Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle M_{X}(t):=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right],\quad t\in \mathbb {R} ,}$

siempre que esta esperanza exista.

La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de ${\displaystyle t=0}$, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0).}$

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.^{[cita requerida]}

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ es un vector aleatorio n-dimensional, se usa ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }$ en lugar de ${\displaystyle tX}$:

${\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left[e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right]}$

En ocasiones se escribe ${\displaystyle M(t)}$ en lugar de ${\displaystyle M_{X}(t)}$ y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

Cálculo

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria continua con función de densidad ${\displaystyle f(x)}$ , entonces la función generadora de momentos viene dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x}$ 

${\displaystyle M_{X}(t)=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots }$ 

donde ${\displaystyle m_{i}}$  es el ${\displaystyle i}$ -ésimo momento. ${\displaystyle M_{X}(-t)}$  es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de ${\displaystyle f(x)}$ .

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}$ 

donde ${\displaystyle F}$  es la función de distribución. Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$ 

donde las ${\displaystyle a_{i}}$  son constantes, entonces la función de densidad de ${\displaystyle S_{n}}$  es la convolución de la función de densidad de cada una de las ${\displaystyle X_{i}}$  y la función generadora de momentos para ${\displaystyle S_{n}}$  viene dada por

${\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)}$ 

Para variables aleatorias multidimensionales ${\displaystyle X}$  con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{\langle t,X\rangle }\right]}$ 

donde t es un vector y ${\displaystyle \langle t,X\rangle }$  es el producto punto.

Función Generadora de Momentos para algunas distribuciones

• Si ${\displaystyle X\sim {\text{Unif}}(a,b)}$  entonces ${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$  entonces ${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$  entonces ${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$  entonces ${\displaystyle M_{X}(t)=e^{\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$  entonces ${\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-n/2}}$ .

Ejemplos

Función generadora para una variable aleatoria discreta

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)}$  entonces la función de probabilidad está dada por

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p^{x}(1-p)^{1-x}}$ 

para ${\displaystyle x=0,1}$  por lo que la función generadora de momentos es

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\operatorname {E} [e^{tX}]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}\operatorname {P} [X=x]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}p^{x}(1-p)^{1-x}\\&=(1-p)+e^{t}p\\&=1-p+pe^{t}\end{aligned}}}$ 

Relación con otras funciones

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica

La función característica ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$  está relacionada con la función generadora de momentos via

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{X}(it)}$ 

siempre que ambas existan.

Función generadora de probabilidad

La función generador de momentos y la función generadora de probabilidad se relacionan por la igualdad

${\displaystyle M_{X}(t)=G(e^{t})}$ 

donde

${\displaystyle G(e^{t})={\text{E}}\left({\text{exp}}(t^{X})\right)}$ 

siempre que ambas existan.

Véase también

• Función Característica

•   Datos: Q535587