Función de densidad de probabilidad

En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o simplemente densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.
La función de densidad de probabilidad (FDP o PDF en inglés) es positiva a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

Diagrama de Caja y función de densidad de probabilidad de una distribución normal N(0, σ²).

Función de densidad de probabilidad para la distribución normal.

Definición

Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  tome un valor cercano a ${\displaystyle x}$ .

Una variable aleatoria ${\displaystyle X}$  tiene función de densidad ${\displaystyle f_{X}}$ , siendo ${\displaystyle f_{X}}$  una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}$ 

si ${\displaystyle F_{X}}$  es la función de distribución de ${\displaystyle X}$ , entonces

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du}$ 

y (si ${\displaystyle f_{X}}$  es continua en ${\displaystyle x}$ )

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x)}$ 

Intuitivamente, puede considerarse ${\displaystyle f_{X}(x)dx}$  como la probabilidad de ${\displaystyle X}$  de caer en el intervalo infinitesimal ${\displaystyle [x,x+dx]}$ .

Definición formal

La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.

Una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  con valores en un espacio medible ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$  (habitualmente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con los conjuntos Borel como subconjuntos medibles), tiene como distribución de probabilidad la medida X_∗P en ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$ : la densidad de ${\displaystyle X}$  con respecto a la medida de referencia ${\displaystyle \mu }$  sobre ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$  es la derivada de Radon–Nikodym.

${\displaystyle f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.}$ 

esto es, ${\displaystyle f}$  es una función medible con la siguiente propiedad:

${\displaystyle \operatorname {P} [X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }$ 

para todo conjunto medible ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ .

Propiedades

De las propiedades de la función de densidad se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto como pdf del inglés):

• ${\displaystyle f_{X}(x)\geq 0}$  para toda ${\displaystyle x}$ .
• El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1}$ 

• La probabilidad de que ${\displaystyle X}$  tome un valor en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$  es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx=F(b)-F(a)}$ 

Algunas FDP están declaradas en rangos de ${\displaystyle -\infty \;}$  a ${\displaystyle +\infty \;}$ , como la de la distribución normal.

Densidades asociadas con múltiples variables

Para variables aleatorias continuas ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  es posible definir una función de probabilidad de densidad, esta es llamada función de densidad conjunta. La función de densidad conjunta está definida como una función de ${\displaystyle n}$  variables, tal que para cualquier dominio ${\displaystyle D}$  en el espacio ${\displaystyle n}$ -dimensional de los valores de las variables ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ , la probabilidad de ocurrencia de un conjunto de variables se encuentre dentro de ${\displaystyle D}$  es

${\displaystyle \operatorname {P} [X_{1},\dots ,X_{n}\in D]=\int \cdots \int _{D}f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{n}}$ 

Si ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=\operatorname {P} [X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n}]}$  es la función de distribución del vector ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$  entonces la función de densidad conjunta puede obtenerse como una derivada parcial

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\partial F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}}$ 

Densidad marginal

Para ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$  sea ${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})}$  la función de densidad asociada con la variable ${\displaystyle X_{i}}$ , esta función es llamada función de densidad marginal y puede ser obtenida a partir de la función de densidad conjunta asociada con las variables ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  como

${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\underbrace {\int \cdots \int } _{n-1}f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}}$ 

Suma de variables aleatorias independientes

La función de densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes ${\displaystyle U}$  y ${\displaystyle V}$ , cada una de ellas con función de densidad, es la convolución de sus funciones de densidades:

${\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\;dy=(f_{U}*f_{V})(x)}$ 

Es posible generalizar el resultado anterior a la suma de ${\displaystyle N}$  variables aleatorias independientes con densidades ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}$ 

${\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U_{N}}(x)=(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}})(x)}$ 

Enlaces externos

• [1] Simulación de la obtención de la probabilidad en un intervalo a partir de la función de densidad de una variable continua con R (lenguaje de programación)

Véase también

• Polinomio de Bernstein
• Frecuencia estadística

•   Datos: Q207522