Distribución exponencial

En Teoría de Probabilidad y Estadística, la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Esta distribución al igual que la distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma.

Distribución exponencial
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \lambda >0\,}$
Dominio	${\displaystyle [0,\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$
Media	${\displaystyle 1/\lambda \,}$
Mediana	${\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}$
Moda	${\displaystyle 0\,}$
Varianza	${\displaystyle 1/\lambda ^{2}\,}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle 2\,}$
Curtosis	${\displaystyle 9\,}$
Entropía	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )\,}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
Función característica	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
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Definición

Función de Densidad

Se dice que una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  tiene una distribución exponencial con parámetro ${\displaystyle \lambda >0}$  y escribimos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$  si su función de densidad es

${\displaystyle f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$ 

para ${\displaystyle x\geq 0}$ .

Función de Distribución

Su función de distribución acumulada está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=1-e^{-\lambda x}}$ 

para ${\displaystyle x\geq 0}$ .

Parametrización Alternativa

La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala ${\displaystyle \beta =1/\lambda }$  en cuya caso, la función de densidad será

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\beta }}\;e^{-{\frac {x}{\beta }}}}$ 

para ${\displaystyle x\geq 0}$ .

Función de Supervivencia

De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia (S), que representa el complemento de la Función de distribución.

${\displaystyle S(x)=\operatorname {P} [X>x]=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{para }}x<0\\e^{-\lambda x}&{\text{para }}x\geq 0\end{matrix}}\right.}$ 

Propiedades

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$  entonces

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}}$ 

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$ 

El ${\displaystyle n}$ -ésimo momento de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}}$ 

La función generadora de momentos de ${\displaystyle X}$  para ${\displaystyle \lambda >t}$  está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$ 

Escala

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$  y ${\displaystyle c>0}$  una constante entonces

${\displaystyle cX\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {\lambda }{c}}\right)}$ 

Pérdida de Memoria

Sea ${\displaystyle X}$  una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$  entonces para cualesquiera ${\displaystyle x,y\geq 0}$ 

${\displaystyle \operatorname {P} [X>x+y|X>y]=\operatorname {P} [X>x]}$ 

Esto puede demostrarse fácilmente pues

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X>x+y|X>y]&={\frac {\operatorname {P} [X>x+y\cap X>y]}{\operatorname {P} [X>y]}}\\&={\frac {\operatorname {P} [X>x+y]}{\operatorname {P} [X>y]}}\\&={\frac {e^{-\lambda (x+y)}}{e^{-\lambda y}}}\\&=e^{-\lambda x}\\&=\operatorname {P} [X>x]\end{aligned}}}$ 

Cuantiles

La función cuantil (inversa de la función de distribución acumulada) para una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$  está dada por

${\displaystyle F^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}\qquad 0\leq p<1}$ 

por lo que los cuantiles son:

El primer cuantil es

${\displaystyle F^{-1}\left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\ln \left({\frac {3}{4}}\right)}{\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ln \left({\frac {4}{3}}\right)}$ 

La mediana es

${\displaystyle F^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {\ln \left({\frac {1}{2}}\right)}{\lambda }}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}}$ 

Y el tercer cuantil está dado por

${\displaystyle F^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)=-{\frac {\ln \left({\frac {1}{4}}\right)}{\lambda }}={\frac {\ln(4)}{\lambda }}}$ 

Ejemplo

Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.

• El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
• El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
• Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
• En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

Distribuciones Relacionadas

• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta ^{-1})}$  entonces ${\displaystyle |X-\mu |\sim \operatorname {Exp} (\beta )}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (1,\lambda )}$  entonces ${\displaystyle \ln(X)\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (1,\lambda )}$  entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ .
• Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  son variables aleatorias independientes tales que ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ entonces ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(n,\lambda \right)}$ , donde ${\displaystyle \Gamma \left(n,\lambda \right)}$  es la distribución de Erlang con parámetros ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  y ${\displaystyle \lambda }$ , esto es ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Erlang} \left(n,\lambda \right)}$ . Es decir, la suma de ${\displaystyle n}$  variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetro ${\displaystyle \lambda }$  es una variable aleatoria con distribución de Erlang.

 

Distribución cumulativa ajustada a máximos anuales de lluvias diarias^[1]​

Inferencia Estadística

Suponga que ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$  y ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$  es una muestra proveniente de ${\displaystyle X}$ .

Estimación de Parámetros

El estimador por máxima verosimilitud de ${\displaystyle \lambda }$  se construye como sigue:

La función de verosimilitud está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(\lambda )&=\prod _{i=1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_{i}}\\&=\lambda ^{n}\operatorname {exp} \left(-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\\&=\lambda ^{n}\operatorname {exp} (-\lambda n{\bar {x}})\end{aligned}}}$ 

donde

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ 

es la media muestral.

Tomando logaritmos a la función de verosimilitud

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\mathcal {L}}(\lambda )&=\ln \left(\lambda ^{n}\operatorname {exp} (-\lambda n{\bar {x}})\right)\\&=n\ln \lambda -\lambda n{\bar {x}}\end{aligned}}}$ 

derivando respecto a ${\displaystyle \lambda }$  obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\ln {\mathcal {L}}}{d\lambda }}&={\frac {d}{d\lambda }}(n\ln \lambda -\lambda n{\bar {x}})\\&={\frac {n}{\lambda }}-n{\bar {x}}\end{aligned}}}$ 

Si igualamos a ${\displaystyle 0}$  obtenemos el estimador ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$  dado por

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {1}{\bar {x}}}}$ 

El estimador ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$  es un estimador NO insesgado pues

${\displaystyle \operatorname {E} [{\hat {\lambda }}]\neq \lambda }$ 

Aplicación

En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.^[2]​

• La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución exponencial a lluvias máximas diárias anuales ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Métodos computacionales

Generador de números pseudoaleatorios

Para obtener números pseudoaleatorios la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  con distribución exponencial y parámetro ${\displaystyle \lambda }$ , se utiliza un algoritmo basado en el método de la transformada inversa.

Para generar un valor de ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$  a partir de una variable aleatoria ${\displaystyle U\sim \operatorname {U} (0,1)}$  se utiliza el siguiente algoritmo

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U)}$ 

utilizando el hecho de que si ${\displaystyle U\sim \operatorname {U} (0,1)}$  entonces ${\displaystyle 1-U\sim \operatorname {U} (0,1)}$  por lo que una versión más eficiente del algoritmo es

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(U)}$ 

Véase también

• Proceso de Poisson
• Distribución Gamma
• Distribución de Erlang
• Distribución χ²
• Distribución Poisson

Software

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la exponencial, a una serie de datos:

• Easy fit el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
• CumFreq [2] , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Referencias

1. Cumfreq, a free computer program for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting. [1]
2. Ritzema (ed.), H.P. (1994). Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 

Enlaces externos

• Calculadora Distribución exponencial
• [http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node20.php (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] Calcular la probabilidad de una distribución exponencial con R (lenguaje de programación)

•   Datos: Q237193
•   Multimedia: Exponential distribution