Mientras la lógica matemática se encarga, entre otras cosas, de construir sistemas lógicos, la metalógica se ocupa de estudiar las propiedades de dichos sistemas. Las propiedades más importantes que se pueden demostrar de los sistemas lógicos son:
En metalógica, la consistencia o consistencia lógica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo (axiomas y reglas de inferencia), no es posible deducir una fórmula y su negación. La existencia de un modelo implica que una teoría lógica es consistente.
Generalizando, la consistencia es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no es posible deducir una contradicción del mismo. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo, no es posible demostrar una fórmula y su negación. Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógicap: y simultáneamente.
Decidibilidad
Esta sección es un extracto de Decidibilidad.[editar]
En metalógica, la decidibilidad es una propiedad de los sistemas formales cuando, para cualquier fórmula en el lenguaje del sistema, existe un método efectivo para determinar si esa fórmula pertenece o no al conjunto de las verdades del sistema. Por ejemplo, la lógica proposicional es decidible, porque existe un algoritmo (la tabla de verdad) que en un número finito de pasos puede decidir si la fórmula es válida o no.
Cuando una fórmula no puede ser probada verdadera ni falsa, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a las verdades del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.
En metalógica, la completitud o completitud semántica es la propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema.[3] Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideración, entonces se cumple que:
Por otra parte, la completitud sintáctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda fórmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negación lo es. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación.
La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema.
Otra propiedad metateórica distinta es la completitud semántica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fórmula bien formada cualquiera que es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas, entonces existe una derivación de A a partir de . En símbolos:
La lógica proposicional como la lógica de primer orden satisfacen el teorema de compacidad. Es decir, si de un conjunto de proposiciones se sigue una consecuencia entonces existe un subconjunto finito de proposiciones de las cuales se sigue la misma conclusión. Análogamente si cada conjunto finito de proposiciones de un conjunto admite un modelo, entonces el conjunto completo admite un modelo. Si bien la lógica de primer orden tiene compacidad en el sentido previamente explicado otras lógicas "más potentes" como la lógica de segundo orden no tienen la propiedad de compacidad.
En lógica matemática, el teorema de Löwenheim-Skolem o teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski es un teorema que establece que si una teoría de primer orden es consistente, entonces tiene al menos un modelo con dominiofinito o numerable.[5] Más precisamente: sea T un subconjunto consistente de un lenguaje de primer orden ℒ (con identidad): si T es finito o numerable, entonces tiene al menos un modelo con dominio finito o numerable.[6] Esto significa que las teorías de primer orden no pueden controlar la cardinalidad de sus modelos: ninguna teoría consistente puede tener sólo modelos isomórficos.
La primera versión del teorema se debe a Leopold Löwenheim en 1915, aunque su demostración tenía una pequeña laguna.[5] Thoralf Skolem demostró una segunda versión del teorema en 1919.[5] Desde entonces han aparecido otras versiones.
Skolem comprendió que este teorema se podría aplicar para las formalizaciones de primer orden de la teoría de conjuntos, siendo dicha formalización numerable, existiría un modelo numerable para dicha teoría aun cuando la teoría afirma que existen conjuntos no contables. Este resultado contraintuitivo es la conocida paradoja de Skolem.
En general el teorema de Löwenheim-Skolem no se sostiene en lógicas más fuertes, como la lógica de segundo orden.
En una lógica de primer orden, toda fórmula que es válida en un sentido lógico es demostrable.
Kurt Gödel
La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo, mediante una computadora o a mano).
Una fórmula es lógicamente válida si es verdadera en todo modelo para el lenguaje utilizado en la fórmula. Para expresar de manera formal el teorema de completitud de Gödel, se debe definir el significado de la palabra modelo en este contexto. Esta es una definición básica en la teoría de modelos.
El teorema de Gödel establece una correspondencia entre la verdad semántica y la probabilidad sintáctica en la lógica de primer orden. Crea un vínculo entre la teoría de modelos que se ocupa de lo que es cierto en diferentes modelos, y la teoría de la demostración que estudia lo que se puede probar formalmente en sistemas formales particulares. Gödel utilizó el teorema de completitud para probar el teorema de compacidad, demostrando la naturaleza finitaria del operador de consecuencia lógica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lógica de primer orden como el tipo de lógica dominante en las matemáticas actual.
Fue luego simplificado en 1947, cuando Leon Henkin observó en su tesis de doctorado que la parte difícil de la prueba se puede presentar como el Modelo de Teorema de la Existencia (publicado en 1949). A su vez, la prueba de Henkin fue simplificada por Gisbert Hasenjaeger en 1953.
Shapiro, Stewart. «metalógica». The Oxford Companion to Philosophy. Oxford University Press. Consultado el 6 de octubre de 2009.
Jesús Padilla Gálvez, Jesús. (1995). Sobre metalógica. Un análisis histórico en torno a 1931. Arbor, 150, pp. 73-90.
↑ Hunter, Geoffrey (1971). «Sección 46.1». Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. University of California Press.
Hunter, Geoffrey (1971). «Sección 46.2». Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. University of California Press.
↑ Hunter, Geoffrey (1971). «Sección 45.18». Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. University of California Press.
Shapiro, Stewart. «Classical Logic». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy(en inglés) (Winter 2009 Edition).
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Marcha 15, 2022
metalógica, metalógica, rama, lógica, estudia, propiedades, componentes, sistemas, formales, propiedades, más, importantes, pueden, demostrar, sistemas, formales, consistencia, decidibilidad, completitud, ejemplos, teoremas, metalógicos, importantes, teoremas,. La metalogica es la rama de la logica que estudia las propiedades y los componentes de los sistemas formales 1 Las propiedades mas importantes que se pueden demostrar de los sistemas formales son la consistencia decidibilidad y completitud 2 Ejemplos de teoremas metalogicos importantes son los teoremas de incompletitud de Godel el teorema de completitud de Godel y el teorema de Lowenheim Skolem Otra propiedad es la compacidad Indice 1 Propiedades metateoricas 1 1 Consistencia 1 2 Decidibilidad 1 3 Completitud 1 4 Compacidad 2 Resultados metalogicos importantes 2 1 Teoremas de incompletitud de Godel 2 2 Teorema de Lowenheim Skolem 2 3 Teorema de completitud de Godel 2 4 Otros resultados 3 Vease tambien 4 Notas y referenciasPropiedades metateoricas EditarMientras la logica matematica se encarga entre otras cosas de construir sistemas logicos la metalogica se ocupa de estudiar las propiedades de dichos sistemas Las propiedades mas importantes que se pueden demostrar de los sistemas logicos son Consistencia Editar Esta seccion es un extracto de Consistencia logica editar En metalogica la consistencia o consistencia logica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando no es posible deducir una contradiccion dentro del sistema Es decir dado un lenguaje formal y un aparato deductivo axiomas y reglas de inferencia no es posible deducir una formula y su negacion La existencia de un modelo implica que una teoria logica es consistente Generalizando la consistencia es una propiedad que pueden tener los conjuntos de formulas Intuitivamente un conjunto de formulas es consistente cuando no es posible deducir una contradiccion del mismo Es decir dado un lenguaje formal y un aparato deductivo no es posible demostrar una formula y su negacion Equivalentemente esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposicion logica p A p displaystyle mathcal A vdash p y A p displaystyle mathcal A vdash neg p simultaneamente Decidibilidad Editar Esta seccion es un extracto de Decidibilidad editar En metalogica la decidibilidad es una propiedad de los sistemas formales cuando para cualquier formula en el lenguaje del sistema existe un metodo efectivo para determinar si esa formula pertenece o no al conjunto de las verdades del sistema Por ejemplo la logica proposicional es decidible porque existe un algoritmo la tabla de verdad que en un numero finito de pasos puede decidir si la formula es valida o no Cuando una formula no puede ser probada verdadera ni falsa se dice que la formula es independiente y que por lo tanto el sistema es no decidible La unica manera de incorporar una formula independiente a las verdades del sistema es postulandola como axioma Dos ejemplos muy importantes de formulas independientes son el axioma de eleccion en la teoria de conjuntos y el quinto postulado de la geometria euclidiana Completitud Editar Esta seccion es un extracto de Completitud logica editar En metalogica la completitud o completitud semantica es la propiedad metateorica que tienen los sistemas formales cuando todas las formulas logicamente validas todas las verdades logicas del sistema son ademas teoremas del sistema 3 Es decir cuando el conjunto de las verdades logicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas En otras palabras si A es una formula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideracion entonces se cumple que Si S A displaystyle models mathrm S A entonces S A displaystyle vdash mathrm S A 3 El segundo teorema de incompletitud de Godel demuestra que ningun sistema definido recursivamente con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semanticamente completo Por otra parte la completitud sintactica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando para toda formula del lenguaje del sistema o bien es un teorema o bien su negacion lo es Esto es existe una prueba para cada formula o para su negacion La logica proposicional y la logica de primer orden son ambas semanticamente completas pero no sintacticamente completas Por ejemplo en la logica proposicional la formula p no es un teorema y tampoco lo es su negacion de modo que eso basta para mostrar que no es sintacticamente completa No obstante como ninguna de esas dos formulas es una verdad logica no afectan a la completitud semantica del sistema Otra propiedad metateorica distinta es la completitud semantica fuerte que dice si en un sistema formal S A es una formula bien formada cualquiera que es una consecuencia semantica de un conjunto G displaystyle Gamma de formulas entonces existe una derivacion de A a partir de G displaystyle Gamma En simbolos Si G S A displaystyle Gamma models mathrm S A entonces G S A displaystyle Gamma vdash mathrm S A 4 Compacidad Editar Esta seccion es un extracto de Compacidad logica editar En logica matematica el teorema de compacidad establece que un conjunto posiblemente infinito de formulas bien formadas de la logica de primer orden tiene un modelo si todos sus subconjuntos finitos tienen un modelo Es decir para todo conjunto de formulas G displaystyle Gamma de un lenguaje L si todo subconjunto finito de G displaystyle Gamma es satisfacible entonces G displaystyle Gamma es satisfacible La logica proposicional como la logica de primer orden satisfacen el teorema de compacidad Es decir si de un conjunto de proposiciones se sigue una consecuencia entonces existe un subconjunto finito de proposiciones de las cuales se sigue la misma conclusion Analogamente si cada conjunto finito de proposiciones de un conjunto admite un modelo entonces el conjunto completo admite un modelo Si bien la logica de primer orden tiene compacidad en el sentido previamente explicado otras logicas mas potentes como la logica de segundo orden no tienen la propiedad de compacidad Resultados metalogicos importantes EditarTeoremas de incompletitud de Godel Editar Esta seccion es un extracto de Teoremas de incompletitud de Godel editar Kurt Godel a los 19 anos de edad cinco anos antes de la demostracion de los teoremas Los teoremas de incompletitud de Godel son dos celebres teoremas de logica matematica demostrados por Kurt Godel en 1931 Ambos estan relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorias aritmeticas Teorema de Lowenheim Skolem Editar Esta seccion es un extracto de Teorema de Lowenheim Skolem editar En logica matematica el teorema de Lowenheim Skolem o teorema de Lowenheim Skolem Tarski es un teorema que establece que si una teoria de primer orden es consistente entonces tiene al menos un modelo con dominio finito o numerable 5 Mas precisamente sea T un subconjunto consistente de un lenguaje de primer orden ℒ con identidad si T es finito o numerable entonces tiene al menos un modelo con dominio finito o numerable 6 Esto significa que las teorias de primer orden no pueden controlar la cardinalidad de sus modelos ninguna teoria consistente puede tener solo modelos isomorficos La primera version del teorema se debe a Leopold Lowenheim en 1915 aunque su demostracion tenia una pequena laguna 5 Thoralf Skolem demostro una segunda version del teorema en 1919 5 Desde entonces han aparecido otras versiones Skolem comprendio que este teorema se podria aplicar para las formalizaciones de primer orden de la teoria de conjuntos siendo dicha formalizacion numerable existiria un modelo numerable para dicha teoria aun cuando la teoria afirma que existen conjuntos no contables Este resultado contraintuitivo es la conocida paradoja de Skolem En general el teorema de Lowenheim Skolem no se sostiene en logicas mas fuertes como la logica de segundo orden Teorema de completitud de Godel Editar Esta seccion es un extracto de Teorema de completitud de Godel editar Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Este aviso fue puesto el 11 de julio de 2017 El teorema de completitud de Godel es un importante teorema de la logica matematica que fue demostrado por primera vez por Kurt Godel en 1929 y que en su forma mas conocida establece lo siguiente En una logica de primer orden toda formula que es valida en un sentido logico es demostrable Kurt GodelLa palabra demostrable significa que existe una deduccion formal de la formula La deduccion consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una basica regla de inferencia A partir de dicha deduccion es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo por ejemplo mediante una computadora o a mano Una formula es logicamente valida si es verdadera en todo modelo para el lenguaje utilizado en la formula Para expresar de manera formal el teorema de completitud de Godel se debe definir el significado de la palabra modelo en este contexto Esta es una definicion basica en la teoria de modelos El teorema de Godel establece una correspondencia entre la verdad semantica y la probabilidad sintactica en la logica de primer orden Crea un vinculo entre la teoria de modelos que se ocupa de lo que es cierto en diferentes modelos y la teoria de la demostracion que estudia lo que se puede probar formalmente en sistemas formales particulares Godel utilizo el teorema de completitud para probar el teorema de compacidad demostrando la naturaleza finitaria del operador de consecuencia logica Estos resultados ayudaron a establecer a la logica de primer orden como el tipo de logica dominante en las matematicas actual Fue luego simplificado en 1947 cuando Leon Henkin observo en su tesis de doctorado que la parte dificil de la prueba se puede presentar como el Modelo de Teorema de la Existencia publicado en 1949 A su vez la prueba de Henkin fue simplificada por Gisbert Hasenjaeger en 1953 Otros resultados Editar Consistencia de la logica proposicional veritativo funcional Emil Post 1920 Completitud semantica de la logica proposicional veritativo funcional Paul Bernays 1918 Emil Post 1920 Decidibilidad de la logica proposicional veritativo funcional Emil Post 1920 Consistencia de la logica de primer orden monadica Leopold Lowenheim 1915 Completitud semantica de la logica de primer orden monadica Leopold Lowenheim 1915 Decidibilidad de la logica de primer orden monadica Leopold Lowenheim 1915 Consistencia de la logica de primer orden David Hilbert y Wilhelm Ackermann 1928 Indecibilidad de la logica de primer orden Entscheidungsproblem Alonzo Church 1936 y Alan Turing 1936 Vease tambien EditarLogica Metalenguaje Numeracion de Godel Principio de SuperposicionNotas y referencias Editar Shapiro Stewart metalogica The Oxford Companion to Philosophy Oxford University Press Consultado el 6 de octubre de 2009 Jesus Padilla Galvez Jesus 1995 Sobre metalogica Un analisis historico en torno a 1931 Arbor 150 pp 73 90 a b Hunter Geoffrey 1971 Seccion 46 1 Metalogic An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic University of California Press Hunter Geoffrey 1971 Seccion 46 2 Metalogic An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic University of California Press a b c Hunter Geoffrey 1971 Seccion 45 18 Metalogic An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic University of California Press Shapiro Stewart Classical Logic En Edward N Zalta ed Stanford Encyclopedia of Philosophy en ingles Winter 2009 Edition Datos Q1366730 Multimedia Metalogic Obtenido de https es wikipedia org w index php title Metalogica amp oldid 135314574, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
