Distribución de Erlang

En la teoría de la probabilidad y estadística, la distribución Erlang, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros dados por

• ${\displaystyle n}$ el factor de forma de la distribución.
• ${\displaystyle \lambda }$ el factor de proporción de la distribución.

Distribución de Erlang
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lambda >0\,}$
Dominio	${\displaystyle [0,\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {\lambda (\lambda x)^{n-1}e^{-\lambda x}}{(n-1)!}}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}e^{-\lambda x}}{k!}}}$
Media	${\displaystyle {\frac {n}{\lambda }}}$
Mediana	—
Moda	${\displaystyle {\frac {n-1}{\lambda }}}$ para ${\displaystyle n\geq 1}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {n}{\lambda ^{2}}}}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {n}}}}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {6}{n}}}$
Entropía	${\displaystyle (1-n)\psi (n)+\ln {\frac {\Gamma (n)}{\lambda }}+n}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{n}\,}$ para ${\displaystyle t<\lambda }$
Función característica	${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{n}}$
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Definición

Función de Densidad

Una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  tiene distribución de Erlang con parámetros ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$  y ${\displaystyle \lambda >0}$  y escribimos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$  si la función de densidad para valores ${\displaystyle x>0}$  es

${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda (\lambda x)^{n-1}e^{-\lambda x}}{(n-1)!}}}$ 

Esta distribución se utiliza para describir el tiempo de espera hasta el suceso número ${\displaystyle n}$  en un proceso de Poisson.

Esta distribución recibe su nombre en honor al matemático e ingeniero danés Agner Krarup Erlang quien la introdujo en 1909.

Función de Distribución

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$  entonces su función de distribución acumulada está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(\lambda x)^{k}e^{-\lambda x}}{k!}}\\&=1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}e^{-\lambda x}}{k!}}\end{aligned}}}$ 

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$  entonces

• La esperanza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {n}{\lambda }}}$ 

• La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {n}{\lambda ^{2}}}}$ 

• La función generadora de momentos está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{n}}$ 

Distribuciones Relacionadas

• La distribución de Erlang es un caso particular de la distribución Gamma pues si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$  con ${\displaystyle \alpha =n\in \mathbb {N} }$  entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (1,\lambda )}$  entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exponencial} (\lambda )}$ .

Véase también

• Distribución gamma
• Distribución exponencial
• Distribución beta
• Distribución normal
• Proceso de Poisson

Enlaces externos

• Calculadora Distribución de Erlang

•   Datos: Q762448