Si una variable aleatoria discreta sigue una distribución geométrica con parámetro entonces escribiremos o simplemente .
Función de probabilidad
Si la variable aleatoria discreta se usa para modelar el número de fracasos antes de obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es entonces la función de probabilidad de es
La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera
.
Su distribución análoga, la distribución exponencial, también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.
La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria.
Distribuciones relacionadas
La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa con parámetro . Más generalmente, si son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente con parámetro entonces
distribución, geométrica, teoría, probabilidad, estadística, distribución, geométrica, cualquiera, distribuciones, probabilidad, discretas, siguientes, displaystyle, dots, número, necesario, para, obtener, éxito, displaystyle, dots, número, fracasos, antes, pr. En teoria de probabilidad y estadistica la distribucion geometrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes Si X 1 2 displaystyle X 1 2 dots es el numero necesario para obtener un exito Si X 0 1 2 displaystyle X 0 1 2 dots es el numero de fracasos antes del primer exito GeometricaParametros0 p 1 displaystyle 0 leq p leq 1 Dominiox 0 1 2 displaystyle x in 0 1 2 dots Funcion de densidad pdf p 1 p x displaystyle p 1 p x Funcion de distribucion cdf 1 1 p x 1 displaystyle 1 1 p x 1 Media1 p p displaystyle frac 1 p p Moda0Varianza1 p p 2 displaystyle frac 1 p p 2 Coeficiente de simetria2 p 1 p displaystyle frac 2 p sqrt 1 p Curtosis6 p 2 1 p displaystyle 6 frac p 2 1 p Entropia 1 p log 2 1 p p log 2 p p displaystyle frac 1 p log 2 1 p p log 2 p p Funcion generadora de momentos mgf p 1 1 p e t displaystyle frac p 1 1 p e t editar datos en Wikidata Indice 1 Definicion 1 1 Notacion 1 2 Funcion de probabilidad 1 3 Funcion de distribucion 2 Propiedades 2 1 Media 2 2 Varianza 2 3 Funcion generadora de probabilidad 2 4 Funcion generadora de momentos 2 5 Perdida de Memoria 3 Distribuciones relacionadas 4 Vease tambien 5 Enlaces externosDefinicion EditarNotacion Editar Si una variable aleatoria discreta X displaystyle X sigue una distribucion geometrica con parametro 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 entonces escribiremos X Geometrica p displaystyle X sim operatorname Geometrica p o simplemente X Geo p displaystyle X sim operatorname Geo p Funcion de probabilidad Editar Si la variable aleatoria discreta X displaystyle X se usa para modelar el numero de fracasos antes de obtener el primer exito en una sucesion de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de exito es p displaystyle p entonces la funcion de probabilidad de X Geometrica p displaystyle X sim operatorname Geometrica p es P X x p 1 p x displaystyle operatorname P X x p 1 p x para x 0 1 2 3 displaystyle x 0 1 2 3 dots Funcion de distribucion Editar Si X Geometrica p displaystyle X sim operatorname Geometrica p entonces la funcion de distribucion esta dada por P X x k 0 x p 1 p k p k 0 x 1 p k p 1 1 p x 1 1 1 p 1 1 p x 1 displaystyle begin aligned operatorname P X leq x amp sum k 0 x p 1 p k amp p sum k 0 x 1 p k amp p left frac 1 1 p x 1 1 1 p right amp 1 1 p x 1 end aligned para x 0 1 2 3 displaystyle x 0 1 2 3 dots Propiedades EditarSi X Geometrica p displaystyle X sim operatorname Geometrica p considerando que X displaystyle X modela el numero de fracasos antes del primer exito entonces la variable aleatoria X displaystyle X cumple con algunas propiedades Media Editar La media de X displaystyle X esta dada por E X 1 p p displaystyle operatorname E X frac 1 p p y esta se demuestra facilmente si consideramos la definicion de esperanza E X x 0 x p 1 p x p x 0 x 1 p x p 1 p x 0 x 1 p x 1 p 1 p d d p x 0 1 p x p 1 p d d p 1 p p 1 p p 2 1 p p displaystyle begin aligned operatorname E X amp sum x 0 infty xp 1 p x amp p sum x 0 infty x 1 p x amp p 1 p sum x 0 infty x 1 p x 1 amp p 1 p frac d dp left sum x 0 infty 1 p x right amp p 1 p frac d dp left frac 1 p right amp frac p 1 p p 2 amp frac 1 p p end aligned donde se considero la serie geometrica n 0 a n 1 1 a displaystyle sum n 0 infty alpha n frac 1 1 alpha si a lt 1 displaystyle alpha lt 1 Varianza Editar La varianza de X displaystyle X esta dada por Var X 1 p p 2 displaystyle operatorname Var X frac 1 p p 2 Funcion generadora de probabilidad Editar La funcion generadora de probabilidad f g p esta dada por G X t p 1 t 1 p displaystyle G X t frac p 1 t 1 p si t lt 1 p 1 displaystyle t lt 1 p 1 Funcion generadora de momentos Editar La funcion generadora de momentos esta dada por M X t p 1 1 p e t displaystyle M X t frac p 1 1 p e t si t lt ln 1 p displaystyle t lt ln 1 p Perdida de Memoria Editar La distribucion geometrica tiene la propiedad de perdida memoria es decir para cualesquiera m n 0 displaystyle m n geq 0 P X gt m n X gt m P X gt n displaystyle operatorname P X gt m n X gt m operatorname P X gt n Su distribucion analoga la distribucion exponencial tambien tiene la propiedad de perdida de memoria Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer exito entonces dado que el primer exito todavia no ha ocurrido la distribucion de condicional del numero de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado El dado o la moneda que uno lanza no tiene memoria de estos fallos La distribucion geometrica es la unica distribucion discreta que tiene la propiedad de perdida de memoria Distribuciones relacionadas EditarLa distribucion geometrica Y displaystyle Y es un caso particular de la distribucion binomial negativa con parametro k 1 displaystyle k 1 Mas generalmente si Y 1 Y 2 Y k displaystyle Y 1 Y 2 dots Y k son variables aleatorias independientes distribuidas geometricamente con parametro p displaystyle p entoncesZ m 1 k Y m BN k p displaystyle Z sum m 1 k Y m sim operatorname BN k p es decir Z displaystyle Z sigue a una distribucion binomial negativa con parametros k displaystyle k y p displaystyle p La distribucion geometrica es un caso especial de la distribucion compuesta de Poisson Si Y 1 Y 2 Y r displaystyle Y 1 Y 2 dots Y r son variables aleatorias independientes distribuidas geometricamente con diferentes parametros de exito pm posibles entonces su minimoW min m Y m displaystyle W min m Y m tambien esta geometricamente distribuido con parametrop 1 m 1 p m displaystyle p 1 prod m 1 p m Vease tambien EditarDistribucion binomial Distribucion binomial negativa Distribucion de Poisson Distribucion de Bernoulli Distribucion exponencialEnlaces externos EditarWeisstein Eric W Geometric distribution En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Calculadora Distribucion geometrica Datos Q729523 Multimedia Geometric distribution Obtenido de https es wikipedia org w index php title Distribucion geometrica amp oldid 139202885, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, 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