Toroide

En geometría el toroide es la superficie de revolución generada por un polígono o una curva plana cerrada simple que gira alrededor de una recta exterior coplanar (el eje de rotación) con la que no se intercepta. Su forma se corresponde con la superficie de los objetos que, en el habla cotidiana, se denominan argollas, anillos, aros, rosquilla, picarón, donas o donuts. La palabra toroide también se usa para referirse a un poliedro toroidal, la superficie de revolución generada por un polígono que gira alrededor de un eje.^[1]​

Toroide generado por un cuadrado.

Toro, generado por un círculo.

Toro, modelo en 3 dimensiones.

Cuando la curva cerrada es una circunferencia, la superficie se denomina toro. En lenguaje cotidiano se denomina anillo al cuerpo cuya superficie exterior es un toro, lo que ilustra la diferencia entre una superficie y el volumen encerrado por ella.

Volumen

El volumen encerrado por un toroide es:

${\displaystyle V=2\pi RA\,}$ 

donde R es la distancia del eje de rotación al isobaricentro de la figura plana generatriz y A el área limitada por dicha figura.

Diversas ecuaciones del toroide

 

En un sistema de coordenadas cartesianas de centro O, ejes horizontales x e y y eje vertical z, la superficie del toro se puede generar del modo siguiente. Se construye sobre el plano xz una circunferencia de radio r con centro en el punto C que está sobre el eje x y a distancia R de O. La superficie del toro se genera cuando se hace girar esta circunferencia alrededor del eje z.

Ecuaciones paramétricas

Las coordenadas de un punto cualquiera del toro se obtienen mediante las siguientes expresiones, donde intervienen los parámetros: α es la latitud del punto respecto del plano xz, y β el ángulo de rotación de la circunferencia generatriz alrededor del eje z o longitud. Se tiene entonces que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=(R+r\cos \ \alpha )\cos \ \beta \\y=(R+r\cos \ \alpha )\sin \ \beta \\z=r\sin \ \alpha \end{array}}\right.}$ 

A cualquier par ordenado de valores de los ángulos α y β le corresponde un punto del toro de coordenadas: x, y, z.

Ecuación cartesiana

Partiendo de las ecuaciones:

${\displaystyle left.Beginarrayx=0\left.{\begin{array}{l}x=(R+r=X\ \alpha )\cos \ \beta \\y=(R+r\cos \ \alpha )\sin \ \beta \\\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta =1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}=(R+r\cos \ \alpha )^{2}}$ 

se puede eliminar el ángulo β. A partir de las siguientes ecuaciones, se puede también eliminar α:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=(R+r\cos \ \alpha )^{2}\\z=r\sin \ \alpha \\\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}=\left(R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\right)^{2}}$ 

Ecuación cartesiana

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje de giro es el eje z, R la distancia del centro del círculo al eje y r el radio del círculo, es:

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 

racionalizando

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0}$  ^[2]​

donde la expresión de la derecha es la ecuación que deben satisfacer las coordenadas x, y, z de cualquier punto del toro.

Véase también

• Toro (geometría)
• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Toroide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
2. Santaló y otros: Geometría analítica

•   Datos: Q3241394