Distribución χ²

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución ji al cuadrado (también llamada distribución de Pearson o distribución ${\displaystyle \chi ^{2}}$) con ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de ${\displaystyle k}$ variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

Distribución χ2 (ji-cuadrado)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle k\in \mathbb {N} \,}$ grados de libertad
Dominio	${\displaystyle x\in (0,+\infty )}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$
Media	${\displaystyle k\,}$
Mediana	aproximadamente ${\displaystyle k-2/3\,}$
Moda	${\displaystyle k-2\,}$ si ${\displaystyle k\geq 2\,}$
Varianza	${\displaystyle 2\,k\,}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Curtosis	${\displaystyle 12/k\,}$
Entropía	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}}$ para ${\displaystyle 2t<1\,}$
Función característica	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}\,}$
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Definición

Como la suma de normales estándar

Sean ${\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{k}}$  variables aleatorias independientes tales que ${\displaystyle Z_{i}\sim N(0,1)}$  para ${\displaystyle i=1,2,\dots ,k}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  definida por

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}\end{aligned}}}$ 

tiene una distribución chi cuadrada con ${\displaystyle k}$  grados de libertad.

Notación

Si la variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  tiene una distribución Chi Cuadrada con ${\displaystyle k}$  grados de libertad entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$  o ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$ .

Función de Densidad

Si ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$  entonces la función de densidad de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {k}{2}}}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\,x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}}$ 

para ${\displaystyle x>0}$  donde ${\displaystyle \Gamma }$  es la función gamma.

Función de Distribución Acumulada

Si ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$  entonces su función de distribución está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {\gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}}$ 

donde ${\displaystyle \gamma (k,z)}$  es la función gamma incompleta.

En particular cuando ${\displaystyle k=2}$  entonces esta función toma la forma

${\displaystyle F_{X}(x)=1-e^{-x/2}}$ 

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=k}$ 

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=2k}$ 

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos de ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {1}{1-2t}}\right)^{k/2}}$ 

para ${\displaystyle 2t<1}$ .

Teorema

Sea ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$  una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$  entonces

1. ${\displaystyle {\overline {X}}}$  y el vector ${\displaystyle \left(X_{1}-{\overline {X}},\dots ,X_{n}-{\overline {X}}\right)}$  son independientes.
2. ${\displaystyle {\overline {X}}}$  y ${\displaystyle S^{2}}$  son independientes.
3. ${\displaystyle {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$ .
4. ${\displaystyle \operatorname {E} [S^{2}]=\sigma ^{2}}$  y ${\displaystyle \operatorname {Var} (S^{2})={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}}$ .

donde

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ 

y

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}$ 

son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente.

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

Intervalo para la varianza

Sean ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$  una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$  donde ${\displaystyle \mu }$  y ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  son desconocidos.

Se tiene que

${\displaystyle {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$ 

Sean ${\displaystyle \chi _{n-1,\alpha /2},\chi _{n-1,1-\alpha /2}\in \mathbb {R} }$  tales que

${\displaystyle \operatorname {P} [\chi _{n-1,\alpha /2}<Y<\chi _{n-1,1-\alpha /2}]=1-\alpha }$ 

siendo ${\displaystyle Y\sim \chi _{n-1}^{2}}$  entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {P} \left[\chi _{n-1,\alpha /2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}<\chi _{n-1,1-\alpha /2}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\frac {1}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}>{\frac {\sigma ^{2}}{(n-1)S^{2}}}>{\frac {1}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}}<\sigma ^{2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}\right]=1-\alpha \end{aligned}}}$ 

por lo tanto un intervalo de ${\displaystyle (1-\alpha )100\%}$  de confianza para ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  está dado por

${\displaystyle \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}}},{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}}}\right)}$ 

Distribuciones Relacionadas

• La distribución ${\displaystyle \chi ^{2}}$  con ${\displaystyle k}$  grados de libertad es un caso particular de la distribución gamma pues si

${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ 

entonces ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$ .

• Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema del límite central, puede aproximarse por una distribución normal:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)}$ 

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

• Tablas distribución chi-cuadrado
• Tabla de contingencia
• Coeficiente de contingencia
• Coeficiente phi
• Jean-Paul Benzécri

Véase también

• Distribución F
• Distribución t de Student
• Distribución normal

Enlaces externos

• e la probabilidad de una distribución de Pearson con R (lenguaje de programación)
• DynStats: Laboratorio estadístico en línea con calculadora de funciones de distribución

•   Datos: Q243462
•   Multimedia: Chi-square distribution