Acción (matemática)

En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo ${\displaystyle (G,*)}$ sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ es una aplicación ${\displaystyle \phi :G\times X\to X}$ que cumple las dos condiciones siguientes:^[1]​

1. ${\displaystyle \forall x\in X:\ \phi (e,x)=x}$, donde ${\displaystyle e}$ es el elemento neutro del grupo.
2. ${\displaystyle \forall x\in X:\,g,h\in G,\ \phi (g*h,x)=\phi (g,\phi (h,x))}$.

En tal caso se dice que el grupo ${\displaystyle G}$ actúa sobre ${\displaystyle X}$, y que el conjunto ${\displaystyle X}$ es un ${\displaystyle G}$-conjunto.^[2]​

Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G}$, la aplicación ${\displaystyle \phi _{g}=\phi (g,\cdot ):X\to X}$ es una función biyectiva definida sobre ${\displaystyle X}$. En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo ${\displaystyle G}$ y el grupo ${\displaystyle S_{X}}$

${\displaystyle \theta :G\to S_{X}\ :g\mapsto \phi _{g}}$.

donde ${\displaystyle S_{X}}$ denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de ${\displaystyle X}$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de ${\displaystyle X}$. Se dice que el homomorfismo ${\displaystyle \theta }$ es una representación del grupo ${\displaystyle G}$ por permutación.^[3]​

Notación alternativa

Otra notación utilizada para las acciones es ${\displaystyle (g,x)\mapsto g\cdot x}$ . Así los axiomas de acción se reescriben:

• ${\displaystyle e\cdot x=x}$ .
• ${\displaystyle (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)}$ .

Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto ${\displaystyle X}$ , para no causar confusión con los elementos del grupo ${\displaystyle G}$ .

Ejemplos

El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier ${\displaystyle g\in G}$  y ${\displaystyle x\in X}$ , ${\displaystyle \phi (g,x)=x}$ . Cuando la acción es trivial, cada biyección ${\displaystyle \phi _{g}}$  es la aplicación identidad del conjunto ${\displaystyle X}$ , que lleva cada elemento en sí mismo.

El grupo de tres elementos ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{0,1,2\}}$  actúa sobre el plano complejo ${\displaystyle \mathbb {C} }$  de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \phi (0,z)=z}$ .
• ${\displaystyle \phi (1,z)=wz}$ .
• ${\displaystyle \phi (2,z)=w^{2}z}$ .

donde ${\displaystyle w}$  es una raíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz ${\displaystyle w=1}$  la acción sería trivial). Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.

Un tipo importante de acción es aquella en la que ${\displaystyle X}$  es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

El núcleo de la acción y los puntos fijos

Se define el núcleo de una acción ${\displaystyle \phi :G\times X\to X}$  como el conjunto de todos los elementos del grupo ${\displaystyle G}$  que actúan trivialmente sobre todo punto de ${\displaystyle X}$ :^[4]​

${\displaystyle ker\ \phi =\{g\in G\ |\ g\cdot x=x,\ \forall x\in X\}}$ .

Para cada elemento ${\displaystyle g}$  del núcleo, la biyección asociada ${\displaystyle \phi _{g}}$  es la identidad de ${\displaystyle X}$ . Es por tanto el núcleo del homomorfismo ${\displaystyle \theta :G\to S(X)}$ , y como tal es un subgrupo normal del ${\displaystyle G}$ .

En contraste, se denominan puntos fijos de la acción a los elementos de ${\displaystyle X}$  sobre los que todos los elemento de ${\displaystyle G}$  actúan trivialmente, es decir:

${\displaystyle x\in X}$  es un punto fijo si ${\displaystyle g\cdot x=x}$  para todo ${\displaystyle g\in G}$ .

Estabilizador y órbita de un punto

Para cada elemento ${\displaystyle x}$  de un conjunto ${\displaystyle X}$  sobre el que actúa un grupo ${\displaystyle G}$ , podemos definir dos subconjuntos de interés.^[5]​

Subgrupos estabilizadores

El estabilizador de un punto ${\displaystyle x\in X}$  se compone de todos los elementos de ${\displaystyle G}$  que actúan trivialmente sobre ${\displaystyle x}$ 

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\subset G}$ .

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo ${\displaystyle x}$ . En consecuencia, cuando ${\displaystyle x}$  es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: ${\displaystyle G_{x}=G}$ . El núcleo de la acción es precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de ${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle ker\ \phi =\cap _{x\in X}\ G_{x}}$ .

${\displaystyle G_{x}}$  es un subgrupo de ${\displaystyle G}$ , no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de ${\displaystyle x}$ .^[6]​

Órbitas de la acción

La órbita de ${\displaystyle x}$  se compone de todos los elementos de ${\displaystyle X}$  que son imagen de ${\displaystyle x}$  por la acción de algún elemento de ${\displaystyle G}$ :^[7]​

${\displaystyle O_{x}=\{y\in X\ |\ \exists g\in G:\ g\cdot x=y\}\subset X}$ .

La órbita de ${\displaystyle x}$  contiene a los elementos del conjunto ${\displaystyle X}$  que se alcanzan desde ${\displaystyle x}$  por la acción de ${\displaystyle G}$ . Cuando ${\displaystyle x}$  es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio ${\displaystyle x}$ , esto es: ${\displaystyle O_{x}=\{x\}}$ , y viceversa.

La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de ${\displaystyle G}$  forman una partición del conjunto ${\displaystyle X}$ , lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.

Relación entre órbitas y estabilizadores

Dado un punto arbitrario ${\displaystyle x\in X}$ , existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en ${\displaystyle G}$  de su estabilizador ${\displaystyle G_{x}}$ , es decir

${\displaystyle O_{x}\leftrightarrow G/G_{x}}$ .^{[nota 1]}​

En particular, si ${\displaystyle G_{x}}$  es un subgrupo de índice finito en ${\displaystyle G}$ , la órbita de ${\displaystyle x}$  es un conjunto finito y su cardinalidad es

${\displaystyle |O_{x}|=[G:G_{x}]}$ .^[8]​

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

Si ${\displaystyle y\in O_{x}}$  entonces ${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}\,}$ , donde ${\displaystyle \ g\cdot x=y}$ .

Lo anterior se deriva de que si ${\displaystyle h}$  es un elemento que deja fijo el punto ${\displaystyle x}$ , entonces

${\displaystyle ghg^{-1}\cdot y=gh\cdot x=g\cdot x=y}$ .

Tipos de acciones

• Una acción se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ , si dados dos elementos ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  cualesquiera de ${\displaystyle X}$ , existe un elemento ${\displaystyle g}$  del grupo que aplica ${\displaystyle x}$  en ${\displaystyle y}$ , es decir:

${\displaystyle \forall x,y\in X\ \implies \ \exists g\in G:\phi (g,x)=y}$ .^[9]​

Cuando la acción de un grupo ${\displaystyle G}$  es transitiva sobre un espacio topológico ${\displaystyle X}$  decimos que éste es un espacio homogéneo para el grupo ${\displaystyle G}$ .^[10]​

• Una acción se llama n-transitiva si dadas dos ${\displaystyle n}$ -tuplas de elementos del conjunto ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \langle x_{1},...,x_{n}\rangle }$  e ${\displaystyle \langle y_{1},...,y_{n}\rangle }$  diferentes dos a dos (esto es, ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$  e ${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$  para todo ${\displaystyle i\neq j}$ ), existe un elemento ${\displaystyle g}$  del grupo que aplica ${\displaystyle x_{i}}$  en ${\displaystyle y_{i}}$  para cada ${\displaystyle i=1,...,n}$ . Las acciones 2-transitivas se denominan también acciones doblemente transitivas, las 3-transitivas triplemente transitivas, etc.

• Una acción doblemente transitiva satisface la siguiente definición equivalente: una acción es doblemente transitiva si dado cualquier punto ${\displaystyle x\in X}$ , el estabilizador ${\displaystyle G_{x}}$  actúa transitivamente sobre los puntos restantes (es decir, es transitiva sobre ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$ ). ^[11]​

• Una acción es fiel o efectiva si el núcleo de la acción es trivial, es decir, el elemento identidad de ${\displaystyle G}$  es el único que actúa trivialmente sobre todo punto de ${\displaystyle X}$ . Esta condición es equivalente a que el homomorfismo ${\displaystyle \theta :G\to S_{X}}$  sea inyectivo, y por tanto cada biyección ${\displaystyle \phi _{g}}$  sea distinta.^[12]​

• Una acción es libre, o se dice que el grupo actúa libremente, si el único elemento de ${\displaystyle G}$  con puntos fijos es la identidad, es decir

${\displaystyle \exists x\in X:g\cdot x=x\implies g=1_{G}}$  (donde ${\displaystyle 1_{G}}$  denota la identidad de ${\displaystyle G}$ ).

Acción de un grupo sobre sí mismo

Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo ${\displaystyle G}$  es el propio grupo, es decir ${\displaystyle X=G}$ , decimos que el grupo actúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo son por multiplicación y por conjugación.

Acción por multiplicación

Todo grupo ${\displaystyle G}$  actúa sobre sí mismo por multiplicación^{[nota 2]}​ por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por^[13]​

${\displaystyle \varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto gh}$  (respectivamente ${\displaystyle (g,h)\mapsto hg}$ ).

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo ${\displaystyle G}$ . Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo ${\displaystyle G}$  es abeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

${\displaystyle \theta :G\to S_{G}}$ 

es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo ${\displaystyle G}$  es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si ${\displaystyle G}$  es finito de orden ${\displaystyle n}$ , entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de n elementos, ${\displaystyle S_{n}}$ . Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Cayley.^[14]​

Acción por conjugación

Por otro lado, todo grupo ${\displaystyle G}$  actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por^[15]​

${\displaystyle \varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto ghg^{-1}}$ .

El estabilizador de cada punto ${\displaystyle g}$  está formado por los elementos de ${\displaystyle G}$  que conmutan con ${\displaystyle g}$ , es decir, el centralizador de ${\displaystyle g}$ :

${\displaystyle G_{x}=C_{G}(x)}$ 

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

${\displaystyle \forall g,\ h\in G:\ ghg^{-1}=gg^{-1}h=h}$ .

Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por ${\displaystyle Z(G)}$ ) forman cada uno de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento ${\displaystyle g}$  solo contiene a ese elemento entonces ${\displaystyle g}$  pertenece al centro de ${\displaystyle G}$ , esto es:

${\displaystyle x\in Z(G)\iff O_{x}=\{x\}}$ .

Ecuación de clases

La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos finitos:

${\displaystyle G=\bigcup _{i\in I}{\mathcal {K}}_{i}}$ 

que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ . En consecuencia

${\displaystyle |G|=\sum _{i\in I}|{\mathcal {K}}_{i}|}$ 

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

• De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad 1.
• Para el resto de clases de conjugación, si ${\displaystyle g_{i}}$  es un representante de la clase ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$  se tiene que

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}=O_{g_{i}}\implies |{\mathcal {K}}_{i}|=[G:G_{g_{i}}]=[G:C_{G}(g_{i})]}$ .

Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de ${\displaystyle G}$ :^[16]​

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}[G:C_{G}(g_{i})]}$ 

donde ${\displaystyle g_{1},...,g_{r}}$  es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de ${\displaystyle G}$ . La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

Notas

1. Aquí se debe entender el símbolo ${\displaystyle /}$  como el conjunto cociente de ${\displaystyle G}$  bajo la relación de equivalencia determinada por las clases laterales, bien sean derechas o izquierdas, pues no se puede asegurar que ${\displaystyle G_{x}}$  sea un subgrupo normal.
2. Aunque es habitual utilizar la palabra multiplicación o producto, en realidad se hace referencia a la operación del grupo, sea cual sea.

Referencias

1. Dummit y Foote, 2004, p. 41.
2. Eie y Chang, 2010, p. 144.
3. Smith, 2008, p. 253.
4. Dummit y Foote, 2004, p. 112.
5. Rotman, 1999, p. 56.
6. Procesi, 2007, p. 5.
7. Eie y Chang, 2010, p. 146.
8. Rotman, 1999, p. 57.
9. tom Dieck, 1987, p. 29.
10. Reid, 2005, p. 170.
11. Dummit y Foote, 2004, p. 117.
12. Eie y Chang, 2010, p. 145.
13. Dummit y Foote, 2004, p. 118.
14. Rotman, 1999, p. 52.
15. Dummit y Foote, 2004, p. 122.
16. Dummit y Foote, 2004, p. 124.

Bibliografía referenciada

• tom Dieck, Tammo (1987). Transformation groups. de Gruyter Studies in Mathematics 8. Berlin: Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-11-009745-0. MR 889050. 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5. 
• Eie; Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. 
• Procesi, Claudio (2007). Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations (en inglés). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387289298. Consultado el 10 de febrero de 2018. 
• Reid, Miles (2005). Geometry and topology (en inglés). Cambridge, UK New York: Cambridge University Press. ISBN 9780521613255. 
• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer. 
• Smith (2008). Introduction to abstract algebra. 
• Thurston, William (1980). The geometry and topology of three-manifolds. Princeton lecture notes (en inglés). 

Bibliografía adicional

• N.I.Herstein
• Serge Lang
• Marshall Hall
• Burnside
• A.G.Kurosch
• Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (9ª edición). Cengage. p. 656. ISBN 9781305657960. 
• Dorronsoro

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Acción de grupos». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q288465
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•   Libros y manuales: Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos