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Matemática pura

La matemática pura se refiere al estudio de las matemáticas, in se y per se, es decir, ‘por sí mismas’ y ‘como tales’, sin referencia a las aplicaciones prácticas que pudieran derivarse o a las que pudieran aplicarse.

Con el mismo alcance, se suelen también utilizar las denominaciones de matemáticas especulativas, fundamentales o abstractas. Estas nociones se contraponen tradicionalmente a la de la matemática aplicada, que se focaliza principalmente en el empleo de herramientas matemáticas en disciplinas de diversos órdenes, que cubren tanto las ciencias naturales como la economía y otras ciencias sociales, así como su utilización en ingeniería y en todo tipo de aplicaciones tecnológicas.

Aunque las matemáticas puras han existido como actividad al menos desde la antigua Grecia, el concepto se elaboró en torno al año 1900,[1]​ tras la introducción de teorías con propiedades contraintuitivas (como las geometrías no euclidianas y la Cantor), y el descubrimiento de aparentes paradojas (como las funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte, y la paradoja de Russell). Esto introdujo la necesidad de renovar el concepto de rigor matemático y reescribir todas las matemáticas en consecuencia, con un uso sistemático de métodos axiomáticos. Esto llevó a muchos matemáticos a centrarse en las matemáticas por sí mismas, es decir, en las matemáticas puras.

Sin embargo, casi todas las teorías matemáticas siguieron estando motivadas por problemas procedentes del mundo real o de teorías matemáticas menos abstractas. Además, muchas teorías matemáticas, que parecían totalmente matemáticas puras, acabaron utilizándose en áreas aplicadas, principalmente física e informática. Un ejemplo temprano famoso es la demostración de Isaac Newton de que su ley de la gravitación universal implicaba que los planetas se mueven en órbitas que son secciones cónicas, curvas geométricas que habían sido estudiadas en la antigüedad por Apolonio. Otro ejemplo es el problema de la factorización de grandes enteros, que es la base del criptosistema RSA, ampliamente utilizado para asegurar las comunicaciones por internet.[2]

De ello se deduce que, en la actualidad, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más un punto de vista filosófico o la preferencia de un matemático que una subdivisión rígida de las matemáticas. En particular, no es raro que algunos miembros de un departamento de matemáticas aplicadas se describan a sí mismos como matemáticos puros.

Historia Editar

Reseña Editar

Si bien los estudiosos percibieron ambos aspectos desde tiempos inmemoriales, en un principio el interés de las matemáticas estaba dado fundamentalmente por el uso práctico que podía hacerse de las mismas, es decir, el desarrollo de técnicas de cálculo para resolver problemas concretos de mediciones o ligados al comercio, lo que no requería en sí mismo un grado elevado de abstracción.

La locución matemática pura (pure mathematics) se acuñó a mediados del siglo XIX en la cátedra de matemática fundada originariamente por Lady Mary Sadlier en la Universidad de Cambridge, Inglaterra.

Desde fines del siglo XIX se hizo evidente que un elevado grado de abstracción era idóneo, y más aún, necesario, para proporcionar herramientas cada vez más poderosas para el manejo y la solución de problemas reales complejos.

La antigua Grecia Editar

Los matemáticos de la antigua Grecia fueron de los primeros en distinguir entre matemáticas puras y aplicadas. Platón ayudó a crear la brecha entre "aritmética", ahora llamada teoría de números, y "logística", ahora llamada aritmética. Platón consideraba la logística (aritmética) apropiada para los hombres de negocios y los hombres de guerra que "deben aprender el arte de los números o [no] sabrán cómo disponer [sus] tropas" y la aritmética (teoría de los números) apropiada para los filósofos "porque [tienen] que surgir del mar del cambio y asirse al verdadero ser. "[3]Euclides de Alejandría, cuando uno de sus alumnos le preguntó de qué servía el estudio de la geometría, pidió a su esclavo que le diera tres peniques al estudiante, "ya que debe sacar provecho de lo que aprende. "[4]​ El matemático griego Apolonio de Perga fue preguntado sobre la utilidad de algunos de sus teoremas en el Libro IV de Cónicas a lo que afirmó con orgullo,[5]

Son dignas de aceptación por las demostraciones mismas, del mismo modo que aceptamos muchas otras cosas en matemáticas por esto y no por otra razón.

Y puesto que muchos de sus resultados no eran aplicables a la ciencia o la ingeniería de su época, Apolonio argumentó además en el prefacio del quinto libro de Cónicas que el tema es uno de los que "...parecen dignos de estudio por sí mismos."[5]

Siglo XIX Editar

El propio término está consagrado en el título completo de la Cátedra Sadleirian de Matemáticas Puras, "Profesor Sadleirian de Matemáticas Pura", fundada (como cátedra) a mediados del siglo XIX en la Universidad de Cambridge. Es posible que la idea de una disciplina separada de las matemáticas puras surgiera en esa época. La generación de Gauss no hacía distinciones radicales de este tipo, entre puras y aplicadas. En los años siguientes, la especialización y la profesionalización (sobre todo en el enfoque de Weierstrass del análisis matemático) empezaron a hacer más evidente la división.

Siglo XX Editar

A principios del siglo XX, los matemáticos retomaron el método axiomático, fuertemente influidos por el ejemplo de David Hilbert. La formulación lógica de la matemática pura sugerida por Bertrand Russell en términos de una estructura cuantificadora de proposiciónes parecía cada vez más plausible, a medida que grandes partes de la matemática se axiomatizaban y quedaban así sujetas a los sencillos criterios de la demostración rigurosa'.

La matemática pura, según un punto de vista que puede atribuirse al grupo de Bourbaki, es lo que se demuestra. "Matemático puro" se convirtió en una vocación reconocida, alcanzable mediante formación.

Se argumentó que las matemáticas puras son útiles en la enseñanza de la ingeniería:[6]

Hay una formación en hábitos de pensamiento, puntos de vista y comprensión intelectual de los problemas ordinarios de ingeniería, que sólo el estudio de las matemáticas superiores puede dar.

La relación entre matemáticas puras y aplicadas Editar

Se ha destacado que existen ramas matemáticas donde prevalecen los aspectos «puros», o respecto de las que no se hayan encontrado todavía lo que puedan ser aplicaciones prácticas, pero nada excluye que tal cosa suceda en el futuro. Al respecto, decía Nikolái Lobachevski (1792-1856):

No existe rama alguna de las matemáticas, por abstracta que sea, que no pueda algún día ser aplicada a fenómenos del mundo real.
(There is no branch of mathematics, however abstract, which may not someday be applied to the phenomena of the real world.)[7]

La historia confirmó el presentimiento de Lobachevski. Así, por ejemplo, la teoría de los números, que durante siglos tuvo un carácter puramente especulativo, llegó a tal punto que Godfrey Harold Hardy se felicitaba de que existiera «al menos una ciencia que de cualquier manera que sea se encuentra por sí misma tan alejada de la actividad humana ordinaria que se conservará limpia y gentil».[8]​ Pero a raíz de los trabajos de Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman la teoría de los números encontró una decisiva e insospechada aplicación en criptografía, y con la descripción del algoritmo RSA se popularizó, a través de Internet, la utilización de la criptografía asimétrica, o por clave pública.

Inversamente, cualquier rama, o incluso cualquier problema matemático, puede abordarse privilegiando un enfoque puramente matemático o formal, sin referencia alguna a una posible aplicación que pueda hacerse o de su vínculo con «la realidad» tangible. Un ejemplo clásico al respecto es el del análisis matemático, inventado simultáneamente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, y desde entonces utilizado fructuosamente en la física, cuya formalización fue lograda rigurosa y abstractamente por Karl Weierstrass (1815-1897) en el siglo XIX.

No existe un consenso general entre los matemáticos respecto las fronteras que separan claramente lo «puro» y lo «aplicado»; un debate al respecto fue publicado por Hardy.[9]​ Para este autor, la matemática aplicada busca expresar verdades físicas dentro de un marco matemático, mientras que la matemática pura busca expresar verdades independientes del mundo físico. Para Hardy, la matemática pura es la verdadera matemática, que ostenta un valor estético permanente, una belleza intrínseca que la hacen comparable a la pintura o a la poesía.

Con la expresión matemática pura y sus equivalentes se designa, más que una rama de las matemáticas (como podrían ser el álgebra, la geometría, el análisis, etc.), una modalidad de abordar el estudio de las mismas. Desde un punto de vista práctico e histórico, ambas pueden caracterizarse como enfoques complementarias que se inspiran mutuamente.

Definición formal Editar

Los intentos de formalizar el concepto «matemática pura» están emparentados con las nociones de axiomatización y el criterio de prueba rigurosa. De acuerdo con la escuela del grupo Bourbaki, la matemática pura se relaciona con lo que está probado.

En el más alto nivel de abstracción posible, Bertrand Russell propone una definición formal general, que según este autor abarca todo tipo de matemática que en la historia de las matemáticas o en el futuro pueda caracterizarse como «pura»:

La matemática pura es la clase de todas las proposiciones de la forma p implica q, donde p y q son proposiciones que contienen una o más variables, idénticas en ambas proposiciones, y ni p y ni q contienen constantes otras que lógicas. Las constantes lógicas, por su parte, son nociones definibles en los términos siguientes: la implicación, que es la relación de un término respecto de una clase de la cual es miembro, la noción de manera tal que (such that), la noción de relación y nociones de ese tipo que pueden ser cubiertas por la noción general de proposiciones de la forma referida. Además de los mencionados, la matemática utiliza una noción que no es parte constituyente de las proposiciones que considera, específicamente, la noción de verdad.[10]

Conviene agregar que para Bertrand Russell la matemática se deriva de la lógica.

Generalidad y abstracción Editar

 
Una ilustración de la paradoja de Banach-Tarski, un famoso resultado de las matemáticas puras. Aunque se ha demostrado que es posible convertir una esfera en dos utilizando únicamente cortes y rotaciones, sin embargo, la transformación implica objetos que no pueden existir en el mundo físico.

Un concepto central de las matemáticas puras es la idea de generalidad; las matemáticas puras muestran a menudo una tendencia hacia el aumento de la generalidad. Los usos y ventajas de la generalidad incluyen los siguientes:

  • La generalización de teoremas o estructuras matemáticas puede conducir a una comprensión más profunda de los teoremas o estructuras originales.
  • La generalidad puede simplificar la presentación del material, dando lugar a pruebas o argumentos más cortos y fáciles de seguir.
  • Se puede utilizar la generalidad para evitar la duplicación de esfuerzos, demostrando un resultado general en lugar de tener que demostrar casos separados de forma independiente, o utilizando resultados de otras áreas de las matemáticas.
  • La generalidad puede facilitar las conexiones entre diferentes ramas de las matemáticas. La Teoría de categorías es un área de las matemáticas dedicada a explorar este carácter común de la estructura tal y como se manifiesta en algunas áreas de las matemáticas.

El impacto de la generalidad en la intuición depende tanto del tema como de las preferencias personales o del estilo de aprendizaje. A menudo, la generalidad se considera un obstáculo para la intuición, aunque ciertamente puede funcionar como una ayuda, especialmente cuando proporciona analogías con material para el que ya se tiene una buena intuición.

Como ejemplo paradigmático de generalidad, el programa de Erlangen supuso una expansión de la geometría para dar cabida a las geometrías no euclidianas, así como al campo de la topología y otras formas de geometría, considerando la geometría como el estudio de un espacio junto con un grupo de transformaciones. El estudio de los números, llamado álgebra en el nivel universitario inicial, se extiende al álgebra abstracta en un nivel más avanzado; y el estudio de las funciones, llamado cálculo en el nivel universitario inicial se convierte en análisis matemático y análisis funcional en un nivel más avanzado. Cada una de estas ramas de las matemáticas más abstractas tiene muchas subespecialidades, y de hecho hay muchas conexiones entre las matemáticas puras y las disciplinas matemáticas aplicadas. A mediados del siglo XX se produjo un fuerte aumento de la abstracción.

En la práctica, sin embargo, estos avances condujeron a una fuerte divergencia con la física, sobre todo entre 1950 y 1983. Más tarde esto fue criticado, por ejemplo por Vladimir Arnold, como demasiado Hilbert, no lo suficiente Poincaré. La cuestión aún no parece estar zanjada, en el sentido de que la teoría de cuerdas tira hacia un lado, mientras que las matemáticas discretas retroceden hacia la prueba como elemento central.

Uno de los ejemplos más famosos (aunque quizá malinterpretado) del debate sin finalizar sobre esta distinción entre matemáticas puras y aplicadas se encuentra en el ensayo de Godfrey Harold Hardy de 1940 A Mathematician's Apology (Apología de un matemático).

Véase también Editar

Referencias Editar

  1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Profesores de Sadleiria» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Profesores+de+Sadleiria.html .
  2. Robinson, Sara (Junio 2003). org/people/members/sara/articles/rsa.pdf «Aún guardando secretos tras años de ataques, RSA recibe elogios por sus fundadores». SIAM News 36 (5). 
  3. Boyer, Carl B. (1991). org/details/historyofmathema00boye/page/86 «La época de Platón y Aristóteles». Una historia de las matemáticas (Second edición). John Wiley & Sons, Inc. pp. 86. ISBN 0-471-54397-7. 
  4. Boyer, Carl B. (1991). org/details/historyofmathema00boye/page/101 «Euclides de Alejandría». Una historia de las matemáticas (Second edición). John Wiley & Sons, Inc. pp. 101. ISBN 0-471-54397-7. 
  5. Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga». Una historia de las matemáticas (Second edición). John Wiley & Sons, Inc. pp. 152. ISBN 0-471-54397-7. 
  6. A. S. Hathaway (1901) "Pure mathematics for engineering students", Bulletin of the American Mathematical Society 7(6):266-71.
  7. citado por Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).
  8. G.H.Hardy; Mathematician's Apology, citado por Neal Kobliz y el artículo de este último en The Unease Relationship between Mathematics and Cryptography, enlace en [1]
  9. G.H. Hardy, A Mathematician's Apology.
  10. Bertrand Russell, Principia Mathematica, Parágrafo I, Cap.I , ver enlace y texto en inglés en [2]
  •   Datos: Q837863

matemática, pura, matemática, pura, refiere, estudio, matemáticas, decir, mismas, como, tales, referencia, aplicaciones, prácticas, pudieran, derivarse, pudieran, aplicarse, mismo, alcance, suelen, también, utilizar, denominaciones, matemáticas, especulativas,. La matematica pura se refiere al estudio de las matematicas in se y per se es decir por si mismas y como tales sin referencia a las aplicaciones practicas que pudieran derivarse o a las que pudieran aplicarse Con el mismo alcance se suelen tambien utilizar las denominaciones de matematicas especulativas fundamentales o abstractas Estas nociones se contraponen tradicionalmente a la de la matematica aplicada que se focaliza principalmente en el empleo de herramientas matematicas en disciplinas de diversos ordenes que cubren tanto las ciencias naturales como la economia y otras ciencias sociales asi como su utilizacion en ingenieria y en todo tipo de aplicaciones tecnologicas Aunque las matematicas puras han existido como actividad al menos desde la antigua Grecia el concepto se elaboro en torno al ano 1900 1 tras la introduccion de teorias con propiedades contraintuitivas como las geometrias no euclidianas y la Cantor y el descubrimiento de aparentes paradojas como las funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte y la paradoja de Russell Esto introdujo la necesidad de renovar el concepto de rigor matematico y reescribir todas las matematicas en consecuencia con un uso sistematico de metodos axiomaticos Esto llevo a muchos matematicos a centrarse en las matematicas por si mismas es decir en las matematicas puras Sin embargo casi todas las teorias matematicas siguieron estando motivadas por problemas procedentes del mundo real o de teorias matematicas menos abstractas Ademas muchas teorias matematicas que parecian totalmente matematicas puras acabaron utilizandose en areas aplicadas principalmente fisica e informatica Un ejemplo temprano famoso es la demostracion de Isaac Newton de que su ley de la gravitacion universal implicaba que los planetas se mueven en orbitas que son secciones conicas curvas geometricas que habian sido estudiadas en la antiguedad por Apolonio Otro ejemplo es el problema de la factorizacion de grandes enteros que es la base del criptosistema RSA ampliamente utilizado para asegurar las comunicaciones por internet 2 De ello se deduce que en la actualidad la distincion entre matematicas puras y aplicadas es mas un punto de vista filosofico o la preferencia de un matematico que una subdivision rigida de las matematicas En particular no es raro que algunos miembros de un departamento de matematicas aplicadas se describan a si mismos como matematicos puros Indice 1 Historia 1 1 Resena 1 2 La antigua Grecia 1 3 Siglo XIX 1 4 Siglo XX 2 La relacion entre matematicas puras y aplicadas 3 Definicion formal 4 Generalidad y abstraccion 5 Vease tambien 6 ReferenciasHistoria EditarResena Editar Si bien los estudiosos percibieron ambos aspectos desde tiempos inmemoriales en un principio el interes de las matematicas estaba dado fundamentalmente por el uso practico que podia hacerse de las mismas es decir el desarrollo de tecnicas de calculo para resolver problemas concretos de mediciones o ligados al comercio lo que no requeria en si mismo un grado elevado de abstraccion La locucion matematica pura pure mathematics se acuno a mediados del siglo XIX en la catedra de matematica fundada originariamente por Lady Mary Sadlier en la Universidad de Cambridge Inglaterra Desde fines del siglo XIX se hizo evidente que un elevado grado de abstraccion era idoneo y mas aun necesario para proporcionar herramientas cada vez mas poderosas para el manejo y la solucion de problemas reales complejos La antigua Grecia Editar Los matematicos de la antigua Grecia fueron de los primeros en distinguir entre matematicas puras y aplicadas Platon ayudo a crear la brecha entre aritmetica ahora llamada teoria de numeros y logistica ahora llamada aritmetica Platon consideraba la logistica aritmetica apropiada para los hombres de negocios y los hombres de guerra que deben aprender el arte de los numeros o no sabran como disponer sus tropas y la aritmetica teoria de los numeros apropiada para los filosofos porque tienen que surgir del mar del cambio y asirse al verdadero ser 3 Euclides de Alejandria cuando uno de sus alumnos le pregunto de que servia el estudio de la geometria pidio a su esclavo que le diera tres peniques al estudiante ya que debe sacar provecho de lo que aprende 4 El matematico griego Apolonio de Perga fue preguntado sobre la utilidad de algunos de sus teoremas en el Libro IV de Conicas a lo que afirmo con orgullo 5 Son dignas de aceptacion por las demostraciones mismas del mismo modo que aceptamos muchas otras cosas en matematicas por esto y no por otra razon Y puesto que muchos de sus resultados no eran aplicables a la ciencia o la ingenieria de su epoca Apolonio argumento ademas en el prefacio del quinto libro de Conicas que el tema es uno de los que parecen dignos de estudio por si mismos 5 Siglo XIX Editar El propio termino esta consagrado en el titulo completo de la Catedra Sadleirian de Matematicas Puras Profesor Sadleirian de Matematicas Pura fundada como catedra a mediados del siglo XIX en la Universidad de Cambridge Es posible que la idea de una disciplina separada de las matematicas puras surgiera en esa epoca La generacion de Gauss no hacia distinciones radicales de este tipo entre puras y aplicadas En los anos siguientes la especializacion y la profesionalizacion sobre todo en el enfoque de Weierstrass del analisis matematico empezaron a hacer mas evidente la division Siglo XX Editar A principios del siglo XX los matematicos retomaron el metodo axiomatico fuertemente influidos por el ejemplo de David Hilbert La formulacion logica de la matematica pura sugerida por Bertrand Russell en terminos de una estructura cuantificadora de proposiciones parecia cada vez mas plausible a medida que grandes partes de la matematica se axiomatizaban y quedaban asi sujetas a los sencillos criterios de la demostracion rigurosa La matematica pura segun un punto de vista que puede atribuirse al grupo de Bourbaki es lo que se demuestra Matematico puro se convirtio en una vocacion reconocida alcanzable mediante formacion Se argumento que las matematicas puras son utiles en la ensenanza de la ingenieria 6 Hay una formacion en habitos de pensamiento puntos de vista y comprension intelectual de los problemas ordinarios de ingenieria que solo el estudio de las matematicas superiores puede dar La relacion entre matematicas puras y aplicadas EditarSe ha destacado que existen ramas matematicas donde prevalecen los aspectos puros o respecto de las que no se hayan encontrado todavia lo que puedan ser aplicaciones practicas pero nada excluye que tal cosa suceda en el futuro Al respecto decia Nikolai Lobachevski 1792 1856 No existe rama alguna de las matematicas por abstracta que sea que no pueda algun dia ser aplicada a fenomenos del mundo real There is no branch of mathematics however abstract which may not someday be applied to the phenomena of the real world 7 La historia confirmo el presentimiento de Lobachevski Asi por ejemplo la teoria de los numeros que durante siglos tuvo un caracter puramente especulativo llego a tal punto que Godfrey Harold Hardy se felicitaba de que existiera al menos una ciencia que de cualquier manera que sea se encuentra por si misma tan alejada de la actividad humana ordinaria que se conservara limpia y gentil 8 Pero a raiz de los trabajos de Ronald Rivest Adi Shamir y Leonard Adleman la teoria de los numeros encontro una decisiva e insospechada aplicacion en criptografia y con la descripcion del algoritmo RSA se popularizo a traves de Internet la utilizacion de la criptografia asimetrica o por clave publica Inversamente cualquier rama o incluso cualquier problema matematico puede abordarse privilegiando un enfoque puramente matematico o formal sin referencia alguna a una posible aplicacion que pueda hacerse o de su vinculo con la realidad tangible Un ejemplo clasico al respecto es el del analisis matematico inventado simultaneamente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz y desde entonces utilizado fructuosamente en la fisica cuya formalizacion fue lograda rigurosa y abstractamente por Karl Weierstrass 1815 1897 en el siglo XIX No existe un consenso general entre los matematicos respecto las fronteras que separan claramente lo puro y lo aplicado un debate al respecto fue publicado por Hardy 9 Para este autor la matematica aplicada busca expresar verdades fisicas dentro de un marco matematico mientras que la matematica pura busca expresar verdades independientes del mundo fisico Para Hardy la matematica pura es la verdadera matematica que ostenta un valor estetico permanente una belleza intrinseca que la hacen comparable a la pintura o a la poesia Con la expresion matematica pura y sus equivalentes se designa mas que una rama de las matematicas como podrian ser el algebra la geometria el analisis etc una modalidad de abordar el estudio de las mismas Desde un punto de vista practico e historico ambas pueden caracterizarse como enfoques complementarias que se inspiran mutuamente Definicion formal EditarLos intentos de formalizar el concepto matematica pura estan emparentados con las nociones de axiomatizacion y el criterio de prueba rigurosa De acuerdo con la escuela del grupo Bourbaki la matematica pura se relaciona con lo que esta probado En el mas alto nivel de abstraccion posible Bertrand Russell propone una definicion formal general que segun este autor abarca todo tipo de matematica que en la historia de las matematicas o en el futuro pueda caracterizarse como pura La matematica pura es la clase de todas las proposiciones de la forma p implica q donde p y q son proposiciones que contienen una o mas variables identicas en ambas proposiciones y ni p y ni q contienen constantes otras que logicas Las constantes logicas por su parte son nociones definibles en los terminos siguientes la implicacion que es la relacion de un termino respecto de una clase de la cual es miembro la nocion de manera tal que such that la nocion de relacion y nociones de ese tipo que pueden ser cubiertas por la nocion general de proposiciones de la forma referida Ademas de los mencionados la matematica utiliza una nocion que no es parte constituyente de las proposiciones que considera especificamente la nocion de verdad 10 Conviene agregar que para Bertrand Russell la matematica se deriva de la logica Generalidad y abstraccion Editar nbsp Una ilustracion de la paradoja de Banach Tarski un famoso resultado de las matematicas puras Aunque se ha demostrado que es posible convertir una esfera en dos utilizando unicamente cortes y rotaciones sin embargo la transformacion implica objetos que no pueden existir en el mundo fisico Un concepto central de las matematicas puras es la idea de generalidad las matematicas puras muestran a menudo una tendencia hacia el aumento de la generalidad Los usos y ventajas de la generalidad incluyen los siguientes La generalizacion de teoremas o estructuras matematicas puede conducir a una comprension mas profunda de los teoremas o estructuras originales La generalidad puede simplificar la presentacion del material dando lugar a pruebas o argumentos mas cortos y faciles de seguir Se puede utilizar la generalidad para evitar la duplicacion de esfuerzos demostrando un resultado general en lugar de tener que demostrar casos separados de forma independiente o utilizando resultados de otras areas de las matematicas La generalidad puede facilitar las conexiones entre diferentes ramas de las matematicas La Teoria de categorias es un area de las matematicas dedicada a explorar este caracter comun de la estructura tal y como se manifiesta en algunas areas de las matematicas El impacto de la generalidad en la intuicion depende tanto del tema como de las preferencias personales o del estilo de aprendizaje A menudo la generalidad se considera un obstaculo para la intuicion aunque ciertamente puede funcionar como una ayuda especialmente cuando proporciona analogias con material para el que ya se tiene una buena intuicion Como ejemplo paradigmatico de generalidad el programa de Erlangen supuso una expansion de la geometria para dar cabida a las geometrias no euclidianas asi como al campo de la topologia y otras formas de geometria considerando la geometria como el estudio de un espacio junto con un grupo de transformaciones El estudio de los numeros llamado algebra en el nivel universitario inicial se extiende al algebra abstracta en un nivel mas avanzado y el estudio de las funciones llamado calculo en el nivel universitario inicial se convierte en analisis matematico y analisis funcional en un nivel mas avanzado Cada una de estas ramas de las matematicas mas abstractas tiene muchas subespecialidades y de hecho hay muchas conexiones entre las matematicas puras y las disciplinas matematicas aplicadas A mediados del siglo XX se produjo un fuerte aumento de la abstraccion En la practica sin embargo estos avances condujeron a una fuerte divergencia con la fisica sobre todo entre 1950 y 1983 Mas tarde esto fue criticado por ejemplo por Vladimir Arnold como demasiado Hilbert no lo suficiente Poincare La cuestion aun no parece estar zanjada en el sentido de que la teoria de cuerdas tira hacia un lado mientras que las matematicas discretas retroceden hacia la prueba como elemento central Uno de los ejemplos mas famosos aunque quiza malinterpretado del debate sin finalizar sobre esta distincion entre matematicas puras y aplicadas se encuentra en el ensayo de Godfrey Harold Hardy de 1940 A Mathematician s Apology Apologia de un matematico Vease tambien EditarMatematica aplicada Fundamentos de las matematicas Matematica inversa Axiomatizacion Teoria de categorias Logica Metalogica MetamatematicaReferencias Editar O Connor John J Robertson Edmund F Profesores de Sadleiria en ingles MacTutor History of Mathematics archive Universidad de Saint Andrews http www history mcs st andrews ac uk Extras Profesores de Sadleiria html Robinson Sara Junio 2003 org people members sara articles rsa pdf Aun guardando secretos tras anos de ataques RSA recibe elogios por sus fundadores SIAM News 36 5 Boyer Carl B 1991 org details historyofmathema00boye page 86 La epoca de Platon y Aristoteles Una historia de las matematicas Second edicion John Wiley amp Sons Inc pp 86 ISBN 0 471 54397 7 Boyer Carl B 1991 org details historyofmathema00boye page 101 Euclides de Alejandria Una historia de las matematicas Second edicion John Wiley amp Sons Inc pp 101 ISBN 0 471 54397 7 a b Boyer Carl B 1991 Apollonius of Perga Una historia de las matematicas Second edicion John Wiley amp Sons Inc pp 152 ISBN 0 471 54397 7 A S Hathaway 1901 Pure mathematics for engineering students Bulletin of the American Mathematical Society 7 6 266 71 citado por Mathematical Maxims and Minims Raleigh N C 1988 G H Hardy Mathematician s Apology citado por Neal Kobliz y el articulo de este ultimo en The Unease Relationship between Mathematics and Cryptography enlace en 1 G H Hardy A Mathematician s Apology Bertrand Russell Principia Mathematica Paragrafo I Cap I ver enlace y texto en ingles en 2 nbsp Datos Q837863 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Matematica pura amp oldid 152363759, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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