Distribución binomial

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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución binomial o distribución binómica es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de ${\displaystyle n}$ ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija ${\displaystyle p}$ de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles, a uno de estos se le denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia ${\displaystyle p}$ y al otro se le denomina “fracaso” y tiene una probabilidad ${\displaystyle q=1-p}$. ^[2]​

Distribución binomial
Función de masa de probabilidad Función de probabilidad
Función de distribución acumulada Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle n\geq 0}$ número de ensayos (entero) ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ probabilidad de éxito (real)
Dominio	${\displaystyle x\in \{0,\dots ,n\}\!}$
Función de probabilidad (fp)	${\displaystyle {n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor x\rfloor ,\lfloor x\rfloor +1)\!}$
Media	${\displaystyle np\!}$
Mediana	Uno de ${\displaystyle \{\lfloor np\rfloor ,\lceil np\rceil \}}$^[1]​
Moda	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!}$
Varianza	${\displaystyle np(1-p)\!}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!}$
Entropía	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!}$
Función característica	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!}$
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Definición

Notación

Si una variable aleatoria discreta ${\displaystyle X}$  tiene una distribución binomial con parámetros ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  y ${\displaystyle p}$  con ${\displaystyle 0<p<1}$  entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$ .

Función de Probabilidad

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$  entonces su función de probabilidad está dada por

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}}$ 

para ${\displaystyle x=0,1,2,\dots ,n}$ , siendo

${\displaystyle \!{n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!}$ 

el coeficiente binomial y se lee “las combinaciones de ${\displaystyle n\,\!}$  en ${\displaystyle x\,\!}$ “.

En ocasiones, para calcular las probabilidades binomiales se utiliza la siguiente fórmula recursiva para calcular ${\displaystyle \operatorname {P} [X=x+1]}$  en términos de ${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X=x+1]&={\binom {n}{x+1}}p^{x+1}(1-p)^{n-(x+1)}\\&={\frac {n!}{(n-x-1)!(x+1)!}}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}\\&={\frac {n!(n-x)}{(n-x)!x!(x+1)}}p^{x}(1-p)^{n-x}{\frac {p}{1-p}}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right){\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right){\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=\left({\frac {n-x}{x+1}}\right)\left({\frac {p}{1-p}}\right)\operatorname {P} [X=x]\end{aligned}}}$ 

Función de Distribución Acumulada

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$  está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} [X\leq x]=\sum _{k=0}^{x}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ 

También puede ser expresada en términos de la función beta incompleta como

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=\operatorname {P} [X\leq x]\\&=I_{1-p}(n-x,x+1)\\&=(n-x){n \choose x}\int _{0}^{1-p}t^{n-x-1}(1-t)^{x}dx\end{aligned}}}$ 

que es equivalente a la función de distribución acumulada de la distribución F.

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Experimento binomial

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). El valor de ambas posibilidades ha de ser constante en todos los experimentos, y se denotan como ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle q}$  respectivamente o como ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle 1-p}$  de forma alternativa.

Se designa por ${\displaystyle X}$  a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los ${\displaystyle n}$  experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable ${\displaystyle X}$  sigue una distribución de probabilidad binomial.

Ejemplo

Supongamos que se lanza 51 veces un dado de 6 caras y queremos calcular la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.

En este problema un ensayo consiste en lanzar el dado una vez. Consideramos un éxito si obtenemos un 3 pero si no sale 3 lo consideramos como un fracaso. Defínase ${\displaystyle X}$  como el número de veces que se obtiene un 3 en 51 lanzamientos.

En este caso tenemos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (51,1/6)}$  por lo que la probabilidad buscada es ${\displaystyle \operatorname {P} [X=20]}$ 

${\displaystyle \operatorname {P} [X=20]={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20}=0.0000744\,\!}$ 

Propiedades

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria discreta tal que ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$  entonces

• ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np}$ 
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=np(1-p)}$ 

La primera de ellas es fácil de demostrar, por definición de Esperanza

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{x=0}^{n}x{\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}\,}$ 

el primer término de la suma, es decir, para ${\displaystyle x=0}$  el término vale cero por lo que podemos iniciar la suma en ${\displaystyle x=1}$ 

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{x=1}^{n}x{\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}\,}$ 

Dado que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n}{x}}&={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\\&={\frac {n}{x}}{\frac {(n-1)!}{(x-1)!((n-1)-(x-1))!}}\\&={\frac {n}{x}}{\binom {n-1}{x-1}}\end{aligned}}}$ 

para ${\displaystyle x\geq 1}$ .

Reemplazando lo anterior en la expresión de ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$  obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\sum _{x=1}^{n}x{\frac {n}{x}}{\binom {n-1}{x-1}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=n\sum _{x=1}^{n}{\binom {n-1}{x-1}}p^{x}(1-p)^{n-x}\end{aligned}}}$ 

Haciendo el cambio de índice ${\displaystyle k=x-1}$  obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=n\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)}\\&=np\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}\end{aligned}}}$ 

Finalmente por la fórmula de Newton (Teorema del binomio)

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}$ 

Obtenemos

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np(p+1-p)^{n-1}=np}$ .

Distribuciones Relacionadas

Suma de Binomiales

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$  y ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Bin} (m,p)}$  son variables aleatorias independientes con la misma probabilidad ${\displaystyle p}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle Z=X+Y}$  también es una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros ${\displaystyle n+m}$  y ${\displaystyle p}$ , es decir ${\displaystyle Z=X+Y\sim \operatorname {Bin} (n+m,p)}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [Z=z]&=\sum _{k=0}^{z}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}{\binom {m}{z-k}}p^{z-k}(1-p)^{m-z+k}\\&={\binom {n+m}{z}}p^{z}(1-p)^{n+m-z}\end{aligned}}}$ 

Distribución Bernoulli

Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  son ${\displaystyle n}$  variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Bernoulli} (p)}$  entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$ 

Lo anterior es equivalente a decir que la distribución Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial cuando ${\displaystyle n=1}$ , es decir, si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (1,p)}$  entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)}$ .

Distribuciones limitantes

Teorema límite de Poisson

Si ${\displaystyle n\to \infty }$  y ${\displaystyle p}$  es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a ${\displaystyle \lambda \,\!}$ , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro ${\displaystyle \lambda }$ .

Teorema de De Moivre-Laplace

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria con media ${\displaystyle np}$  y varianza ${\displaystyle np(1-p)}$  entonces

${\displaystyle Z={\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\sim N(0,1)}$ 

conforme ${\displaystyle n\to \infty }$ , esta aproximación es buena si ${\displaystyle np\geq 5}$  y ${\displaystyle n(1-p)\geq 5}$ .

Propiedades reproductivas

Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}}$  son variables aleatorias independientes tales que ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Bin} (n_{i},p)}$  con ${\displaystyle i=1,2,\dots ,k}$  entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}\sim \operatorname {Bin} \left(\sum _{i=1}^{k}n_{i},p\right)}$ 

Véase también

• Distribución Bernoulli
• Distribución Binomial Negativa
• Distribución de Poisson
• Distribución Normal
• Distribución Gamma
• Distribución Beta

Referencias

1. Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.
2. Wadsworth, G. P. (1960). Introduction to Probability and Random Variables. New York: McGraw-Hill. p. 52. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Distribución binomial.
• Tablas de la distribución binomial, hasta n=20, en formato PDF.
• Calculadora Distribución binomial
• con R (lenguaje de programación)
• Generación estadística de la distribución binomial con números aleatorios usando Python (lenguaje de programación)

•   Datos: Q185547
•   Multimedia: Binomial distributions