En Teoría de Probabilidad y Estadística, la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Esta distribución al igual que la distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma.
La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala en cuya caso, la función de densidad será
para .
Función de Supervivencia
De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia (S), que representa el complemento de la Función de distribución.
Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.
El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.
Distribuciones Relacionadas
Si entonces .
Si entonces .
Si entonces .
Si son variables aleatorias independientes tales que entonces , donde es la distribución de Erlang con parámetros y , esto es . Es decir, la suma de variables aleatorias independientes con distribución exponencial con parámetro es una variable aleatoria con distribución de Erlang.
Distribución cumulativa ajustada a máximos anuales de lluvias diarias[1]
Inferencia Estadística
Suponga que es una variable aleatoria tal que y es una muestra proveniente de .
En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.[2]
La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución exponencial a lluvias máximas diárias anuales ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.
Cumfreq, a free computer program for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting. [1]
Ritzema (ed.), H.P. (1994). Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. pp. 175-224. ISBN90-70754-33-9.
distribución, exponencial, teoría, probabilidad, estadística, distribución, exponencial, distribución, continua, utiliza, para, modelar, tiempos, espera, para, ocurrencia, cierto, evento, esta, distribución, igual, distribución, geométrica, tiene, propiedad, p. En Teoria de Probabilidad y Estadistica la distribucion exponencial es una distribucion continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento Esta distribucion al igual que la distribucion geometrica tiene la propiedad de perdida de memoria La distribucion exponencial es un caso particular de la distribucion gamma Distribucion exponencialFuncion de densidad de probabilidadFuncion de distribucion de probabilidadParametrosl gt 0 displaystyle lambda gt 0 Dominio 0 displaystyle 0 infty Funcion de densidad pdf l e l x displaystyle lambda e lambda x Funcion de distribucion cdf 1 e l x displaystyle 1 e lambda x Media1 l displaystyle 1 lambda Medianaln 2 l displaystyle ln 2 lambda Moda0 displaystyle 0 Varianza1 l 2 displaystyle 1 lambda 2 Coeficiente de simetria2 displaystyle 2 Curtosis9 displaystyle 9 Entropia1 ln l displaystyle 1 ln lambda Funcion generadora de momentos mgf 1 t l 1 displaystyle left 1 frac t lambda right 1 Funcion caracteristica 1 i t l 1 displaystyle left 1 frac it lambda right 1 editar datos en Wikidata Indice 1 Definicion 1 1 Funcion de Densidad 1 2 Funcion de Distribucion 1 3 Parametrizacion Alternativa 1 4 Funcion de Supervivencia 2 Propiedades 2 1 Escala 2 2 Perdida de Memoria 2 3 Cuantiles 3 Ejemplo 4 Distribuciones Relacionadas 5 Inferencia Estadistica 5 1 Estimacion de Parametros 6 Aplicacion 7 Metodos computacionales 7 1 Generador de numeros pseudoaleatorios 8 Vease tambien 9 Software 10 Referencias 11 Enlaces externosDefinicion EditarFuncion de Densidad Editar Se dice que una variable aleatoria continua X displaystyle X tiene una distribucion exponencial con parametro l gt 0 displaystyle lambda gt 0 y escribimos X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda si su funcion de densidad es f X x l e l x displaystyle f X x lambda e lambda x para x 0 displaystyle x geq 0 Funcion de Distribucion Editar Su funcion de distribucion acumulada esta dada por F X x 1 e l x displaystyle F X x 1 e lambda x para x 0 displaystyle x geq 0 Parametrizacion Alternativa Editar La distribucion exponencial en ocasiones se parametriza en terminos del parametro de escala b 1 l displaystyle beta 1 lambda en cuya caso la funcion de densidad sera f X x 1 b e x b displaystyle f X x frac 1 beta e frac x beta para x 0 displaystyle x geq 0 Funcion de Supervivencia Editar De forma adicional esta distribucion presenta una funcion adicional que es funcion Supervivencia S que representa el complemento de la Funcion de distribucion S x P X gt x 1 para x lt 0 e l x para x 0 displaystyle S x operatorname P X gt x left begin matrix 1 amp text para x lt 0 e lambda x amp text para x geq 0 end matrix right Propiedades EditarSi X displaystyle X es una variable aleatoria tal que X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda entoncesLa media de la variable aleatoria X displaystyle X es E X 1 l displaystyle operatorname E X frac 1 lambda La varianza de la variable aleatoria X displaystyle X es Var X 1 l 2 displaystyle operatorname Var X frac 1 lambda 2 El n displaystyle n esimo momento de la variable aleatoria X displaystyle X es E X n n l n displaystyle operatorname E X n frac n lambda n La funcion generadora de momentos de X displaystyle X para l gt t displaystyle lambda gt t esta dada por M X t 1 t l 1 l l t displaystyle M X t left 1 frac t lambda right 1 frac lambda lambda t Escala Editar Si X displaystyle X es una variable aleatoria tal que X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda y c gt 0 displaystyle c gt 0 una constante entonces c X Exp l c displaystyle cX sim operatorname Exp left frac lambda c right Perdida de Memoria Editar Sea X displaystyle X una variable aleatoria tal que X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda entonces para cualesquiera x y 0 displaystyle x y geq 0 P X gt x y X gt y P X gt x displaystyle operatorname P X gt x y X gt y operatorname P X gt x Esto puede demostrarse facilmente pues P X gt x y X gt y P X gt x y X gt y P X gt y P X gt x y P X gt y e l x y e l y e l x P X gt x displaystyle begin aligned operatorname P X gt x y X gt y amp frac operatorname P X gt x y cap X gt y operatorname P X gt y amp frac operatorname P X gt x y operatorname P X gt y amp frac e lambda x y e lambda y amp e lambda x amp operatorname P X gt x end aligned Cuantiles Editar La funcion cuantil inversa de la funcion de distribucion acumulada para una variable aleatoria X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda esta dada por F 1 p ln 1 p l 0 p lt 1 displaystyle F 1 p frac ln 1 p lambda qquad 0 leq p lt 1 por lo que los cuantiles son El primer cuantil es F 1 1 4 ln 3 4 l 1 l ln 4 3 displaystyle F 1 left frac 1 4 right frac ln left frac 3 4 right lambda frac 1 lambda ln left frac 4 3 right La mediana es F 1 1 2 ln 1 2 l ln 2 l displaystyle F 1 left frac 1 2 right frac ln left frac 1 2 right lambda frac ln 2 lambda Y el tercer cuantil esta dado por F 1 3 4 ln 1 4 l ln 4 l displaystyle F 1 left frac 3 4 right frac ln left frac 1 4 right lambda frac ln 4 lambda Ejemplo EditarEjemplos para la distribucion exponencial es la distribucion de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos que se distribuyen segun la distribucion de Poisson El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del dia se podria modelar como una exponencial El intervalo de tiempo entre terremotos de una determinada magnitud sigue una distribucion exponencial Supongamos una maquina que produce hilo de alambre la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podria modelar como una exponencial En fiabilidad de sistemas un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribucion exponencial Distribuciones Relacionadas EditarSi X Laplace m b 1 displaystyle X sim operatorname Laplace mu beta 1 entonces X m Exp b displaystyle X mu sim operatorname Exp beta Si X Pareto 1 l displaystyle X sim operatorname Pareto 1 lambda entonces ln X Exp l displaystyle ln X sim operatorname Exp lambda Si X G 1 l displaystyle X sim Gamma 1 lambda entonces X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda Si X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n son variables aleatorias independientes tales que X i Exp l displaystyle X i sim operatorname Exp lambda entonces i 1 n X i G n l displaystyle sum limits i 1 n X i sim Gamma left n lambda right donde G n l displaystyle Gamma left n lambda right es la distribucion de Erlang con parametros n N displaystyle n in mathbb N y l displaystyle lambda esto es i 1 n X i Erlang n l displaystyle sum limits i 1 n X i sim operatorname Erlang left n lambda right Es decir la suma de n displaystyle n variables aleatorias independientes con distribucion exponencial con parametro l displaystyle lambda es una variable aleatoria con distribucion de Erlang Distribucion cumulativa ajustada a maximos anuales de lluvias diarias 1 Inferencia Estadistica EditarSuponga que X displaystyle X es una variable aleatoria tal que X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda y x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n es una muestra proveniente de X displaystyle X Estimacion de Parametros Editar El estimador por maxima verosimilitud de l displaystyle lambda se construye como sigue La funcion de verosimilitud esta dada por L l i 1 n l e l x i l n exp l i 1 n x i l n exp l n x displaystyle begin aligned mathcal L lambda amp prod i 1 n lambda e lambda x i amp lambda n operatorname exp left lambda sum i 1 n x i right amp lambda n operatorname exp lambda n bar x end aligned donde x 1 n i 1 n x i displaystyle bar x frac 1 n sum i 1 n x i es la media muestral Tomando logaritmos a la funcion de verosimilitud ln L l ln l n exp l n x n ln l l n x displaystyle begin aligned ln mathcal L lambda amp ln left lambda n operatorname exp lambda n bar x right amp n ln lambda lambda n bar x end aligned derivando respecto a l displaystyle lambda obtenemos d ln L d l d d l n ln l l n x n l n x displaystyle begin aligned frac d ln mathcal L d lambda amp frac d d lambda n ln lambda lambda n bar x amp frac n lambda n bar x end aligned Si igualamos a 0 displaystyle 0 obtenemos el estimador l displaystyle hat lambda dado por l 1 x displaystyle hat lambda frac 1 bar x El estimador l displaystyle hat lambda es un estimador NO insesgado pues E l l displaystyle operatorname E hat lambda neq lambda Aplicacion EditarEn la hidrologia la distribucion exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como maximos mensuales y anuales de la precipitacion diaria 2 La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribucion exponencial a lluvias maximas diarias anuales ordenadas mostrando tambien la franja de 90 de confianza basada en la distribucion binomial Las observaciones presentan los marcadores de posicion como parte del analisis de frecuencia acumulada Metodos computacionales EditarGenerador de numeros pseudoaleatorios Editar Para obtener numeros pseudoaleatorios la variable aleatoria X displaystyle X con distribucion exponencial y parametro l displaystyle lambda se utiliza un algoritmo basado en el metodo de la transformada inversa Para generar un valor de X Exp l displaystyle X sim operatorname Exp lambda a partir de una variable aleatoria U U 0 1 displaystyle U sim operatorname U 0 1 se utiliza el siguiente algoritmo X 1 l ln 1 U displaystyle X frac 1 lambda ln 1 U utilizando el hecho de que si U U 0 1 displaystyle U sim operatorname U 0 1 entonces 1 U U 0 1 displaystyle 1 U sim operatorname U 0 1 por lo que una version mas eficiente del algoritmo es X 1 l ln U displaystyle X frac 1 lambda ln U Vease tambien EditarProceso de Poisson Distribucion Gamma Distribucion de Erlang Distribucion x Distribucion PoissonSoftware EditarSe puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribucion de probabilidad incluyendo la exponencial a una serie de datos Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine data analysis amp simulation MathWorks Benelux enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima ModelRisk risk modelling software Ricci distributions fitting distrubutions with R Vito Ricci 2005 Risksolver automatically fit distributions and parameters to samples StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine CumFreq 2 libre sin costo incluye intervalos de confianza a base de la distribucion binomialReferencias Editar Cumfreq a free computer program for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting 1 Ritzema ed H P 1994 Frequency and Regression Analysis Chapter 6 in Drainage Principles and Applications Publication 16 International Institute for Land Reclamation and Improvement ILRI Wageningen The Netherlands pp 175 224 ISBN 90 70754 33 9 Enlaces externos EditarCalculadora Distribucion exponencial http cajael com mestadisticos T7DContinuas node20 php enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima Calcular la probabilidad de una distribucion exponencial con R lenguaje de programacion Datos Q237193 Multimedia Exponential distribution Obtenido de https es wikipedia org w index php title Distribucion exponencial amp oldid 139054397, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,