limitados a p 2 3 4 y 6 que NO son simetricos en general El determinante de la matriz de Schlafli llamado schlafliano y su signo determinan si el grupo es finito positivo afin cero o indefinido negativo Esta regla se llama criterio de Schlafli 2 8203 Los autovalores de la matriz de Schlafli determinan si un grupo de Coxeter es de tipo finito todo positivo tipo afin todo no negativo y al menos uno es cero o tipo indefinido de otra manera El tipo indefinido a veces se subdivide aun mas en hiperbolicos y otros grupos de Coxeter Sin embargo existen multiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbolicos de Coxeter Se usa la siguiente definicion un grupo de Coxeter con diagrama conectado es hiperbolico si no es de tipo finito ni afin pero cada subdiagrama conectado es de tipo finito o afin Un grupo de Coxeter hiperbolico es compacto si todos los subgrupos son finitos es decir tienen determinantes positivos y paracompacto si todos sus subgrupos son finitos o afines es decir tienen determinantes no negativos Los grupos finitos y afines tambien se denominan elipticos y parabolicos respectivamente Los grupos hiperbolicos tambien se llaman grupos de Lanner en referencia a F Lanner que enumero los grupos hiperbolicos compactos en 1950 3 8203 y tambien grupos de Koszul o cuasi Lanner para los grupos paracompactos Grupos de Coxeter de rango 2 Editar Para el rango 2 el tipo de un grupo Coxeter esta completamente fijado por el determinante de la matriz de Schlafli ya que es simplemente el producto de sus valores propios tipo finito determinante positivo tipo afin determinante cero o hiperbolico determinante negativo Coxeter usa una notacion de corchetes equivalente que enumera las secuencias de ordenes de ramas como un sustituto de los diagramas graficos de ramas y nodos Tambien existen soluciones racionales p q con maximo comun divisor p q 1 que definen dominios fundamentales superpuestos Por ejemplo 3 2 4 3 5 2 5 3 5 4 y 6 5 Tipo Finito Afin Hiperbolico Geometria Coxeter 2 3 4 p 8734 8734 i 960 955 Orden 2 4 6 8 2p 8734 Los ejes de simetria especular estan coloreados para corresponder con los nodos del diagrama de Coxeter Los dominios fundamentales estan coloreados alternativamente Diagramas de grupos de Coxeter de rango 2 Ordenp Grupo Diagrama de Coxeter Matriz de Schlafli 2 a 12 a 21 2 displaystyle left begin matrix 2 amp a 12 a 21 amp 2 end matrix right Determinante 4 a21 a12 Finito Determinante gt 0 2 I2 2 A1xA1 2 2 0 0 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 0 0 amp 2 end smallmatrix right 4 3 I2 3 A2 3 2 x2212 1 x2212 1 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 1 1 amp 2 end smallmatrix right 3 3 2 3 2 2 1 1 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 1 1 amp 2 end smallmatrix right 4 I2 4 B2 4 2 x2212 2 x2212 2 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp sqrt 2 sqrt 2 amp 2 end smallmatrix right 2 4 3 4 3 2 2 2 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp sqrt 2 sqrt 2 amp 2 end smallmatrix right 5 I2 5 H2 5 2 x2212 x03D5 x2212 x03D5 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp phi phi amp 2 end smallmatrix right 5 x2212 5 2 displaystyle 5 sqrt 5 2 1 38196601125 5 4 5 4 2 x03D5 x03D5 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp phi phi amp 2 end smallmatrix right 5 2 5 2 2 1 x2212 x03D5 1 x2212 x03D5 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 1 phi 1 phi amp 2 end smallmatrix right 5 5 2 displaystyle 5 sqrt 5 2 3 61803398875 5 3 5 3 2 x03D5 x2212 1 x03D5 x2212 1 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp phi 1 phi 1 amp 2 end smallmatrix right 6 I2 6 G2 6 2 x2212 3 x2212 3 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp sqrt 3 sqrt 3 amp 2 end smallmatrix right 1 6 5 6 5 2 3 3 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp sqrt 3 sqrt 3 amp 2 end smallmatrix right 8 I2 8 8 2 x2212 2 2 x2212 2 2 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 amp 2 end smallmatrix right 2 x2212 2 displaystyle 2 sqrt 2 0 58578643763 10 I2 10 10 2 x2212 5 5 2 x2212 5 5 2 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp sqrt 5 sqrt 5 2 sqrt 5 sqrt 5 2 amp 2 end smallmatrix right 3 x2212 5 2 displaystyle 3 sqrt 5 2 0 38196601125 12 I2 12 12 2 x2212 2 3 x2212 2 3 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp sqrt 2 sqrt 3 sqrt 2 sqrt 3 amp 2 end smallmatrix right 2 x2212 3 displaystyle 2 sqrt 3 0 26794919243 p I2 p p 2 x2212 2 cos x2061 x03C0 p x2212 2 cos x2061 x03C0 p 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 2 cos pi p 2 cos pi p amp 2 end smallmatrix right 4 sin 2 x2061 x03C0 p displaystyle 4 sin 2 pi p Afin Determinante 0 I2 I x007E 1 displaystyle tilde I 1 A x007E 1 displaystyle tilde A 1 8734 2 x2212 2 x2212 2 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 2 2 amp 2 end smallmatrix right 0 Hiperbolico Determinante 0 8734 2 x2212 2 x2212 2 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 2 2 amp 2 end smallmatrix right 0 i 960 955 2 x2212 2 c o s h 2 x03BB x2212 2 c o s h 2 x03BB 2 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 2cosh 2 lambda 2cosh 2 lambda amp 2 end smallmatrix right x2212 4 sinh 2 x2061 2 x03BB x2264 0 displaystyle 4 sinh 2 2 lambda leq 0 Visualizaciones geometricas Editar El diagrama de Coxeter Dynkin puede verse como una descripcion grafica del dominio fundamental de los espejos Un espejo representa un hiperplano dentro de un espacio euclideo esferico o hiperbolico de una dimension dada En espacios 2D un espejo es una recta y en 3D un espejo es un plano Estas visualizaciones muestran los dominios fundamentales para grupos euclideos 2D y 3D y grupos esfericos 2D Para cada uno el diagrama de Coxeter puede deducirse identificando los espejos del hiperplano y etiquetando su conectividad ignorando los angulos diedricos de 90 grados orden 2 Grupos de Coxeter en el plano euclideo con sus diagramas equivalentes Las reflexiones se etiquetan como nodos graficos R1 R2 etc y se colorean por su orden de reflexion Las reflexiones a 90 grados estan inactivas y por lo tanto se suprimen del diagrama Las simetrias especulares paralelas estan conectadas por una rama etiquetada con El grupo prismatico I x007E 1 displaystyle tilde I 1 xI x007E 1 displaystyle tilde I 1 se muestra como una duplicacion de C x007E 2 displaystyle tilde C 2 pero tambien se puede crear en forma de dominios rectangulares al duplicar los triangulos G x007E 2 displaystyle tilde G 2 A x007E 2 displaystyle tilde A 2 es una duplicacion del triangulo G x007E 2 displaystyle tilde G 2 Muchos grupos de Coxeter en geometria hiperbolica pueden extenderse de los casos euclideos como una serie de soluciones hiperbolicas Grupos de Coxeter en el espacio 3d con sus diagramas Los espejos caras triangulares estan etiquetados por el vertice opuesto 0 3 Las ramas se colorean por su orden de reflexion C x007E 3 displaystyle tilde C 3 llena 1 48 del cubo B x007E 3 displaystyle tilde B 3 llena 1 24 del cubo A x007E 3 displaystyle tilde A 3 llena 1 12 del cubo Grupos de Coxeter en la esfera con sus diagramas equivalentes El dominio fundamental se describe en amarillo Los vertices del dominio y las ramas del grafico estan coloreados por su orden de reflexion Grupos de Coxeter finitos Editar Vease tambien familias de politopos para obtener una tabla de los politopos uniformes de nodo final asociados con estos grupos Se utilizan indistintamente tres simbologias diferentes para definir los mismos grupos como una letra numero como un conjunto de numeros entre corchetes y como el diagrama de Coxeter Los grupos Dn bifurcados son versiones semi o alternadas de los grupos Cn regulares Los grupos bifurcados Dn y En tambien estan etiquetados con un superindice 3a b c donde a b y c son los numeros de segmentos en cada una de las tres ramas Diagramas de Coxeter Dynkin finitos conectados rangos de 1 a 9 Rank Grupos de Lie simples Grupos de Lie excepcionales 160 A 1 displaystyle A 1 B 2 displaystyle B 2 D 2 displaystyle D 2 E 3 x2212 8 displaystyle E 3 8 F 3 x2212 4 displaystyle F 3 4 G 2 displaystyle G 2 H 2 x2212 4 displaystyle H 2 4 I 2 p displaystyle I 2 p 1 A1 160 2 A2 3 B2 4 D2 A1A1 160 G2 6 H2 5 I2 p 3 A3 32 B3 3 4 D3 A3 E3 A2A1 160 F3 B3 H3 160 4 A4 33 B4 32 4 D4 31 1 1 E4 A4 F4 H4 160 5 A5 34 B5 33 4 D5 32 1 1 E5 D5 160 160 6 A6 35 B6 34 4 D6 33 1 1 E6 32 2 1 7 A7 36 B7 35 4 D7 34 1 1 E7 33 2 1 8 A8 37 B8 36 4 D8 35 1 1 E8 34 2 1 9 A9 38 B9 37 4 D9 36 1 1 160 10 Aplicacion con politopos uniformes Editar Al construir politopos uniformes los nodos se marcan como activos mediante un anillo si un punto generador esta fuera del espejo creando una nueva arista entre un punto generador y su imagen reflejada Un nodo sin anillo representa un espejo inactivo que no genera puntos nuevos Se pueden usar dos espejos ortogonales para generar un cuadrado visto aqui con un punto generador rojo y 3 copias virtuales a traves de los espejos El generador tiene que estar fuera de ambos espejos en este caso ortogonal para generar un interior El marcado del anillo supone que los anillos activos tienen generadores a la misma distancia de todos los espejos mientras que un rectangulo tambien puede representar una solucion no uniforme Los diagramas de Coxeter Dynkin pueden enumerar explicitamente casi todas las clases de politopos uniformes y de teselados uniformes Cada politopo uniforme con simetria reflexiva pura todos menos algunos casos especiales tienen simetria reflexiva pura puede representarse mediante un diagrama de Coxeter Dynkin con permutaciones de margenes Cada politopo uniforme puede generarse usando tales espejos y un unico punto generador las imagenes especulares crean nuevos puntos como reflejos y entonces se pueden definir las aristas del politopo como segmentos entre cada punto y sus imagenes en los espejos Las caras se generan por el reflejo repetido de las aristas que finalmente envuelven al generador original la forma final asi como las facetas de dimensiones superiores tambien se crean cuando la cara se refleja para encerrar un area Para especificar los vertices generadores se marcan uno o mas nodos con anillos lo que significa que el vertice no esta en el espejo s representado por el nodo s anillado si se marcan dos o mas espejos el vertice es equidistante de ellos Un espejo esta activo crea reflejos solo con respecto a los puntos que no estan en el Un diagrama necesita al menos un nodo activo para representar un politopo Un diagrama no conectado subgrupos separados por ramas de orden 2 o espejos ortogonales requiere al menos un nodo activo en cada subgrafo Todos los politopos regulares representados por los simbolos de Schlafli p q r pueden tener sus dominios fundamentales representados por un conjunto de n espejos con un diagrama de Coxeter Dynkin relacionado con una linea de nodos y ramas etiquetadas por p q r con el primer nodo anillado Los politopos uniformes con un anillo corresponden a puntos generadores en las esquinas del dominio fundamental simplex Dos anillos corresponden a los bordes de simplex y tienen un grado de libertad con solo el punto medio como la solucion uniforme para longitudes de arista iguales En general los k puntos generadores con anillo estan situados sobre las k 1 caras del simplex y si todos los nodos estan anillados el punto del generador esta en el interior del simplex El caso especial de politopos uniformes con simetria no reflexiva esta representado por un marcado secundario en el que se elimina el punto central de un nodo anillado llamado agujero Estas formas son alternancias de politopos con simetria reflexiva lo que implica que los nodos alternativos se eliminan El politopo resultante tendra una subsimetria del grupo de Coxeter original Una alternancia truncada se llama achatada Un solo nodo representa un solo espejo Esto se llama grupo A1 Si esta anillado esto crea un segmento perpendicular al espejo representado como Dos nodos no conectados representan dos espejos perpendiculares Si ambos nodos estan anillados se puede crear un rectangulo o un cuadrado cuando el punto esta a la misma distancia de ambos espejos Dos nodos unidos por una rama de orden n pueden crear un n agono si el punto esta en un espejo y un 2n agono si el punto esta fuera de ambos espejos Esto forma el grupo I1 n Dos espejos paralelos pueden representar un grupo de poligonos infinitos I1 tambien llamado Ĩ1 Tres espejos formando un triangulo generan imagenes como las vistas en un caleidoscopio tradicional y pueden representarse por tres nodos conectados en un triangulo Los ejemplos repetidos tendran ramas etiquetadas como 3 3 3 2 4 4 2 3 6 aunque las dos ultimas se pueden dibujar como una linea con las ramas 2 omitidas Estas configuraciones generaran teselados uniformes Tres espejos pueden generar poliedros uniformes incluyendo numeros racionales se genera el conjunto de los triangulos de Schwarz Tres espejos con uno perpendicular a los otros dos pueden formar un prisma uniforme Hay 7 construcciones uniformes reflexivas dentro de un triangulo general basadas en 7 posiciones del generador topologico dentro del dominio fundamental Cada espejo activo genera una arista con dos espejos activos se tienen generadores en los lados del dominio y con tres espejos activos se tiene el generador en su interior Se pueden resolver uno o dos grados de libertad para una posicion unica imponiendo iguales longitudes de arista del poliedro o teselado resultante Ejemplo de 7 generadores en la simetria octaedral triangulo de dominio fundamental 4 3 2 con la octava generacion de achatado como alternancia Los duales de los politopos uniformes a veces estan marcados con una barra perpendicular que reemplaza a los nodos anillados y una barra con un orificio para los nodos de los achatados Por ejemplo representa un rectangulo como dos espejos ortogonales activos y representa su poligono dual el rombo Ejemplo de poliedros y teselados Editar Por ejemplo el grupo de Coxeter B3 tiene un diagrama Esta configuracion tambien se denomina simetria octaedrica Hay 7 poliedros de aristas uniformes convexos que pueden construirse a partir de este grupo de simetria y otros 3 a partir de sus subsimetrias alternantes cada uno con un diagrama de Coxeter Dynkin marcado de forma unica El simbolo de Wythoff representa un caso especial del diagrama de Coxeter para graficos de rango 3 con las 3 ordenes de rama nombradas en lugar de omitir las ramas de orden 2 El simbolo de Wythoff puede contemplar la forma de achatado pero no las alternancias generales sin todos los nodos anillados Poliedros octaedricos uniformes Simetria 4 3 432 4 3 432 1 4 3 3 3 332 3 4 3 2 4 3 t 4 3 r 4 3 r 31 1 t 3 4 t 31 1 3 4 31 1 rr 4 3 s2 3 4 tr 4 3 sr 4 3 h 4 3 3 3 h2 4 3 t 3 3 s 3 4 s 31 1 or or Duales a los poliedros uniformes V43 V3 82 V 3 4 2 V4 62 V34 V3 43 V4 6 8 V34 4 V33 V3 62 V35 Se pueden generar las mismas construcciones en grupos de Coxeter desarticulados ortogonales como el prisma uniforme y se pueden ver mas claramente como teselados de diedros y hosoedros en la esfera como esta familia 6 o 6 2 Poliedros esfericos diedricos hexagonales uniformes Simetria 6 2 622 6 2 622 6 2 2 3 6 2 t 6 2 r 6 2 t 2 6 2 6 rr 6 2 tr 6 2 sr 6 2 s 2 6 Duales a los uniformes V62 V122 V62 V4 4 6 V26 V4 4 6 V4 4 12 V3 3 3 6 V3 3 3 3 En comparacion la familia 6 3 produce un conjunto paralelo de 7 teselados uniformes del plano euclideo y sus duales De nuevo hay 3 alternancias y alguna version de semi simetria Teselados hexagonales triangulares uniformes Simetria 6 3 632 6 3 632 6 3 3 3 6 3 t 6 3 r 6 3 t 3 6 3 6 rr 6 3 tr 6 3 sr 6 3 s 3 6 63 3 122 3 6 2 6 6 6 36 3 4 6 4 4 6 12 3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3 Uniform duals V63 V3 122 V 3 6 2 V63 V36 V3 4 6 4 V 4 6 12 V34 6 V36 En el plano hiperbolico 7 3 la familia produce un conjunto paralelo de teselados uniformes y sus duales Solo hay 1 alternancia achatado ya que todos los ordenes de las ramas son impares Se pueden ver muchas otras familias hiperbolicas de teselados uniformes en teselados uniformes en el plano hiperbolico Teselados heptagonales triangulares uniformes Simetria 7 3 732 7 3 732 7 3 t 7 3 r 7 3 t 3 7 3 7 rr 7 3 tr 7 3 sr 7 3 Duales uniformes V73 V3 14 14 V3 7 3 7 V6 6 7 V37 V3 4 7 4 V4 6 14 V3 3 3 3 7 Grupos afines de Coxeter Editar Las familias de teselaciones euclideas uniformes convexas estan definidas por los grupos de Coxeter afines Estos grupos son identicos a los grupos finitos con la inclusion de un nodo agregado Para estos casos se mantienen las asignaciones de letras con una virgulilla por encima de la letra El indice se refiere al grupo finito por lo que el rango es el indice mas 1 Los simbolos de Witt para los grupos afines figuran a continuacion precedidos con la palabra tambien A x007E n x2212 1 displaystyle tilde A n 1 los diagramas de este tipo son ciclos tambien Pn C x007E n x2212 1 displaystyle tilde C n 1 esta asociado con la familia de teselaciones regulares hipercubicas 4 3 4 tambien Rn B x007E n x2212 1 displaystyle tilde B n 1 relacionado con C por un espejo eliminado tambien Sn D x007E n x2212 1 displaystyle tilde D n 1 relacionado con C por dos espejos eliminados tambien nX E x007E 6 displaystyle tilde E 6 E x007E 7 displaystyle tilde E 7 E x007E 8 displaystyle tilde E 8 tambien T7 T8 T9 F x007E 4 displaystyle tilde F 4 forma la teselacion regular 3 4 3 3 tambien U5 G x007E 2 displaystyle tilde G 2 forma los dominios fundamentales triangulares 30 60 90 tambien V3 I x007E 1 displaystyle tilde I 1 son dos espejos paralelos A x007E 1 displaystyle tilde A 1 C x007E 1 displaystyle tilde C 1 tambien W2 Los grupos compuestos tambien se pueden definir como proyecciones ortogonales El uso mas comun de A x007E 1 displaystyle tilde A 1 como A x007E 1 2 displaystyle tilde A 1 2 representa dominios cuadrados o rectangulares tableros de ajedrez en el plano euclideo Y A x007E 1 G x007E 2 displaystyle tilde A 1 tilde G 2 representa los dominios fundamentales con forma de prisma triangular en el espacio euclideo tridimensional Graficos afines de Coxeter entre 2 y 10 nodos Rango A x007E 1 displaystyle tilde A 1 P2 B x007E 3 displaystyle tilde B 3 S4 C x007E 1 displaystyle tilde C 1 R2 D x007E 4 displaystyle tilde D 4 Q5 E x007E n displaystyle tilde E n Tn 1 F x007E 4 displaystyle tilde F 4 U5 G x007E 2 displaystyle tilde G 2 V3 2 A x007E 1 displaystyle tilde A 1 160 C x007E 1 displaystyle tilde C 1 160 160 3 A x007E 2 displaystyle tilde A 2 3 3 C x007E 2 displaystyle tilde C 2 4 4 G x007E 2 displaystyle tilde G 2 6 3 4 A x007E 3 displaystyle tilde A 3 3 4 B x007E 3 displaystyle tilde B 3 4 31 1 C x007E 3 displaystyle tilde C 3 4 3 4 D x007E 3 displaystyle tilde D 3 31 1 3 1 31 1 A x007E 3 displaystyle tilde A 3 5 A x007E 4 displaystyle tilde A 4 3 5 B x007E 4 displaystyle tilde B 4 4 3 31 1 C x007E 4 displaystyle tilde C 4 4 32 4 D x007E 4 displaystyle tilde D 4 31 1 1 1 F x007E 4 displaystyle tilde F 4 3 4 3 3 6 A x007E 5 displaystyle tilde A 5 3 6 B x007E 5 displaystyle tilde B 5 4 32 31 1 C x007E 5 displaystyle tilde C 5 4 33 4 D x007E 5 displaystyle tilde D 5 31 1 3 31 1 160 7 A x007E 6 displaystyle tilde A 6 3 7 B x007E 6 displaystyle tilde B 6 4 33 31 1 C x007E 6 displaystyle tilde C 6 4 34 4 D x007E 6 displaystyle tilde D 6 31 1 32 31 1 E x007E 6 displaystyle tilde E 6 32 2 2 8 A x007E 7 displaystyle tilde A 7 3 8 B x007E 7 displaystyle tilde B 7 4 34 31 1 C x007E 7 displaystyle tilde C 7 4 35 4 D x007E 7 displaystyle tilde D 7 31 1 33 31 1 E x007E 7 displaystyle tilde E 7 33 3 1 9 A x007E 8 displaystyle tilde A 8 3 9 B x007E 8 displaystyle tilde B 8 4 35 31 1 C x007E 8 displaystyle tilde C 8 4 36 4 D x007E 8 displaystyle tilde D 8 31 1 34 31 1 E x007E 8 displaystyle tilde E 8 35 2 1 10 A x007E 9 displaystyle tilde A 9 3 10 B x007E 9 displaystyle tilde B 9 4 36 31 1 C x007E 9 displaystyle tilde C 9 4 37 4 D x007E 9 displaystyle tilde D 9 31 1 35 31 1 11 Grupos hiperbolicos de Coxeter Editar Hay muchos grupos de Coxeter hiperbolicos infinitos Los grupos hiperbolicos se clasifican como compactos o no y los grupos compactos tienen dominios fundamentales delimitados Los grupos hiperbolicos simples compactos simplices de Lanner existen de rango 3 a 5 Los grupos simples compactos simplices de Koszul existen hasta el rango 10 Los grupos hipercompactos politopos de Vinberg se han explorado pero no se han determinado completamente En 2006 Allcock demostro que hay infinitos politopos compactos de Vinberg para dimensiones de hasta 6 e infinitos politopos de volumen finito de Vinberg para dimensiones de hasta 19 4 8203 por lo que no es posible una enumeracion completa Todos estos dominios reflexivos fundamentales tanto simples como no simples a menudo se denominan politopos de Coxeter o a veces con menos precision poliedros de Coxeter Grupos hiperbolicos en H2 Editar Articulo principal 32 Teselados uniformes en el plano hiperbolico Disco de Poincare de dominios fundamentales triangulares Ejemplos de triangulos rectangulos p q 3 7 3 8 3 9 3 8734 4 5 4 6 4 7 4 8 8734 4 5 5 5 6 5 7 6 6 8734 8734 Ejemplos de triangulos generales p q r 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 7 3 3 8734 3 4 4 3 6 6 3 8734 8734 6 6 6 8734 8734 8734 Los grupos triangulares hiperbolicos bidimensionales existen como diagramas de Coxeter de rango 3 definidos por un triangulo p q r para 1 p 1 q 1 r lt 1 displaystyle frac 1 p frac 1 q frac 1 r lt 1 Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbolicos triangulares compactos que incluyen grafos lineales y triangulares Los graficos lineales existen para triangulos rectangulos con r 2 5 8203 Grupos de Coxeter hiperbolicos compactos Lineal Ciclico p q 2 p q lt pq p q r p q r gt 9 Los grupos de Coxeter paracompactos de rango 3 existen como limites a los compactos Grafos lineales Grafos ciclicos p p q p Grupo triangular aritmetico Editar Los grupos triangulares hiperbolicos que tambien son grupos aritmeticos forman un subconjunto finito Mediante busqueda por ordenador la lista completa fue determinada por Kisao Takeuchi en su articulo de 1977 Grupos de triangulos aritmeticos 6 8203 Hay 85 en total 76 compactos y 9 paracompactos Triangulos rectangulos p q 2 Triangulos generales p q r Grupos compactos 76 Triangulos rectangulos paracompactos 4 Triangulos generales 39 Triangulos generales paracompactos 5 img data file w, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca, español , española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos © Derechos de autor 2021, Todos los derechos reservados \| www.wiki3.es-es.nina.az Rss Feed SiteMap Ping DMCA Contacta con nosotros Página principal Cerrado Llama:

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