Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos «raros».

Distribución de Poisson
= El eje horizontal es el índice x. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad. Función de densidad de probabilidad
= El eje horizontal es el índice k. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$
Dominio	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
Función de probabilidad (fp)	${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!{\text{ para }}k\geq 0}$ (donde Γ(x, y) es la función gamma incompleta)
Media	${\displaystyle \lambda \,}$
Mediana	${\displaystyle {\text{usualmente cerca de }}\lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }$
Moda	${\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1}$
Varianza	${\displaystyle \lambda \,}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}\,}$
Curtosis	${\displaystyle 3+\lambda ^{-1}\,}$
Entropía	${\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))\,}$
Función característica	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))\,}$
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Fue propuesta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Definición

La distribución de Poisson es popular porque modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo.

Notación

Sea ${\displaystyle \lambda >0}$  y ${\displaystyle X}$  una variable aleatoria discreta, si la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  tiene una distribución de Poisson con parámetro ${\displaystyle \lambda }$  entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda )}$  o ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poi} (\lambda )}$ .

Función de probabilidad

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda )}$  entonces la función de probabilidad es

${\displaystyle \operatorname {P} [X=k]={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$ 

donde ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$  es el número de ocurrencias del evento o fenómeno.

El parámetro ${\displaystyle \lambda >0}$  representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra ${\displaystyle k}$  veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

Fórmula Recursiva

En ocasiones, para calcular las probabilidades, se utiliza la siguiente fórmula recursiva para calcular ${\displaystyle \operatorname {P} [X=k+1]}$  en términos de ${\displaystyle \operatorname {P} [X=k]}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {P} [X=k+1]}{\operatorname {P} [X=k]}}&={\frac {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}\\&={\frac {\lambda ^{k+1}k!}{\lambda ^{k}(k+1)!}}\\&={\frac {\lambda }{k+1}}\end{aligned}}}$ 

por lo tanto

${\displaystyle \operatorname {P} [X=k+1]={\frac {\lambda }{k+1}}\operatorname {P} [X=k]}$ 

siempre que ${\displaystyle \operatorname {P} [X=k]\neq 0}$ .

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda )}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\lambda }$ 

Esta se demuestra por definición de esperanza matemática

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\sum _{k=0}^{\infty }k\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right)\\&=e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k\lambda ^{k}}{k!}}\\&=e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}}$ 

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\lambda }$ 

Es decir, tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a ${\displaystyle \lambda }$ .

Momentos

Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en ${\displaystyle \lambda }$  cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el ${\displaystyle n}$ -ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño ${\displaystyle n}$ .

Moda

La moda de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor }$ 

esto es, el mayor de los enteros menores que ${\displaystyle \lambda }$  (los símbolos ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \ \rfloor }$  representan la función parte entera).

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\mathrm {E} \left[e^{-tX}\right]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{-tx}\operatorname {P} [X=x]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{-tx}{e^{-\lambda }\lambda ^{x} \over x!}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-t})^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda e^{-t}}=e^{\lambda (e^{-t}-1)}.}$ 

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro ${\displaystyle \lambda _{0}}$  a otra de parámetro ${\displaystyle \lambda }$  es

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\lambda ||\lambda _{0})=\lambda \left(1-{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\log {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\right).}$ 

Intervalo de confianza

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de ${\displaystyle \lambda }$  es propuesto por Guerriero (2012).^[1]​ Dada una serie de eventos k (al menos el 15-20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:

${\displaystyle F_{low}=\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}}$ 

${\displaystyle F_{upp}=\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}}$ 

entonces los límites del parámetro ${\displaystyle \lambda }$  están dadas por:${\displaystyle \lambda _{low}=F_{low}T;\lambda _{upp}=F_{upp}T}$ .

Relación con otras distribuciones

Sumas de variables aleatorias de Poisson

La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\,,i=1,\dots ,N}$ 

son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,}$ .

Distribución binomial

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y ${\displaystyle \theta }$  de una distribución binomial tienden a infinito (en el caso de n) y a cero (en el caso de ${\displaystyle \theta }$ ) de manera que ${\displaystyle \lambda =n\theta }$  se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.

Aproximación normal

Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de ${\displaystyle \lambda }$ , una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente

${\displaystyle Y={\frac {X-\lambda }{\sqrt {\lambda }}}}$ 

converge a una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Distribución exponencial

Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos transcurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.

Ejemplo

Si el ${\displaystyle 2\%}$  de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que ${\displaystyle 5}$  de ${\displaystyle 400}$  libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson, si se define ${\displaystyle X}$  como el número de libros que tengan encuadernación defectuosa entonces ${\displaystyle k=5}$  y ${\displaystyle \lambda }$  (el valor esperado de libros defectuosos) es el ${\displaystyle 2\%}$  de ${\displaystyle 400}$ , es decir, ${\displaystyle 8}$ . Por lo tanto, la probabilidad buscada es:

${\displaystyle \operatorname {P} [X=5]={\frac {8^{5}e^{-8}}{5!}}=0.092}$ 

Procesos de Poisson

Artículo principal: Proceso de Poisson

La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, …, veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:

• El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
• El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
• El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
• El número de servidores web accedidos por minuto.
• El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
• El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
• El número de núcleos atómicos inestables que se han desintegrado en un determinado período.
• El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
• La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
• La inventiva^[2]​ de un inventor a lo largo de su carrera.

Enlaces externos

• Distribución de Poisson Puntual
• Distribución de Poisson Acumulada
• Calculadora Distribución de Poisson
• usando R

Referencias

1. Guerriero V. . J. Mod. Math. Fr. Archivado desde el original el 21 de febrero de 2018. Consultado el 30 de octubre de 2017. 
2. Invention and Inventivity Is a Random, Poisson Process: A Potential Guide to Analysis of General Creativity http://www.leaonline.com/doi/pdfplus/10.1207/s15326934crj1103_3

Véase también

• Proceso de Poisson
• Regresión de Poisson

•   Datos: Q205692
•   Multimedia: Poisson distribution