Intersección de conjuntos

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares.

La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que pertenecen tanto a A como a B.

${\displaystyle P=\{2,4,6,8,10,\ldots \}}$

${\displaystyle C=\{1,4,9,16,25,\ldots \}}$

${\displaystyle D=\{4,16,36,64,\ldots \}}$

En otras palabras: Cómo, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e, f} y B = { a, e, i, o, u}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es : A∩B = { a, e}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Definición

 

Intersección de dos conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, su intersección es otro subconjunto cuyos elementos, necesariamente, pertenecen a ambos conjunto. A = { π, c, 8, γ, 5, P} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.

• Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.

• Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío: ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$

Generalizaciones

La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:

${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}=A_{1}\cap (A_{2}\cap (\ldots (A_{n-1}\cap A_{n}){\scriptstyle \ldots })}$

La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:

Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩M se define como: ${\displaystyle x\in \bigcap M{\text{ si para cada }}A\in M{\text{ se tiene que }}x\in A}$

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:

A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B}

A₁ ∩ ... ∩ A_n = ∩M, donde M = {A₁, ..., A_n}

La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:

${\displaystyle \bigcap M=\bigcap _{A\in M}A=\bigcap _{i\in I}A_{i}{\text{ ,}}}$ 

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {A_i: i ∈ I}.

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A : ${\displaystyle A\cap A=A}$  La intersección de A y B es un subconjunto de ambos: ${\displaystyle A\cap B\subseteq A,B}$  La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado: ${\displaystyle B\subseteq A\rightarrow A\cap B=B}$

La intersección de conjuntos poseen también propiedades similares a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C : ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$  Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A : ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$  Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅: ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.

En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto: A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto: A ∩ (A ∪ B) = A

• Se cumple que ∅ ⊂ A∩B∩C ⊂ A∩B ⊂ A ⊂ A∪B ⊂ A∪B∪C ⊂ Ω donde Ω es el conjunto universal.^[1]​

Teoría axiomática

En las [[teoría axiomática de conjuntos|teorías axiomáticas de conjunto

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Conjunto
• Teoría de conjuntos
• Unión de conjuntos

Referencias

1. Rojo. Álgebra I

Literatura del tema

• Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5. 
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

• Yu. M. Korshunov. Fundamentos matemáticos de la cibernética. Editorial Mir, Moscú s/f.

•   Datos: Q185837
•   Multimedia: Intersection (set theory)