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Todas las funciones en O TrigonometriaReferenciasConstantes exactas Tablas Circunferencia goniometricaFunciones leyes y teoremasFunciones e inversas Senos Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de Pitagoras Identidades y formulas de trigonometriaCalculo infinitesimalSustitucion trigonometrica Integrales de funciones directas e inversas DerivadasTemas relacionadosTemas Historia Usos Trigonometria generalizada editar datos en Wikidata Una identidad trigonometrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonometricas y es valida en el dominio comun o descartando los puntos que anulan alguna funcion en caso de ser divisor Las funciones estan ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero aunque en algunos casos se recurre a la raiz cuadrada Los angulos se suman algebraicamente se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actuan como argumento de alguna funcion Nota la notacion sen 2 a displaystyle operatorname sen 2 alpha se define como sen a 2 displaystyle operatorname sen alpha 2 Lo mismo se aplica a las demas funciones trigonometricas Indice 1 Funciones trigonometricas 2 Relaciones basicas 3 Identidades de suma y diferencia de angulos 4 Identidades del angulo multiple 4 1 Formulas del angulo doble 4 2 Formulas del angulo triple 4 3 Formulas del angulo mitad 4 4 Tabla 4 5 Producto infinito de Leonhard Euler 5 Formulas de reduccion de potencias 6 Paso de producto a suma 7 Paso de suma a producto 8 Paso de diferencia de cuadrados a producto 9 Paso de senos y cosenos a tangentes 10 Funciones trigonometricas inversas 10 1 Composicion de funciones trigonometricas 11 Formulas de productos infinitos 12 Formula de Euler 13 Teorema del coseno 14 Teorema del seno 14 1 Aplicacion 15 Definiciones exponenciales 16 Vease tambien 17 Referencias 17 1 Bibliografia 17 2 Enlaces externosFunciones trigonometricaseditar nbsp Identidades trigonometricas fundamentales y como convertir de una funcion trigonometrica a otra sen 8 y cos 8 x displaystyle operatorname sen theta y text cos theta x nbsp en D R displaystyle Delta R nbsp de hipotenusa igual a uno cateto adyacente x displaystyle x nbsp cateto opuesto y displaystyle y nbsp respecto a 8 displaystyle theta nbsp tg 8 sen 8 cos 8 8 p 2 p k p a r a k Z displaystyle operatorname tg theta frac operatorname sen theta cos theta text theta neq frac pi 2 pi k quad mathrm para quad k in mathbb Z nbsp cot 8 cos 8 sen 8 8 p k p a r a k Z displaystyle cot theta frac cos theta operatorname sen theta text theta neq pi k quad mathrm para quad k in mathbb Z nbsp sec 8 1 cos 8 8 p 2 p k p a r a k Z displaystyle sec theta frac 1 cos theta text theta neq frac pi 2 pi k quad mathrm para quad k in mathbb Z nbsp csc 8 1 sen 8 8 p k p a r a k Z displaystyle csc theta frac 1 operatorname sen theta text theta neq pi k quad mathrm para quad k in mathbb Z nbsp 1 Relaciones basicaseditarPeriodicidad 2 p displaystyle 2 pi nbsp cos 8 sen p 2 8 displaystyle cos theta operatorname sen left frac pi 2 theta right nbsp Simetria sen 8 sen 8 displaystyle operatorname sen theta operatorname sen theta nbsp Relacion pitagorica sen 2 8 cos 2 8 1 displaystyle operatorname sen 2 theta cos 2 theta 1 nbsp Identidad de la razon tg 8 sen 8 cos 8 displaystyle operatorname tg theta frac operatorname sen theta cos theta nbsp De estas identidades se puede elaborar la siguiente tabla Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitara saber los valores para los cuales la funcion trigonometrica en cuestion es negativa o positiva Funciones trigonometricas en funcion de las otras cinco 2 En terminos de sen displaystyle operatorname sen nbsp cos displaystyle cos nbsp tg displaystyle operatorname tg nbsp cot displaystyle cot nbsp sec displaystyle sec nbsp csc displaystyle csc nbsp sen 8 displaystyle operatorname sen theta nbsp sen 8 displaystyle operatorname sen theta nbsp cos 3 p 2 8 displaystyle cos left frac 3 pi 2 theta right nbsp tg 8 1 tg 2 8 displaystyle frac operatorname tg theta sqrt 1 operatorname tg 2 theta nbsp 1 1 cot 2 8 displaystyle frac 1 sqrt 1 cot 2 theta nbsp sec 2 8 1 sec 8 displaystyle frac sqrt sec 2 theta 1 sec theta nbsp 1 csc 8 displaystyle frac 1 csc theta nbsp cos 8 displaystyle cos theta nbsp sen p 2 8 displaystyle operatorname sen left frac pi 2 theta right nbsp cos 8 displaystyle cos theta nbsp 1 1 tg 2 8 displaystyle frac 1 sqrt 1 operatorname tg 2 theta nbsp cot 8 1 cot 2 8 displaystyle frac cot theta sqrt 1 cot 2 theta nbsp 1 sec 8 displaystyle frac 1 sec theta nbsp csc 2 8 1 csc 8 displaystyle frac sqrt csc 2 theta 1 csc theta nbsp tg 8 displaystyle operatorname tg theta nbsp sen 8 sen p 2 8 displaystyle frac operatorname sen theta operatorname sen left frac pi 2 theta right nbsp cos 3 p 2 8 cos 8 displaystyle frac cos left frac 3 pi 2 theta right cos theta nbsp tg 8 displaystyle operatorname tg theta nbsp 1 cot 8 displaystyle frac 1 cot theta nbsp sec 2 8 1 displaystyle sqrt sec 2 theta 1 nbsp 1 csc 2 8 1 displaystyle frac 1 sqrt csc 2 theta 1 nbsp cot 8 displaystyle cot theta nbsp sen p 2 8 sen 8 displaystyle frac operatorname sen left frac pi 2 theta right operatorname sen theta nbsp cos 8 cos 3 p 2 8 displaystyle frac cos theta cos left frac 3 pi 2 theta right nbsp 1 tg 8 displaystyle frac 1 operatorname tg theta nbsp cot 8 displaystyle cot theta nbsp 1 sec 2 8 1 displaystyle 1 over sqrt sec 2 theta 1 nbsp csc 2 8 1 displaystyle sqrt csc 2 theta 1 nbsp sec 8 displaystyle sec theta nbsp 1 sen p 2 8 displaystyle frac 1 operatorname sen left frac pi 2 theta right nbsp 1 cos 8 displaystyle frac 1 cos theta nbsp 1 tg 2 8 displaystyle sqrt 1 operatorname tg 2 theta nbsp 1 cot 2 8 cot 8 displaystyle sqrt 1 cot 2 theta over cot theta nbsp sec 8 displaystyle sec theta nbsp csc 8 csc 2 8 1 displaystyle csc theta over sqrt csc 2 theta 1 nbsp csc 8 displaystyle csc theta nbsp 1 sen 8 displaystyle frac 1 operatorname sen theta nbsp 1 cos 3 p 2 8 displaystyle frac 1 cos left frac 3 pi 2 theta right nbsp 1 tg 2 8 tg 8 displaystyle sqrt 1 operatorname tg 2 theta over operatorname tg theta nbsp 1 cot 2 8 displaystyle sqrt 1 cot 2 theta nbsp sec 8 sec 2 8 1 displaystyle sec theta over sqrt sec 2 theta 1 nbsp csc 8 displaystyle csc theta nbsp De las definiciones de las funciones trigonometricas tg x sen x cos x cot x 1 tg x cos x sen x displaystyle operatorname tg x frac operatorname sen x cos x qquad cot x frac 1 operatorname tg x frac cos x operatorname sen x nbsp sec x 1 cos x csc x 1 sen x displaystyle sec x frac 1 cos x qquad csc x frac 1 operatorname sen x nbsp Son mas sencillas de probar en la circunferencia trigonometrica o goniometrica que tiene radio igual a 1 sen x sen x 2 p cos x cos x 2 p tg x tg x p displaystyle operatorname sen x operatorname sen x 2 pi qquad cos x cos x 2 pi qquad operatorname tg x operatorname tg x pi nbsp sen x sen x p cos x cos x p displaystyle operatorname sen x operatorname sen x pi qquad cos x cos x pi nbsp tg x tg x cot x cot x displaystyle operatorname tg x operatorname tg x qquad cot x cot x nbsp sen x cos p 2 x cos x sen p 2 x tg x cot p 2 x displaystyle operatorname sen x cos left frac pi 2 x right qquad cos x operatorname sen left frac pi 2 x right qquad operatorname tg x cot left frac pi 2 x right nbsp A veces es importante saber que cualquier combinacion lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo periodo pero estan desfasadas es tambien una onda senoidal del mismo periodo pero con un desplazamiento de fase diferente Dicho de otro modo a sen x b cos x a 2 b 2 sen x f displaystyle a operatorname sen x b cos x sqrt a 2 b 2 cdot operatorname sen left x varphi right nbsp donde f a r c t a n b a displaystyle varphi rm arctan b a nbsp si a es positivo y f a r c t a n b a p displaystyle varphi rm arctan b a pi nbsp si no Usando la funcion Atan2 tambien puede escribirse como a sen x b cos x a 2 b 2 sen x atan2 b a displaystyle a operatorname sen x b cos x sqrt a 2 b 2 cdot operatorname sen left x operatorname atan2 b a right nbsp La identidad sen 2 x cos 2 x 1 displaystyle operatorname sen 2 left x right cos 2 left x right 1 nbsp Es llamada identidad trigonometrica fundamental y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades mas muy utiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la funcion seno obtenga el valor de las restantes sin tabla ni calculadora Por ejemplo si se divide ambos miembros de sen cos 1 por cos se obtiene tg 2 x 1 sec 2 x displaystyle operatorname tg 2 left x right 1 sec 2 left x right nbsp Ahora dividiendo ambos miembros de la misma expresion por el sen se obtiene cot 2 x 1 csc 2 x displaystyle cot 2 left x right 1 csc 2 left x right nbsp Entonces puede expresarse la funcion seno segun alguna otra conocida sen x 1 cos 2 x sen x tg x 1 tg 2 x displaystyle operatorname sen x sqrt 1 cos 2 x qquad operatorname sen x frac operatorname tg x sqrt 1 operatorname tg 2 x nbsp sen x 1 1 cot 2 x sen x 1 sec x sec 2 x 1 displaystyle operatorname sen x frac 1 sqrt 1 cot 2 x qquad operatorname sen x frac 1 sec x sqrt sec 2 x 1 nbsp Ejemplo 2 sec 2 t 1 sec 2 t sen 2 t displaystyle frac sec 2 t 1 sec 2 t operatorname sen 2 t nbsp sec 2 t 1 sec 2 t displaystyle frac sec 2 t 1 sec 2 t nbsp 1 cos 2 t 1 1 cos 2 t displaystyle frac frac 1 cos 2 t 1 frac 1 cos 2 t nbsp cos 2 t 1 cos 2 t 1 displaystyle cos 2 t left frac 1 cos 2 t 1 right nbsp cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t displaystyle cos 2 t left frac 1 cos 2 t cos 2 t right nbsp 1 cos 2 t displaystyle 1 cos 2 t nbsp sen 2 t displaystyle operatorname sen 2 t nbsp Identidades de suma y diferencia de anguloseditarPueden demostrarse segun la Formula de Euler o mediante la proyeccion de angulos consecutivos La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno y las restantes de la reciproca correspondiente Las siguientes demostraciones son validas solo para valores de a b 0 p 2 displaystyle alpha beta in left 0 frac pi 2 right nbsp pues las construcciones sobre las que se sostienen no se pueden construir para angulos fuera de ese intervalo Debajo hay una demostracion para el caso general sen x y sen x cos y cos x sen y displaystyle operatorname sen x pm y operatorname sen x cos y pm cos x operatorname sen y nbsp cos x y cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x pm y cos x cos y mp operatorname sen x operatorname sen y nbsp tg x y tg x tg y 1 tg x tg y displaystyle operatorname tg x pm y frac operatorname tg x pm operatorname tg y 1 mp operatorname tg x operatorname tg y nbsp nbsp Triangulo usado para demostrar el resultado del seno de la suma de dos angulos Primera demostracion por semejanza de triangulos Para comprobar sen a b displaystyle operatorname sen alpha beta nbsp sen a cos b cos a sen b displaystyle operatorname sen alpha cos beta cos alpha operatorname sen beta nbsp hace falta substituir las relaciones trigonometricas del dibujo construible D B D A E F E A A F A D A F A E D F D A displaystyle frac DB DA frac EF EA frac AF AD frac AF AE frac DF DA nbsp simplificando A D displaystyle AD nbsp y sacando factor comun A F A E displaystyle frac AF AE nbsp queda D B A F A E E F F D displaystyle DB frac AF AE EF FD nbsp como E F F D E D displaystyle EF FD ED nbsp D B D E A F A E displaystyle frac DB DE frac AF AE nbsp confirmandose el resultado por semejanza de triangulos nbsp Dibujo para demostrar una identidad trigonometrica Segunda demostracion por areas de triangulos La relacion entre areas del dibujo es A t o t a l A a A b displaystyle A total A a A b nbsp aplicando formulas de areas y con a cos a b cos b displaystyle a cos alpha b cos beta nbsp se obtiene sen a b a b 2 sen a cos b a b 2 sen b cos a a b 2 displaystyle frac operatorname sen alpha beta ab 2 frac operatorname sen alpha cos beta ab 2 frac operatorname sen beta cos alpha ab 2 nbsp simplificando sen a b sen a cos b sen b cos a displaystyle operatorname sen alpha beta operatorname sen alpha cos beta operatorname sen beta cos alpha nbsp Demostracion de sen x y displaystyle operatorname sen x y nbsp sen x cos y cos x sen y displaystyle operatorname sen x cos y cos x operatorname sen y nbsp aplicando la identidad antes demostrada sen x y displaystyle operatorname sen x y nbsp sen x y displaystyle operatorname sen x y nbsp sen x cos y cos x sen y displaystyle operatorname sen x cos y cos x operatorname sen y nbsp sen x cos y cos x sen y displaystyle operatorname sen x cos y cos x operatorname sen y nbsp Demostracion de cos x y displaystyle cos x y nbsp cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp aplicando la primera identidad cos x y sen x y p 2 displaystyle cos x y operatorname sen x y frac pi 2 nbsp sen x cos y p 2 cos x sen y p 2 displaystyle operatorname sen x cos y frac pi 2 cos x operatorname sen y frac pi 2 nbsp sen x sen y cos x cos y displaystyle operatorname sen x operatorname sen y cos x cos y nbsp Demostracion de cos x y displaystyle cos x y nbsp cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp aplicando la identidad antes demostrada cos x y displaystyle cos x y nbsp cos x y displaystyle cos x y nbsp cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp Demostracion de tg x y tg x tg y 1 tg x tg y displaystyle operatorname tg x pm y frac operatorname tg x pm operatorname tg y 1 mp operatorname tg x operatorname tg y nbsp tg a b displaystyle operatorname tg alpha pm beta nbsp sen a b cos a b displaystyle frac operatorname sen alpha pm beta cos alpha pm beta nbsp sen a cos b cos a sen b cos b cos a sen a sen b displaystyle frac operatorname sen alpha cos beta pm cos alpha operatorname sen beta cos beta cos alpha mp operatorname sen alpha operatorname sen beta nbsp sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos b cos a sen a sen b cos a cos b displaystyle frac frac operatorname sen alpha cos beta pm cos alpha operatorname sen beta cos alpha cos beta frac cos beta cos alpha mp operatorname sen alpha operatorname sen beta cos alpha cos beta nbsp tg a tg b 1 tg a tg b displaystyle frac operatorname tg alpha pm operatorname tg beta 1 mp operatorname tg alpha operatorname tg beta nbsp A continuacion se presenta una demostracion valida para cualquier angulo a partir de las definiciones de seno y coseno de cualquier angulo como parametrizaciones del circulo unidad Como lemas se demuestra tambien que cos x cos x displaystyle cos x cos x nbsp sin x sin x displaystyle sin x sin x nbsp y que cos p 2 x sin x displaystyle cos left frac pi 2 x right sin x nbsp Demostracion para cualquier angulo real Consideremos el circulo unidad S displaystyle S nbsp y los puntos P 1 0 X cos x sin x S displaystyle P 1 0 X cos x sin x in S nbsp para un cierto x R displaystyle x in mathbb R nbsp El cuadrado de la longitud de la cuerda que une dichos puntos es por definicion de distancia euclidea d P X 2 1 cos x 2 0 sin x 2 1 2 cos x cos 2 x sin 2 x 1 2 cos x 1 2 2 cos x displaystyle operatorname d P X 2 1 cos x 2 0 sin x 2 1 2 cos x cos 2 x sin 2 x 1 2 cos x 1 2 2 cos x nbsp Ahora consideremos x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp arbitrarios y los puntos X cos x sin x Y cos y sin y S displaystyle X cos x sin x Y cos y sin y in S nbsp Calculamos el cuadrado de la longitud de la cuerda que los une de dos formas distintas a displaystyle a nbsp Por definicion de distancia euclidea d X Y 2 cos y cos x 2 sin y sin x 2 cos 2 y cos 2 x 2 cos y cos x sin 2 y sin 2 x 2 sin y sin x 2 2 cos y cos x 2 sin y sin x displaystyle operatorname d X Y 2 cos y cos x 2 sin y sin x 2 cos 2 y cos 2 x 2 cos y cos x sin 2 y sin 2 x 2 sin y sin x 2 2 cos y cos x 2 sin y sin x nbsp b displaystyle b nbsp Utilizando el caso particular descrito al principio de la demostracion Hacemos la siguiente transformacion en el plano lo giramos alrededor del centro del circulo unidad S displaystyle S nbsp un angulo de y displaystyle y nbsp radianes de forma que Y P 1 0 displaystyle Y mapsto P 1 0 nbsp y X X cos x y sin x y displaystyle X mapsto X cos x y sin x y nbsp Como un giro mantiene invariantes las distancias en el plano tenemos por el caso descrito al inicio de la demostracion que d Y X 2 d P X 2 2 2 cos x y displaystyle operatorname d Y X 2 operatorname d P X 2 2 2 cos x y nbsp Igualamos ahora las expresiones encontradas en a displaystyle a nbsp y b displaystyle b nbsp 2 2 cos x y a d Y X 2 b 2 2 cos y cos x 2 sin y sin x cos x y cos x cos y sin x sin y displaystyle 2 2 cos x y overset a operatorname d Y X 2 overset b 2 2 cos y cos x 2 sin y sin x Rightarrow cos x y cos x cos y sin x sin y nbsp Esto demuestra la formula para el coseno de la resta a la que nos referiremos en adelante como displaystyle nbsp Las otras expresiones se deducen de esta pero necesitamos los siguientes lemas Lema 1 cos p 2 x sin x x R displaystyle text Lema 1 cos left frac pi 2 x right sin x quad forall x in mathbb R nbsp Es consecuencia directa de evaluar displaystyle nbsp en x p 2 displaystyle x frac pi 2 nbsp Lema 2 cos x cos x x R displaystyle text Lema 2 cos x cos x quad forall x in mathbb R nbsp Es consecuencia directa de evaluar displaystyle nbsp en x 0 displaystyle x 0 nbsp Lema 3 sin x sin x x R displaystyle text Lema 3 sin x sin x quad forall x in mathbb R nbsp Por displaystyle nbsp y los dos lemas anteriores tenemos que sin x 1 cos p 2 x cos p 2 x 2 cos p 2 x cos p 2 x cos x cos p 2 sin x sin p 2 sin x displaystyle sin x overset 1 cos left frac pi 2 x right cos left frac pi 2 x right overset 2 cos left left frac pi 2 x right right cos left frac pi 2 x right overset cos x cos left frac pi 2 right sin x sin left frac pi 2 right sin x nbsp Con estos lemas vemos el resto de formulas cos x y cos x y cos x cos y sin x sin y 2 3 cos x cos y sin x sin y displaystyle cos x y cos x y overset cos x cos y sin x sin y overset 2 3 cos x cos y sin x sin y nbsp sin x y 1 cos p 2 y x cos p 2 y cos x sin p 2 y sin x 1 displaystyle sin x y overset 1 cos left frac pi 2 y x right overset cos left frac pi 2 y right cos x sin left frac pi 2 y right sin x overset 1 nbsp sin y cos x cos p 2 p 2 y sin x sin y cos x cos y sin x 2 3 sin y cos x cos y sin x sin x cos y cos x sin y displaystyle sin y cos x cos left frac pi 2 frac pi 2 y right sin x sin y cos x cos y sin x overset 2 3 sin y cos x cos y sin x sin x cos y cos x sin y nbsp sin x y sin x y sin x cos y cos x sin y 2 3 sin x cos y cos x sin y displaystyle sin x y sin x y sin x cos y cos x sin y overset 2 3 sin x cos y cos x sin y nbsp Las formulas para la tangente se pueden deducir de las cuatro formulas anteriores de igual forma que en la demostracion particular anterior displaystyle quad square nbsp De lo que se sigue para determinados angulos suplementarios sen p x sen x displaystyle operatorname sen pi pm x mp operatorname sen x nbsp cos p x cos x displaystyle cos pi pm x cos x nbsp tg p x tg x displaystyle operatorname tg pi pm x pm operatorname tg x nbsp csc p x csc x displaystyle csc pi pm x mp csc x nbsp Para angulos complementarios sen p 2 x cos x displaystyle operatorname sen left frac pi 2 x right cos x nbsp cos p 2 x sen x displaystyle cos left frac pi 2 x right operatorname sen x nbsp tg p 2 x cot x displaystyle operatorname tg left frac pi 2 x right cot x nbsp csc p 2 x sec x displaystyle csc left frac pi 2 x right sec x nbsp sec p 2 x csc x displaystyle sec left frac pi 2 x right csc x nbsp cot p 2 x tg x displaystyle cot left frac pi 2 x right operatorname tg x nbsp Para angulos opuestos sen x sen x displaystyle operatorname sen left x right operatorname sen left x right nbsp cos x cos x displaystyle cos left x right cos left x right nbsp tg x tg x displaystyle operatorname tg left x right operatorname tg left x right nbsp csc x csc x displaystyle csc left x right csc left x right nbsp sec x sec x displaystyle sec left x right sec left x right nbsp cot x cot x displaystyle cot left x right cot left x right nbsp Otras relaciones 2 sen p 4 x 2 cos p 4 x cos x sen x displaystyle sqrt 2 operatorname sen left frac pi 4 pm x right sqrt 2 cos left frac pi 4 mp x right cos left x right pm operatorname sen left x right nbsp Identidades del angulo multipleeditarSi T n displaystyle T n nbsp es el n displaystyle n nbsp esimo polinomio de Chebyshev entonces cos n x T n cos x displaystyle cos nx T n cos x nbsp Formula de De Moivre cos n x i sen n x cos x i sen x n displaystyle cos nx i operatorname sen nx cos x i operatorname sen x n nbsp Formulas del angulo dobleeditar Formulas para angulos dobles sen 2 8 2 sen 8 cos 8 cos 2 8 cos 2 8 sen 2 8 2 cos 2 8 1 1 2 sen 2 8 tg 2 8 2 tg 8 1 tg 2 8 cot 2 8 cot 2 8 1 2 cot 8 sec 2 8 s e c 2 8 2 sec 2 8 csc 2 8 sec 8 csc 8 2 displaystyle begin aligned operatorname sen 2 theta amp 2 operatorname sen theta cos theta cos 2 theta amp cos 2 theta operatorname sen 2 theta 2 cos 2 theta 1 1 2 operatorname sen 2 theta operatorname tg 2 theta amp frac 2 operatorname tg theta 1 operatorname tg 2 theta cot 2 theta amp frac cot 2 theta 1 2 cot theta sec 2 theta amp frac sec 2 theta 2 sec 2 theta csc 2 theta amp frac sec theta csc theta 2 end aligned nbsp Formulas del angulo tripleeditar Formulas para angulos triples sen 3 8 3 sen 8 4 sen 3 8 4 sen 8 sen p 3 8 sen p 3 8 cos 3 8 4 cos 3 8 3 cos 8 4 cos 8 cos p 3 8 cos p 3 8 tg 3 8 3 tg 8 tg 3 8 1 3 tg 2 8 cot 3 8 3 cot 8 cot 3 8 1 3 cot 2 8 sec 3 8 sec 3 8 4 3 sec 2 8 csc 3 8 csc 3 8 3 csc 2 8 4 displaystyle begin aligned operatorname sen 3 theta amp 3 operatorname sen theta 4 operatorname sen 3 theta 4 operatorname sen theta operatorname sen left frac pi 3 theta right operatorname sen left frac pi 3 theta right cos 3 theta amp 4 cos 3 theta 3 cos theta 4 cos theta cos left frac pi 3 theta right cos left frac pi 3 theta right operatorname tg 3 theta amp frac 3 operatorname tg theta operatorname tg 3 theta 1 3 operatorname tg 2 theta cot 3 theta amp frac 3 cot theta cot 3 theta 1 3 cot 2 theta sec 3 theta amp frac sec 3 theta 4 3 sec 2 theta csc 3 theta amp frac csc 3 theta 3 csc 2 theta 4 end aligned nbsp Formulas del angulo mitadeditar sen 8 2 1 cos 8 2 cos 8 2 1 cos 8 2 tg 8 2 csc 8 cot 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 1 1 tg 2 8 tg 8 tg 8 1 sec 8 cot 8 2 csc 8 cot 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 displaystyle begin aligned operatorname sen frac theta 2 amp pm sqrt frac 1 cos theta 2 cos frac theta 2 amp pm sqrt frac 1 cos theta 2 operatorname tg frac theta 2 amp csc theta cot theta pm sqrt frac 1 cos theta 1 cos theta frac operatorname sen theta 1 cos theta amp frac 1 cos theta operatorname sen theta frac 1 pm sqrt 1 operatorname tg 2 theta operatorname tg theta frac operatorname tg theta 1 sec theta cot frac theta 2 amp csc theta cot theta pm sqrt frac 1 cos theta 1 cos theta frac operatorname sen theta 1 cos theta frac 1 cos theta operatorname sen theta end aligned nbsp Ademas tg b 8 2 sen b sen 8 cos b cos 8 tg 8 2 p 4 sec 8 tg 8 1 sen 8 1 sen 8 1 tg 8 2 1 tg 8 2 displaystyle begin aligned operatorname tg frac beta pm theta 2 amp frac operatorname sen beta pm operatorname sen theta cos beta cos theta operatorname tg left frac theta 2 frac pi 4 right amp sec theta operatorname tg theta sqrt frac 1 operatorname sen theta 1 operatorname sen theta amp frac 1 operatorname tg frac theta 2 1 operatorname tg frac theta 2 end aligned nbsp Tablaeditar Estas identidades pueden ser demostradas utilizando las identidades de la suma y diferencia o las formulas para angulos multiples Formulas del angulo doble sen 2 8 2 sen 8 cos 8 2 tg 8 1 tg 2 8 displaystyle begin aligned operatorname sen 2 theta amp 2 operatorname sen theta cos theta amp frac 2 operatorname tg theta 1 operatorname tg 2 theta end aligned nbsp cos 2 8 cos 2 8 sen 2 8 2 cos 2 8 1 1 2 sen 2 8 1 tg 2 8 1 tg 2 8 displaystyle begin aligned cos 2 theta amp cos 2 theta operatorname sen 2 theta amp 2 cos 2 theta 1 amp 1 2 operatorname sen 2 theta amp frac 1 operatorname tg 2 theta 1 operatorname tg 2 theta end aligned nbsp tg 2 8 2 tg 8 1 tg 2 8 displaystyle operatorname tg 2 theta frac 2 operatorname tg theta 1 operatorname tg 2 theta nbsp cot 2 8 cot 8 tg 8 2 displaystyle cot 2 theta frac cot theta operatorname tg theta 2 nbsp Formulas del angulo triple sen 3 8 3 sen 8 4 sen 3 8 displaystyle operatorname sen 3 theta 3 operatorname sen theta 4 operatorname sen 3 theta nbsp cos 3 8 4 cos 3 8 3 cos 8 displaystyle cos 3 theta 4 cos 3 theta 3 cos theta nbsp tg 3 8 3 tg 8 tg 3 8 1 3 tg 2 8 displaystyle operatorname tg 3 theta frac 3 operatorname tg theta operatorname tg 3 theta 1 3 operatorname tg 2 theta nbsp cot 3 8 3 cot 8 cot 3 8 1 3 cot 2 8 displaystyle cot 3 theta frac 3 cot theta cot 3 theta 1 3 cot 2 theta nbsp Formulas del angulo mitad sen 8 2 1 cos 8 2 displaystyle operatorname sen tfrac theta 2 pm sqrt frac 1 cos theta 2 nbsp cos 8 2 1 cos 8 2 displaystyle cos tfrac theta 2 pm sqrt frac 1 cos theta 2 nbsp tg 8 2 csc 8 cot 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 displaystyle begin aligned operatorname tg tfrac theta 2 amp csc theta cot theta amp pm sqrt 1 cos theta over 1 cos theta amp frac operatorname sen theta 1 cos theta amp frac 1 cos theta operatorname sen theta end aligned nbsp cot 8 2 csc 8 cot 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 1 cos 8 1 cos 8 sen 8 displaystyle begin aligned cot tfrac theta 2 amp csc theta cot theta amp pm sqrt 1 cos theta over 1 cos theta amp frac operatorname sen theta 1 cos theta amp frac 1 cos theta operatorname sen theta end aligned nbsp Producto infinito de Leonhard Eulereditar cos 8 2 cos 8 4 cos 8 8 n 1 cos 8 2 n sen 8 8 displaystyle cos left theta over 2 right cdot cos left theta over 4 right cdot cos left theta over 8 right cdots prod n 1 infty cos left theta over 2 n right operatorname sen theta over theta nbsp Formulas de reduccion de potenciaseditarSe obtienen al resolver la segunda y la tercera versiones de las formulas del coseno del angulo doble Seno sen 2 8 1 cos 2 8 2 displaystyle operatorname sen 2 theta frac 1 cos 2 theta 2 nbsp sen 3 8 3 sen 8 sen 3 8 4 displaystyle operatorname sen 3 theta frac 3 operatorname sen theta operatorname sen 3 theta 4 nbsp sen 4 8 3 4 cos 2 8 cos 4 8 8 displaystyle operatorname sen 4 theta frac 3 4 cos 2 theta cos 4 theta 8 nbsp sen 5 8 10 sen 8 5 sen 3 8 sen 5 8 16 displaystyle operatorname sen 5 theta frac 10 operatorname sen theta 5 operatorname sen 3 theta operatorname sen 5 theta 16 nbsp Coseno cos 2 8 1 cos 2 8 2 displaystyle cos 2 theta frac 1 cos 2 theta 2 nbsp cos 3 8 3 cos 8 cos 3 8 4 displaystyle cos 3 theta frac 3 cos theta cos 3 theta 4 nbsp cos 4 8 3 4 cos 2 8 cos 4 8 8 displaystyle cos 4 theta frac 3 4 cos 2 theta cos 4 theta 8 nbsp cos 5 8 10 cos 8 5 cos 3 8 cos 5 8 16 displaystyle cos 5 theta frac 10 cos theta 5 cos 3 theta cos 5 theta 16 nbsp Otros sen 2 8 cos 2 8 1 cos 4 8 8 sen 2 2 8 4 displaystyle begin aligned operatorname sen 2 theta cos 2 theta frac 1 cos 4 theta 8 frac operatorname sen 2 2 theta 4 end aligned nbsp sen 3 8 cos 3 8 sen 3 2 8 8 displaystyle operatorname sen 3 theta cos 3 theta frac operatorname sen 3 2 theta 8 nbsp sen 4 8 cos 4 8 3 4 cos 4 8 cos 8 8 128 sen 4 2 8 16 displaystyle begin aligned operatorname sen 4 theta cos 4 theta frac 3 4 cos 4 theta cos 8 theta 128 frac operatorname sen 4 2 theta 16 end aligned nbsp sen 5 8 cos 5 8 sen 5 2 8 32 displaystyle operatorname sen 5 theta cos 5 theta frac operatorname sen 5 2 theta 32 nbsp Y en terminos generales de potencias de sen 8 displaystyle operatorname sen theta nbsp o cos 8 displaystyle cos theta nbsp las siguientes identidades son ciertas y pueden ser obtenidas utilizando la formula de De Moivre la formula de Euler y el teorema del binomio Para n displaystyle n nbsp impar cos n 8 2 2 n k 0 n 1 2 n k cos n 2 k 8 sen n 8 2 2 n k 0 n 1 2 1 n 1 2 k n k sen n 2 k 8 displaystyle begin aligned cos n theta amp frac 2 2 n sum k 0 frac n 1 2 binom n k cos n 2k theta operatorname sen n theta amp frac 2 2 n sum k 0 frac n 1 2 1 left frac n 1 2 k right binom n k operatorname sen n 2k theta end aligned nbsp Para n displaystyle n nbsp par cos n 8 1 2 n n n 2 2 2 n k 0 n 2 1 n k cos n 2 k 8 sen n 8 1 2 n n n 2 2 2 n k 0 n 2 1 1 n 2 k n k cos n 2 k 8 displaystyle begin aligned cos n theta amp frac 1 2 n binom n frac n 2 frac 2 2 n sum k 0 frac n 2 1 binom n k cos n 2k theta operatorname sen n theta amp frac 1 2 n binom n frac n 2 frac 2 2 n sum k 0 frac n 2 1 1 left frac n 2 k right binom n k cos n 2k theta end aligned nbsp Paso de producto a sumaeditarPuede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros sen x sen y cos x y cos x y 2 displaystyle operatorname sen x operatorname sen y cos x y cos x y over 2 nbsp cos x cos y cos x y cos x y 2 displaystyle cos x cos y cos x y cos x y over 2 nbsp sen x cos y sen x y sen x y 2 displaystyle operatorname sen x cos y operatorname sen x y operatorname sen x y over 2 nbsp cos x sen y sen x y sen x y 2 displaystyle cos x operatorname sen y operatorname sen x y operatorname sen x y over 2 nbsp Demostracion cos x cos y cos x y cos x y 2 displaystyle cos x cos y cos x y cos x y over 2 nbsp Sabemos por el teorema de la suma y la resta que cos x y cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x pm y cos x cos y mp operatorname sen x operatorname sen y nbsp Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos 1 cos x y cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x y cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp 2 cos x y cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x y cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp Si tomamos la ecuacion 1 y despejamos cos x cos y nos queda que 3 cos x cos y cos x y sen x sen y displaystyle cos x cos y cos x y operatorname sen x operatorname sen y nbsp Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuacion 2 al miembro izquierdo de la ecuacion 3 y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuacion 2 en el lado derecho de la ecuacion 3 al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuacion la nueva ecuacion sigue siendo cierta quedaria cos x cos y sen x sen y cos x cos y cos x y sen x sen y cos x y displaystyle cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y cos x cos y cos x y operatorname sen x operatorname sen y cos x y nbsp Simplificando el elemento sen x sen y y sumando cos x cos y quedaria 2 cos x cos y cos x y cos x y displaystyle 2 cos x cos y cos x y cos x y nbsp Y por ultimo multiplicando ambos lados de la ecuacion por queda cos x cos y cos x y cos x y 2 displaystyle cos x cos y cos x y cos x y over 2 nbsp Nota 1 este procedimiento tambien se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores Nota 2 Usando 3 y el resultado anterior se obtiene tambien sen x sen y cos x y cos x y 2 displaystyle operatorname sen x operatorname sen y cos x y cos x y over 2 nbsp Notar el cambio de signo Paso de suma a productoeditarsen a sen b 2 sen a b 2 cos a b 2 displaystyle operatorname sen a operatorname sen b 2 operatorname sen left frac a b 2 right cos left frac a b 2 right nbsp sen a sen b 2 cos a b 2 sen a b 2 displaystyle operatorname sen a operatorname sen b 2 cos left frac a b 2 right operatorname sen left frac a b 2 right nbsp cos a cos b 2 cos a b 2 cos a b 2 displaystyle cos a cos b 2 cos left frac a b 2 right cos left frac a b 2 right nbsp cos a cos b 2 sen a b 2 sen a b 2 displaystyle cos a cos b 2 operatorname sen left frac a b 2 right operatorname sen left frac a b 2 right nbsp tg a tg b sen a b cos a cos b displaystyle operatorname tg a pm operatorname tg b frac operatorname sen a pm b cos a cos b nbsp Reemplazando x por a b 2 e y por a b 2 en las identidades de producto a suma se tiene Paso de diferencia de cuadrados a productoeditar1 sen 2 x sen 2 y sen x y sen x y displaystyle operatorname sen 2 x operatorname sen 2 y operatorname sen x y operatorname sen x y nbsp 2 cos 2 x sen 2 y cos x y cos x y displaystyle cos 2 x operatorname sen 2 y cos x y cos x y nbsp Demostracion De la suma y diferencia de angulos se tiene cos x y cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x y cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp cos x y cos x cos y sen x sen y displaystyle cos x y cos x cos y operatorname sen x operatorname sen y nbsp cos x y cos x y cos 2 x cos 2 y sen 2 x sen 2 y displaystyle cos x y cos x y cos 2 x cos 2 y operatorname sen 2 x operatorname sen 2 y nbsp De la relacion pitagorica tenemos sen 2 x 1 cos 2 x displaystyle operatorname sen 2 x 1 cos 2 x nbsp cos 2 y 1 sen 2 y displaystyle cos 2 y 1 operatorname sen 2 y nbsp Luego mrow
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