Toro (geometría)

En geometría, un toro es un tipo concreto de toroide cuya superficie de revolución es generada por una circunferencia que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (en su plano y que no la corta) o, llanamente, la superficie tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del latín torus, que significa «protuberancia», «elevación curva» (relacionado con latín "sterno" y griego στορέννυμι, romanizado storénnymi) y que ya en latín adquiere sentidos técnicos para designar objetos con esta forma geométrica específica, por ejemplo en arquitectura (Vitr.3.3.8), donde designa el «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la base, con forma de hogaza de pan.^[1]​Muchos objetos cotidianos tienen forma de toro: un dónut, una cámara de neumático, etc.

R > r:
Toro de anillo

R = r:
Toro de cuerno

R < r:
Toro de huso

Mitades inferiores y secciones longitudinales de las tres clases de toro.

Desarrollo de un toro.

Geometría

 

Representación del toro en el sistema diédrico.

Las ecuaciones paramétricas que lo definen son:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\cos \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\y=\sin \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\z=r\sin \varphi \end{cases}}}$ 

donde ${\displaystyle R}$  es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, ${\displaystyle r}$  es el radio del conducto, ambas constantes con ${\displaystyle r<R}$  y donde ${\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )}$  son ángulos que determinan el círculo completo.

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje z es:

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 

La superficie A y el volumen V del toro pueden hallarse empleando el teorema de Papus de Alejandría. Los resultados son:

${\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr\,}$ 

${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}\,}$ , donde ${\displaystyle R}$  es la distancia del eje de revolución al centro de una sección circular del toro y ${\displaystyle r}$  es el radio de dicha sección.

${\displaystyle A=\pi ^{2}Dd\,}$ 

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}\pi ^{2}Dd^{2}\,}$  usando los respectivos diámetros :${\displaystyle D=2R,d=2r}$ 

Topología

 

Un toro es el resultado del producto cartesiano de dos circunferencias, ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ .

Topológicamente, un toro es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias: ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$  y con la topología producto. Equivalentemente, un toro es una superficie cerrada orientable de género 1. Esta equivalencia se obtiene gracias al teorema de clasificación de superficies cerradas.

En topología, un volumen tórico o toro sólido (vollringe) es un objeto tridimensional obtenido mediante el producto cartesiano de un disco y una circunferencia: ${\displaystyle D^{2}\times S^{1}}$ 

La superficie descrita, dada la topología relativa de R³, es homeomorfa con el toro topológico mientras este no intercepte con su propio eje.

El toro puede también describirse como el cociente del ’’Plano euclidiano’’ bajo las tipificaciones

(x, y) ~ (x+1,y) ~ (x, y+1)

Equivalentemente, como el cociente del cuadrado o unidad conectando los bordes opuestos, descrito como un polígono fundamental ${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$ .

Esta superficie se considera como el espacio total de un fibrado (trivial), donde el espacio base es la circunferencia ${\displaystyle S^{1}}$ .

El grupo fundamental del toro es precisamente el producto directo del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma:

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ 

Intuitivamente, esto significa que un camino cerrado el cual rodea entre ambos, el "orificio" y el "cuerpo" del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que envuelva el cuerpo y el orificio. Es decir, los caminos estrictamente meridionales y estrictamente longitudinales participan en operaciones conmutativas.

El primer grupo homológico del toro es isomorfo al grupo fundamental; puesto que el grupo fundamental es abeliano).

El toro en n dimensiones

Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un toro n dimensional se define como el producto de n circunferencias:

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}}$ 

• el “toro a la 1” es precisamente la circunferencia: ${\displaystyle S^{1}}$ .
• el ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=S^{1}\times S^{1}}$  es el “toro a la 2”,
• el “toro a la 3” puede considerarse como ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\times S^{1}}$ , esto es como el producto cartesiano del dos-toro por la circunferencia.
• generalizando, el toro a la n potencia puede describirse como el cociente de Rⁿ con desplazamientos enteros sobre cualquier coordenada.

El toro a la n es Rⁿ módulo la acción del grupo enrejado Zⁿ (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el toro a la n se obtiene a partir del n-cubo pegando las caras opuestas.

Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un toro máximo; es decir, un subgrupo cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible.

El grupo fundamental de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango n. El k-ésimo grupo homológico de un toro a la n es un grupo abeliano libre de rango n sobre k. De esto se deduce que la característica de Euler del toro a la n es 0 para cualquier n. El anillo homológico H^•(Tⁿ,Z) puede identificarse con el álgebra exterior sobre Z-módulo Zⁿ cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia n.

Aplicaciones

Matemáticas

 

Toro representado mediante la identificación de los bordes de un rectángulo. El toro obtenido tiene 7 colores en subrectánglos.

Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura. Uno debe respetar en el pegado la orientación de los bordes como el indicado en la figura.

Algunos teoremas de geometría plana no son válidos si consideramos el trazado de puntos y curvas sobre la superficie del toro. Por ejemplo, el Teorema de los cuatro colores se convierte en Teorema de los siete colores y es mucho más fácil de probar. En la figura anterior se observa que son necesarios siete colores.

Física

En magnetismo, se enrolla una bobina con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un campo magnético dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un imán; se coloca un material ferromagnético en el entrehierro y se imprime una corriente eléctrica por la bobina. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y este queda magnetizado, formando un imán.

Uno de los sistemas más promisorios para obtener electricidad a partir de la fusión nuclear controlada se basa en el confinamiento magnético del plasma a elevadísimas temperaturas dentro de un espacio-circuito toroidal como el tokamak o el Thorus, también muchos aceleradores de partículas recurren a una forma cuasi toroidal.

Óptica

En el campo de la óptica, se usa la lente tórica para corregir el astigmatismo tienen una superficie tórica, que presenta dos curvaturas en orientaciones perpendiculares entre sí.

Videojuegos

En el mundo de los videojuegos de estrategia es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el norte reaparecen en el sur, como si le hubiesen dado la vuelta al mundo. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el oriente, reaparecen en el occidente y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de mundo toroide por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudo impresión de un mundo esférico aunque el terreno de juego este pensado como un plano rectangular.

Galería

•  

  Intersección de un toro y un plano.

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  Animación de un toro cortado por un plano, y creación de Círculos de Villarceau. Ver Vesica piscis.

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  Ilustración de un toro con sus principales variables.

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  Una geodésica cerrada del toro.

Véase también

•   Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría.
•   Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
• Toroide
• Toro de Clifford
• Corona circular
• Óvalo de Cassini
• Spira de Perseo
• Curva elíptica
• Período de enrejado
• Fibrado de Seifert

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Torus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Bibliografía

• Kozak, Ana María; Pompeya Pastorelli, Sonia; Verdanega, Pedro Emilio. Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal (2007 edición). McGraw-Hill. p. 744. ISBN 9789701065969. 
• Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0. (en inglés)
• V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3540152814, ISBN 9783540152811. (en inglés)

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Toro.
•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre toro.
• Weisstein, Eric W. «Torus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Creation of a torus ( de Alexander Bogomolny Cut the Knot) — una animación el formato AVI.
• More Torus Images (de Math is Fun)
• Torus Games Juegos de descarga gratuita para Windows y Mac OS sobre la topología del toro.

•   Datos: Q12510
•   Multimedia: Torus / Q12510