Identidad de Euler

En matemáticas, la identidad de Euler (también conocida como ecuación de Euler) es la igualdad:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

donde:

${\displaystyle e}$ es el número de Euler, la base de los logaritmos naturales

${\displaystyle i}$ es la unidad imaginaria, que por definición satisface ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \pi }$ es el número pi, es la relación constante entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.

${\displaystyle 1}$ es el número uno, el elemento neutro de la multiplicación, y la división.

${\displaystyle 0}$ es el número cero, el elemento neutro entre la suma y la resta.

Esta identidad es considerada una belleza matemática por vincular distintas áreas de esa ciencia formal que parecen distintas y sin relación alguna a simple vista.

Explicación

 

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad se deduce a partir de un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x\,\!}$ 

para cualquier número real x, con los argumentos de las funciones trigonométricas sen y cos expresados en radianes. En particular si

${\displaystyle x=\pi \,\!}$ 

entonces

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\operatorname {sen} \pi \,\!}$ 

y ya que

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$ 

y que

${\displaystyle \operatorname {sen} \pi =0\,\!}$ 

se sigue que

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0\,\!}$ 

Lo cual implica la identidad

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$ 

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

${\displaystyle x=i\pi ,\,\!}$ 

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...,\,\!}$ 

para obtener:

${\displaystyle e^{i\pi }=1+i\pi +{\frac {(i\pi )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\pi )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\pi )^{4}}{4!}}+...,\,\!}$ 

simplificando (usando ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ):

${\displaystyle e^{i\pi }=1+i\pi -{\frac {\pi ^{2}}{2!}}-{\frac {i\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+...,\,\!}$ 

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

${\displaystyle i(\pi -{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}-{\frac {\pi ^{7}}{7!}}+...)=0\quad ;\quad (1-{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}-{\frac {\pi ^{6}}{6!}}+...)=-1\!}$ 

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$ 

Logaritmos de números negativos

El logaritmo natural de un número complejo ${\displaystyle z=a+bi}$ , donde ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ , se define como:

${\displaystyle \ln(z)=\ln |z|+i\arg(z)}$ 

Donde ${\displaystyle \arg(z)=\arg(a+bi)}$  es:

${\displaystyle \arg(a+bi)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)&\qquad a>0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi &\qquad a<0,b\geq 0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)-\pi &\qquad a<0,b<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad a=0,b>0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad a=0,b<0\\{\text{indeterminado}}&\qquad a=0,b=0\end{cases}}}$ 

Notar que con esta definición, arg(z) está en el intervalo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$  (el argumento en este intervalo es conocido como el "valor principal del argumento" o simplemente "argumento principal"). Esta definición no es la única posible, ya que se pudo haber definido en [0, 2π), etc.

Para logaritmos de otras bases, se tiene la siguiente relación mediante "cambio de base" :

${\displaystyle \log _{b}(z)={\frac {\ln(z)}{\ln(b)}}}$ 

Por ejemplo :

${\displaystyle \ln(-1)=\ln |-1|+i\arg(-1)=\ln(1)+i\pi =i\pi }$ 

Y también se cumple:

${\displaystyle \ln(-x)=\ln(x)+\ln(-1)=\ln(x)+i\pi ,x>0}$ .

Lo anterior se puede deducir de la definición. También se puede obtener ${\displaystyle i\pi =\ln(-1)}$  a partir de la identidad de Euler, pero no es la razón de la deducción de ln(-1). Este detalle se explicará a continuación.

Se sabe que ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$ , pero también es cierto que ${\displaystyle e^{-i\pi }=-1}$  y ${\displaystyle e^{3i\pi }=-1}$ . De hecho en general:

${\displaystyle e^{i\pi (2k+1)}=-1,k\in \mathbb {Z} }$ 

El error que se puede cometer aquí, es que si ${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$ , entonces a = b. Lo anterior es válido si a y b son números reales, pero en complejos esto no se siempre se cumple. Por ende si bien ${\displaystyle e^{i\pi }=e^{-i\pi }=-1}$ , no es cierto que ${\displaystyle i\pi =-i\pi }$ . De esta forma, se puede ver que:

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi \neq -i\pi =-\ln(-1)}$ .

Antes se mencionó que si se puede obtener ${\displaystyle i\pi =\ln(-1)}$  con la identidad de Euler, pero no es recomendable hacerlo, porque se puede cometer errores como lo descrito más arriba, ya que no siempre se cumple el hecho de que si ${\displaystyle e^{a}=b}$  entonces a = ln(b).

Otro error es lo siguiente:

${\displaystyle \ln(-1)=\ln(-1/1)=\ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)=-i\pi }$ .

El error aquí ocurre en ${\displaystyle \ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)}$ . Esto último no es correcto y el motivo es que

${\displaystyle \ln(1/-1)=\ln(1*(-1)^{-1})=\ln(1)+\ln((-1)^{-1})\neq \ln(1)+(-1)\ln(-1)=-i\pi }$ .

Porque ${\displaystyle \ln(a^{b})=b\ln(a)}$  solo se cumple de manera general si a es positivo. Por un lado ${\displaystyle \ln((-e)^{2})=\ln((e)^{2})=2}$ , pero ${\displaystyle 2\ln(-e)}$  no es real, puesto que ln(-e) no es un número real.

Identidad aumentada

El número áureo (también llamado número de oro) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....

Una de sus propiedades es:

${\displaystyle \varphi -1=1/\varphi }$ 

Por tanto: ${\displaystyle \varphi -1/\varphi =1}$ 

Reemplazando '1' en la identidad de Euler, ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ , se tiene:

${\displaystyle e^{i\pi }+({\displaystyle \varphi -1/\varphi })=0}$ 

Por tanto:

${\displaystyle e^{i\pi }+{\displaystyle \varphi -1/\varphi }=0}$ 

${\displaystyle {\frac {\varphi \cdot e^{i\pi }+\varphi ^{2}-1}{\varphi }}=0}$ 

${\displaystyle \varphi \cdot e^{i\pi }+\varphi ^{2}-1=0}$ 

Ordenando los términos de la ecuación queda:

${\displaystyle \varphi ^{2}+\varphi \cdot e^{i\pi }-1=0}$ 

De esta manera se relacionan seis números muy utilizados, cinco operaciones de las matemáticas y la ecuación cuadrática.

Véase también

• Leonhard Euler
• Fórmula de Euler
• Fórmula de De Moivre
• Número áureo

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Euler Formula». MathWorld--A Wolfram Web Resource (en inglés). Consultado el 15 de mayo de 2009. 

•   Datos: Q204819