Distribución beta

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución beta es una familia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ parametrizada por dos parámetros positivos de forma, denotados por ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$, que aparecen como exponentes de la variable aleatoria y controlan la forma de la distribución.

Beta
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \alpha >0}$ forma (real) ${\displaystyle \beta >0}$ forma (real)
Dominio	${\displaystyle x\in (0,1)}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}$
Media	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$
Moda	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}$ para ${\displaystyle \alpha >1,\beta >1}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}}$
Función característica	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}$
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La generalización de esta distribución a varias variables es conocida como la distribución de Dirichlet.

Definición

Notación

Si una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  tiene una distribución beta con parámetros ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$  entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$ .

Otras notaciones para la distribución beta usadas son ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$ , ${\displaystyle X\sim {\mathcal {Be}}(\alpha ,\beta )}$  o ${\displaystyle X\sim \beta _{\alpha ,\beta }}$ .

Función de densidad

La función de densidad de ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$ 

para valores ${\displaystyle 0<x<1}$  donde ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$  es la función beta y se define para ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$  como

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx}$ 

y algunas de las propiedades que satisface son:

1. ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\mathrm {B} (\beta ,\alpha )}$ 
2. ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ 

Función de distribución

La función de distribución de ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {\mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )}$ 

donde ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}$  es la función beta incompleta y ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$  es la función beta incompleta regularizada.

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle {\text{E}}[X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$ 

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )^{2}}}}$ .

Moda

La moda de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ 

para valores de ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$ .

Momentos

El ${\displaystyle n}$ -ésimo momento de ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{E}}[X^{n}]&={\frac {\mathrm {B} (\alpha +n,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha +\beta )}}\\&=\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\\&={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\cdots (\alpha +\beta +n-1)}}\end{aligned}}}$ 

para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .

Función generadora de momentos

La función generador de momentos de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +n,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}\end{aligned}}}$ 

Media geométrica

El logaritmo de la media geométrica ${\displaystyle G_{X}}$  de una distribución con variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es la media aritmética de ${\displaystyle \ln(X)}$  o equivalentemente, su valor esperado:

${\displaystyle \ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]}$ 

Para una distribución beta:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln xf_{X}(x)dx\\&=\int _{0}^{1}\ln x\;{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\;dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}$ 

donde ${\displaystyle \psi }$  es la función digamma.

Distribuciones relacionadas

Transformaciones

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$  entonces ${\displaystyle 1-X\sim \mathrm {B} (\beta ,\alpha )}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$  entonces ${\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ , la distribución beta de segundo orden.
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} \left({\frac {n}{2}},{\frac {m}{2}}\right)}$  entonces ${\displaystyle {\frac {mX}{n(1-X)}}\sim F_{n,m}}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,1)}$  entonces ${\displaystyle -\ln(X)\sim \operatorname {Exponencial} (\alpha )}$ .

Casos particulares

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (1,1)}$  entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)}$ .
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\mathrm {B} (1,n)=\operatorname {Exponencial} (1)}$ .
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\mathrm {B} (k,n)=\Gamma (k,1)}$ .
• Un caso partícular de la Distribución Beta es la Distribución PERT que toma tres parámetros: Optimista, más frecuente y pesimista.

Véase también

• Función beta
• Distribución gamma
• Distribución PERT
• PERT

 

Animación de la función de densidad de la distribución Beta para diferentes valores de sus parámetros

•   Datos: Q756254
•   Multimedia: Beta distribution