Distribución uniforme continua

Para la distribución discreta, véase Distribución uniforme discreta.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que para cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, que son sus valores mínimo y máximo respectivamente.

Uniforme
Utilizando convención de máximo Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$
Dominio	${\displaystyle x\in [a,b]}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\quad a\leq x\leq b}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {x-a}{b-a}}\quad a\leq x\leq b}$
Media	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}$
Moda	cualquier valor en ${\displaystyle [a,b]\,\!}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle 0\,\!}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {-6}{5}}\,\!}$
Entropía	${\displaystyle \ln(b-a)\,\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!}$
Función característica	${\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!}$
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Definición

Notación

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria continua con distribución uniforme continua entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (a,b)}$  o ${\displaystyle X\sim \operatorname {Unif} (a,b)}$ .

Función de densidad

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (a,b)}$  entonces la función de densidad es:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}}$ 

para ${\displaystyle x\in [a,b]}$ .

Función de distribución

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (a,b)}$  entonces a función de distribución es:

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&x<a\\\displaystyle {\frac {x-a}{b-a}}&a\leq x<b\\1&x\geq b\end{cases}}}$ 

la cual es fácil de obtener a partir de la función de densidad pues

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {1}{b-a}}\;du={\frac {1}{b-a}}\;u{\bigg |}_{a}^{x}={\frac {x-a}{b-a}}\end{aligned}}}$ 

Propiedades

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (a,b)}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {a+b}{2}}}$ 

Esta se demuestra fácilmente utilizando la definición de esperanza matemática

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\;dx\\&={\frac {1}{b-a}}{\frac {x^{2}}{2}}{\bigg |}_{a}^{b}\\&={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}\\&={\frac {(b-a)(b+a)}{2(b-a)}}\\&={\frac {a+b}{2}}\end{aligned}}}$ 

Si uno grafica la función de densidad de esta distribución notará que la media corresponde al punto medio del intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ .

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$ 

Momentos

El ${\displaystyle n}$ -ésimo momento de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  está dado por

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}}$ 

para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos de esta distribución es

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$ 

para valores ${\displaystyle t\neq 0}$ .

Generalización a conjuntos de Borel

Esta distribución puede ser generalizada a conjuntos de intervalos más complicados. Si ${\displaystyle S}$  es un conjunto de Borel de medida finita positiva, la distribución probabilidad uniforme en ${\displaystyle S}$  se puede especificar definiendo que la pdf sea nula fuera de ${\displaystyle S}$  e igual a 1/K dentro de ${\displaystyle S}$ , donde K es la medida de Lebesgue de ${\displaystyle S}$ .

Estadísticas de orden

Sea ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  una muestra independiente e identicamente distribuidas de ${\displaystyle U(0,1)}$ . Sea ${\displaystyle X_{(k)}}$  el ${\displaystyle k}$ -ésimo estadístico de orden de esta muestra. Entonces la distribución de probabilidad de ${\displaystyle X_{(k)}}$  es una distribución Beta con parámetros ${\displaystyle k}$  y ${\displaystyle n-k+1}$ . La esperanza matemática es

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{(k)}]={k \over n+1}.}$ 

Esto es útil cuando se realizan Q-Q plots.

Las varianzas son

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$ 

Uniformidad

La probabilidad de que una variable aleatoria uniformemente distribuida se encuentre dentro de algún intervalo de longitud finita es independiente de la ubicación del intervalo (aunque sí depende del tamaño del intervalo), siempre que el intervalo esté contenido en el dominio de la distribución.

Es posible verificar esto, por ejemplo si ${\displaystyle X\approx U(a,b)}$  y ${\displaystyle [x,x+d]}$  es un subintervalo de ${\displaystyle [a,b]}$  con ${\displaystyle d}$  fijo y ${\displaystyle d>0}$ , entonces

${\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!}$ 

lo cual es independiente de ${\displaystyle x}$ . Este hecho es el que le da su nombre a la distribución.

Distribución uniforme estándar

Si se restringe ${\displaystyle a=0}$  y ${\displaystyle b=1}$  entonces la distribución resultante se llama distribución uniforme estándar. Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria con distribución uniforme estándar entonces se escribirá ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)}$ .

Para esta distribución en particular, se tiene que:

Función de densidad

La función de densidad para cualquier valor ${\displaystyle x\in [0,1]}$  es simplemente la constante ${\displaystyle 1}$ , esto es

${\displaystyle f_{X}(x)=1}$ 

Función de probabilidad

La función de probabilidad de ${\displaystyle X}$  se reduce a la recta identidad, esto es

${\displaystyle F_{X}(x)=x}$ 

para valores de ${\displaystyle x\in [0,1]}$ 

Media y Varianza

La media y varianza están dadas por

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{12}}}$ 

respectivamente.

Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)}$  entonces ${\displaystyle 1-X\sim \operatorname {U} (0,1)}$ .

Distribuciones relacionadas

Si ${\displaystyle X}$  tiene una distribución uniforme estándar, es decir, ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)}$  entonces:

• ${\displaystyle Y=-\ln(X)/\lambda }$  tiene una distribución exponencial con parámetro ${\displaystyle \lambda }$ , es decir ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Exponencial} (\lambda )}$ .
• ${\displaystyle Y=1-X^{1/n}}$  tiene una distribución beta con parámetros ${\displaystyle 1}$  y ${\displaystyle n}$ . (Notar que esto implica que la distribución uniforme estándar es un caso especial de la distribución beta, con parámetros 1 y 1).

Relaciones con otras funciones

Siempre y cuando se sigan las mismas convenciones en los puntos de transición, la función densidad de probabilidad puede también ser expresada mediante la función escalón de Heaviside:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},\,\!}$  o en términos de la función rectángulo

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-\left({\frac {a+b}{2}}\right)}{b-a}}\right).}$ 

No existe ambigüedad en el punto de transición de la función signo. Utilizando la convención de la mitad del máximo en los puntos de transición, la distribución uniforme se puede expresar a partir de la función signo como:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$ 

Aplicaciones

En estadística, cuando se utiliza un p-valor a modo de prueba estadística para una hipótesis nula simple, y la distribución de la prueba estadística es continua, entonces la prueba estadística esta uniformemente distribuida entre 0 y 1 si la hipótesis nula es verdadera.

Muestreo de una distribución uniforme

Existen muchos usos en que es útil realizar experimentos de simulación. Muchos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudo-aleatorios que están distribuidos de acuerdo a una distribución uniforme estándar.

Si u es un valor muestreado de una distribución uniforme estándar, entonces el valor a + (b − a)u posee una distribución uniforme parametrizada por a y b, como se describió previamente.

Muestreo de una distribución arbitraria

La distribución uniforme resulta útil para muestrear distribuciones arbitrarias. Un método general es el método de muestreo de transformación inversa, que utiliza la distribución de probabilidad (CDF) de la variable aleatoria objetivo. Este método es muy útil en trabajos teóricos. Dado que las simulaciones que utilizan este método requieren invertir la CDF de la variable objetivo, se han diseñado métodos alternativos para aquellos casos donde no se conoce el CDF en una forma cerrada. Otro método similar es el rejection sampling.

La distribución normal es un ejemplo importante en el que el método de la transformada inversa no es eficiente. Sin embargo, existe un método exacto, la transformación de Box-Muller, que utiliza la transformada inversa para convertir dos variables aleatorias uniformes independientes en dos variables aleatorias independientes distribuidas normalmente.

Véase también

• Distribución uniforme discreta
• Distribución exponencial
• Distribución normal
• Distribución de Poisson
• Distribución beta

Enlaces externos

• Calculadora - Distribución uniforme continua
• [1] Calcular la probabilidad de una distribución uniforme con R (lenguaje de programación)

•   Datos: Q274506
•   Multimedia: Uniform distribution