Unidad imaginaria

La unidad imaginaria o unidad de número imaginario (i) es una solución a la ecuación cuadrática x² + 1 = 0 . A pesar de que no hay un número real con esta propiedad, i puede ser usado para extender los números reales a lo que son llamados números complejos, utilizando adición y multiplicación. Un ejemplo sencillo del uso de i en un número complejo es 2 + 3i.

i en el plano complejo o de Argand. Los números reales se encuentran en el eje horizontal y los números imaginarios en el eje vertical.

Los números imaginarios son un concepto matemático importante , los cuales extienden el sistema de número real ℝ al sistema de número complejo ℂ, lo cual a su vez proporciona al menos una raíz por cada polinomio no constante P(x). (Véase clausura algebraica y teorema Fundamental de álgebra.) El término "imaginario" es utilizado porque no hay un número real que tenga un cuadrado negativo.

Hay dos raíces cuadradas complejas de −1, concretamente i y −i, así como hay dos raíces cuadradas complejas de cada número real que no sea cero, el cual tiene una raíz cuadrada doble.

En contextos donde i es ambigua o problemática, a veces es utilizada la j o la letra griega ι. En las disciplinas ingeniería eléctrica e ingeniería de sistemas, la unidad imaginaria es normalmente denotada por j en vez de i, porque i es generalmente utilizado para denotar corriente eléctrica.

Definición

Las potencias naturales de i son valores cíclicos:
... (Repite el patrón de área azul)
i^−3 = i
i^−2 = −1
i^−1 = −i
i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = −1
i^3 = −i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = −1
... (Repite el patrón del área azul)

El número imaginario i está definido solo por la propiedad de que su cuadrado es −1:

Con i definida de este modo, se deduce directamente del álgebra que i y −i son ambas raíces cuadradas de −1.

A pesar de que la construcción se llama "imaginaria", y a pesar de que el concepto de un número imaginario puede ser intuitivamente más difícil de entender que un número real, la construcción es perfectamente válida desde un punto de vista matemático. Las operaciones de números reales pueden ser extendidas a números imaginarios y complejos tratando a i como una cantidad desconocida mientras se manipula una expresión, y después utilizando la definición para reemplazar cualquier ocurrencia de i² con −1. Poderes integrales más altos de i también pueden ser reemplazados con −i, 1, i, o −1:

Como número complejo, i está representado de forma rectangular cuando 0 + 1⋅i 1⋅i, con un componente real cero y una unidad de componente imaginario. En la forma polar, i es representada como 1⋅eiπ/2 (o justo eiπ/2), con un valor absoluto (o magnitud) de 1 y un argumento (o ángulo) de π/2. En el plano complejo (también conocido como el plano de Argand), el cual es una interpretación especial de un plano cartesiano), i es el punto localizado a una unidad del origen a lo largo del eje imaginario (el cual es ortogonal al eje real).

i Y −i

Siendo un polinomio cuadrático sin raíz múltiple, la ecuación definida x² = −1 tiene dos soluciones distintas, las cuales son igualmente válidas y las cuales pasan a ser aditivas y multiplicativas inversas la una de la otra. Más precisamente, una vez que una solución i de la ecuación ha sido fijada, el valor −i, que es distinto de i, es también una solución. Dado que la ecuación es la única definición de i, parece que la definición es ambigua (más precisamente, no bien definida). Aun así, no se produce ambigüedad siempre que se elija una u otra de las soluciones y sean eriquetadas como "i", con la otra entonces siendo etiquetada como −i. Esto es porque, a pesar de que −i y −i no es cuantitativamente equivalente (son negativos el uno del otro), no hay diferencia algebraica entre i y −i. Ambos números imaginarios tienen la misma oportunidad de ser el número cuyo cuadrado es −1. Si todos los libros de matemáticas y la literatura publicada que se refiere a números imaginarios o complejos fueran reescritos con −i reemplazando cada aparición de +i (y por lo tanto cada aparición de −i reemplazada por −(−i) = +i), todos los datos y los teoremas continuarían siendo equivalentemente válidos. La distinción entre las dos raíces x de x² + 1 = 0 con una de ellas etiquetadas con un signo menos es puramente una reliquia de notación; no se puede decir que alguna raíz es más primaria o fundamental que la otra, y tampoco que una de ellas es "positiva" o "negativa".^[1]​

El asunto puede ser sutil o no. La explicación más precisa es decir que aunque el campo complejo, definido como ℝ[x]/(x² + 1) (véase número complejo), es único hasta el isomorfismo, no es único hasta un isomorfismo único — Hay exactamente dos automorfismos de campo de ℝ[x]/(x²) los cuales mantienen cada número real fijo: la identidad y el automorfismo que envía x a −x. Véase también Complejo conjugado y grupo de Galois. ℝ[x]/(x² + 1)

Matrices

Un problema similar surge si los números complejos son interpretados como matrices reales de 2×2, porque entonces ambas ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}$      y     ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ 

Son soluciones a la ecuación matricial

${\displaystyle X^{2}=-I=-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&\;\;0\\\;\;0&-1\end{pmatrix}}.}$ 

En este caso, la ambigüedad resulta de la elección geométrica del cual "dirección" alrededor del círculo de unidad es una rotación "positiva". Una explicación más precisa es decir que el grupo de automorfismo del grupo ortogonal especial SO(2, ℝ) tiene exactamente dos elementos—la identidad y el automorfismo que intercambia rotaciones "CW" (en sentido de las manecillas del reloj) y "CCW" (en sentido contrario a las manecillas del reloj). Ve grupo ortogonal.

Todas estas ambigüedades pueden ser resueltas adoptando una definición más rigurosa de número complejo, y explícitamente eligiendo una de las soluciones a la ecuación para que sea la unidad imaginaria. Por ejemplo, el par ordenado (0, 1), en la construcción habitual de los números complejos con vectores bidimensionales.

Cuándo el conjunto de 2 × 2 M (2, ℝ)atrices reales M (2, ) está utilizado para una fuente, y el número un (1) está identificado con la matriz de identidad, y minus un (−1) con el negativo de la matriz de identidad, entonces hay muchas soluciones a X = −1. De hecho, hay muchas soluciones a x² = +1 y x ² = 0 también. Cualquiera tales #x pueden ser tomados como vector de base, junto con 1, para formar un planar subálgebra.

Uso apropiado

La unidad imaginaria es a veces escrita √−1 en contextos de matemática adelantada (así como en menos textos populares adelantados). Aun así, necesidades de cuidado grande para ser tomados cuándo manipulando las fórmulas que implican radicales. La notación de señal radical está reservada cualquiera para la función de raíz cuadrada principal, el cual es sólo definido de verdad x ≥ 0 , o para la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja. Intentando para aplicar las reglas de cálculo del principales (reales) función de raíz cuadrada para manipular la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja puede producir resultados falsos:

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$     (incorrecta).

Igualmente:

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {-1}}=i}$     (incorrecta).

Son las reglas de cálculo:

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$ 

y

${\displaystyle {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}}$ 

Es solo válido de verdad, valores no negativos de a y b.^[2]​

Propiedades

Raíces cuadradas

 

Las dos raíces cuadradas de i en el plano complejo

 

Las tres raíces de cubo de i en el plano complejo

i tiene dos raíces cuadradas, justo gustar todos los números complejos (exceptúa cero, el cual tiene una raíz doble). Estos dos raíces pueden ser expresadas como los números complejos:^{[nb 1]}​

(x + iy)² = i

donde x y y son parámetros reales o equivalentes determinados

x² + 2ixy − y² = i.

Como los términos reales e imaginarios van separados, se reagrupan a:

x² − y² + 2ixy = 0 + i

y por coeficientes imaginarios, al separar el coeficiente real e imaginario, tenemos un sistema de dos ecuaciones:

x² − y² = 0

2xy = 1.

Substituyendo y = 1/2x en la primera ecuación, tenemos

x² − 1/4x² = 0

x² = 1/4x²

4x⁴ = 1

Cómo x es un número real, es una ecuación con dos soluciones reales x: x = 1/√2 and x = −1/√2. Substituyendo ambos resultados en la ecuación, tenemos 2xy = 1, después, obtenemos y. Por lo que las raíces cuadradas de i son los números complejos de 1/√2 + i/√2 and −1/√2 − i/√2.

(University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)</ref>

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$ 

Al elevar al cuadrado ambas expresiones se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}}$ 

Utilizando la señal radical para la raíz cuadrada principal da:

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$ 

Raíces de cubo

Las tres raíces de cubo de i es:

${\displaystyle -i,}$ 

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},}$ 

${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}.}$ 

Similar a todo de las raíces de 1, todo de las raíces de i es los vértices de polígonos regulares inscribieron dentro del círculo de unidad en el plano complejo.

Multiplicación y división

Multiplicando un número complejo por i da:

Dividiendo por i es equivalente a multiplicar por el recíproco de i:

Utilizando esta identidad para generalizar división por i a todos los números complejos da:

(Esto es equivalente a un 90° en el sentido de las agujas del reloj rotación de un vector sobre el origen en el plano complejo.)

Potencias

Los poderes de i repetir en un ciclo expresable con el patrón siguiente, donde n es cualquier entero:

Estas ventajas a la conclusión que

Dónde mod representa el operación módulo. Equivalentemente:

i elevado a la i

Haciendo uso de la fórmula de Euler, dónde iⁱ es

${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}}$ 

donde k ∈ ℤ

Factorial

El factorial de la unidad imaginaria i es más a menudo dado en plazos del gamma la función evaluada en 1 + i:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i~.}$ 

También,

${\displaystyle |i!|={\sqrt {{\frac {\pi }{\,\sinh \pi \,}}\,}}}$ ^[3]​

Otras operaciones

Muchas operaciones matemáticas que pueden ser llevado a cabo con los números reales también pueden ser llevados a cabo con i, como exponenciación, raíces, logaritmos, y funciones trigonométricas. Todas las funciones siguientes son complejas funciones multivaluadas, y tenga que ser claramente declarado qué rama de la Riemann emerge la función está definida encima en práctica. Listado abajo son resultados para la rama más escogida generalmente.

Un número levantó al ni el poder es:

El nith la raíz de un número es:

Cuando con cualquier logaritmo complejo, la base de registro i no es singularmente definido.

El coseno de i es un número real:

Y el seno de i es puramente imaginario:

Notaciones alternativas

• En ingeniería eléctrica y relacionados campos, la unidad imaginaria es normalmente denotada por j para evitar confusión con corriente eléctrica como función de tiempo, tradicionalmente denotado por i(t) o solamente i.^[4]​ El lenguaje de programación de Pitón también utiliza j para marcar la parte imaginaria de un número complejo. MATLAB Asocia ambos i y j con la unidad imaginaria, a pesar de que 1i o 1j es preferible, para velocidad y robustez mejorada.^[5]​
• Algunos textos utilizan la letra griega iota (ι) para la unidad imaginaria, para evitar confusión, especialmente con índice y subíndices.
• Cada cual de i, j y k es una unidad imaginaria en las cuaterniones. En bivectores y bicuaterniones una unidad imaginaria adicional h está utilizado.

Véase también

• Multiplicidad (matemáticas)
• Raíz de unidad
• Unidad número complejo

Notas

1. para encontrar el numero, se debe resolver esta ecuación

Referencias

1. Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Circles Disturbed: The Interplay of Mathematics and Narrative (illustrated edición). Princeton University Press. p. 225. ISBN 978-0-691-14904-2. 
2. Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. 
3. "abs(i!)", WolframAlpha.
4. Boas, Mary L. (2006). Mathematical methods in the physical sciences (3. edición). New York [u.a.]: Wiley. p. 49. ISBN 0-471-19826-9. 
5. «MATLAB Product Documentation». 

Lectura más lejana

• An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. 1998. ISBN 0-691-02795-1. 

Enlaces externos

• El trabajo de Euler en Raíces Imaginarias de Polinomios en

•   Datos: Q193796