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Grupo de homotopía

En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar los espacios topológicos. El primer y más sencillo grupo de homotopía es el grupo fundamental, que registra información sobre las familias de curvas cerradas en un espacio. Intuitivamente, los grupos homotópicos registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico.

Primer grupo de homotopía (grupo fundamental) del toro.

Dos aplicaciones o mapas son homotópicos si uno puede ser deformado de forma continua hasta convertirlo en el otro. La homotopía así definida es una relación de equivalencia que permite definir clases de equivalencia llamadas clases de homotopía. El conjunto de dichas clases tiene estructura de grupo bajo la operación de composición. El grupo de homotopía de orden n, , se define como el conjunto de los mapas de una esfera n-dimensional Sn en un espacio dado X, basados en un punto fijo x0. El grupo fundamental es el primer grupo de homotopía , es decir, la familia de mapas de una esfera S1 (una circunferencia) en un espacio dado X, pasantes por un punto fijo x0 . La noción de homotopía de curvas fue presentada por Camille Jordan.[1]

Los espacios topológicos con diferentes grupos de homotopía no son homeomorfos, pero lo contrario no es cierto. En las matemáticas modernas, para estudiar una categoría es común asociar a cada objeto de esta categoría un objeto simple que todavía conserva una cantidad suficiente de información sobre el objeto en cuestión. Los grupos de homotopía son una manera de asociar los grupos a la categoría de espacios topológicos.

Introducción

El hecho de poder definir una estructura algebraica sobre los espacios topológicos permite aplicar conceptos de la teoría de grupos a la topología. Por ejemplo, si dos objetos topológicos tienen diferentes grupos de homotopía, entonces no pueden tener la misma estructura topológica - un hecho que resulta difícil de probar por medios topológicos. Por ejemplo, el toro es diferente de la esfera. El toro tiene un "agujero", a diferencia de la esfera. Sin embargo, ya que la continuidad (la noción básica de topología) sólo se ocupa de la estructura local, puede resultar difícil definir formalmente obvias diferencias globales. Los grupos de homotopía, sin embargo, contienen información acerca de la estructura global.

En cuanto al ejemplo: El primer grupo de homotopía del toro T es

  = ℤ2

debido a que la cobertura universal de un toro es el plano complejo ℂ, mapeando un toro T ≅ ℂ / ℤ2. Aquí el cociente está en la categoría de los espacios topológicos, en lugar de grupos o anillos. Por otro lado, la esfera S2 satisface

  = 0

Por lo tanto, el toro no es homeomorfo a la esfera.

Definición

En la hiperesfera Sn, se elige un punto fijo a. Para otro espacio X se elige un punto fijo x0. Se define el grupo de homotopía de orden n   como el conjunto de las clases de homotopía de las aplicaciones

f : SnX, tal que f(a) = x0

En particular, las clases de equivalencia son dadas por homotopías que son constantes en el punto fijo a de la esfera. De manera equivalente, podemos definir   como el grupo de clases homotópicas de mapas

g : [0,1]nX

desde el hipercubo unitario en X, que mapean el contorno del n-cubo en x0.

 
Composición de clases en el grupo fundamental.

Para n ≥ 1, las clases de homotopía forman un grupo bajo la operación de composición de clases. En el caso particular del primer grupo (grupo fundamental), el producto de dos lazos f y g se define como:

 

La idea de la composición en el grupo fundamental consiste en recorrer el primer lazo y después el segundo de manera consecutiva, o de manera equivalente, colocar sus dos dominios juntos. El concepto de composición generalizado para el grupo de homotopía de orden n es similar, sólo que ahora los dominios que se unen son hipercubos unitarios, solapados a lo largo de una cara. De manera explícita, la composición de los mapas f y g: [0,1]nX se define como:

 

La definición en términos de esferas, la operación de dos mapas f y g: SnX se define como la composición de dos mapas Ψ y h, donde Ψ es el mapa de Sn en el producto cuña de dos n-esferas que colapsan en el ecuador, y h es el mapa del producto cuña de dos n-esferas en X tales que f está definido en la primera y g en la segunda.

Los grupos de homotopía de orden superior a 1 son abelianos. Una demostración de ello es el argumento de Eckmann-Hilton, según el cual en dos dimensiones o más, dos homotopías pueden "girar" una alrededor de la otra.

Aunque pueda resultar tentador, no es posible omitir los puntos fijos en la definición de los grupos de homotopía, dado que dicho argumento no funcionaría en espacios que no son simplemente conexos, ni siquiera cuando son conexos por caminos. El conjunto de clases de homotopía de una n-esfera en un espacio conexo no tiene estructura de grupo. Sin embargo es esencialmente el conjunto de órbitas del grupo fundamental en el grupo de homotopía.

Se ha conseguido una manera de soslayar estas dificultades mediante la definición de grupoides de homotopía superiores de espacios filtrados y de espacios de n-cubos. Estos están relacionados con grupos de homotopía relativos y grupos de homotopía n-ádicos respectivamente. El teorema de Seifert-van Kampen permite entonces derivar nueva información acerca de los grupos de homotopía e incluso de los tipos de homotopía.[2]

Véase también

Referencias

Notas

  1. «Marie Ennemond Camille Jordan». 
  2. . Archivado desde el original el 1 de enero de 2012. 

Bibliografía

  • Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1 .
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Homotopy group», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
  • Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', , 1 (1999) 1–78.
  • G.J. Ellis and R. Mikhailov, `A colimit of classifying spaces', arXiv:0804.3581v1 [math.GR] (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
  • R. Brown, P.J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 pages. (August 2011).

Enlaces externos

  • Grupo de homotopia y cubiertas: una introducción a la topología algebraica. Tejada Jiménez, Débora María (2000).
  •   Datos: Q1626416

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En matematicas los grupos de homotopia se utilizan en topologia algebraica para clasificar los espacios topologicos El primer y mas sencillo grupo de homotopia es el grupo fundamental que registra informacion sobre las familias de curvas cerradas en un espacio Intuitivamente los grupos homotopicos registran informacion sobre la forma basica o agujeros de un espacio topologico Primer grupo de homotopia grupo fundamental del toro Dos aplicaciones o mapas son homotopicos si uno puede ser deformado de forma continua hasta convertirlo en el otro La homotopia asi definida es una relacion de equivalencia que permite definir clases de equivalencia llamadas clases de homotopia El conjunto de dichas clases tiene estructura de grupo bajo la operacion de composicion El grupo de homotopia de orden n p n X displaystyle pi n X se define como el conjunto de los mapas de una esfera n dimensional Sn en un espacio dado X basados en un punto fijo x0 El grupo fundamental es el primer grupo de homotopia p 1 X displaystyle pi 1 X es decir la familia de mapas de una esfera S1 una circunferencia en un espacio dado X pasantes por un punto fijo x0 La nocion de homotopia de curvas fue presentada por Camille Jordan 1 Los espacios topologicos con diferentes grupos de homotopia no son homeomorfos pero lo contrario no es cierto En las matematicas modernas para estudiar una categoria es comun asociar a cada objeto de esta categoria un objeto simple que todavia conserva una cantidad suficiente de informacion sobre el objeto en cuestion Los grupos de homotopia son una manera de asociar los grupos a la categoria de espacios topologicos Indice 1 Introduccion 2 Definicion 3 Vease tambien 4 Referencias 4 1 Notas 4 2 Bibliografia 5 Enlaces externosIntroduccion EditarEl hecho de poder definir una estructura algebraica sobre los espacios topologicos permite aplicar conceptos de la teoria de grupos a la topologia Por ejemplo si dos objetos topologicos tienen diferentes grupos de homotopia entonces no pueden tener la misma estructura topologica un hecho que resulta dificil de probar por medios topologicos Por ejemplo el toro es diferente de la esfera El toro tiene un agujero a diferencia de la esfera Sin embargo ya que la continuidad la nocion basica de topologia solo se ocupa de la estructura local puede resultar dificil definir formalmente obvias diferencias globales Los grupos de homotopia sin embargo contienen informacion acerca de la estructura global En cuanto al ejemplo El primer grupo de homotopia del toro T es p 1 T displaystyle pi 1 T ℤ2debido a que la cobertura universal de un toro es el plano complejo ℂ mapeando un toro T ℂ ℤ2 Aqui el cociente esta en la categoria de los espacios topologicos en lugar de grupos o anillos Por otro lado la esfera S2 satisface p 1 S 2 displaystyle pi 1 S 2 0Por lo tanto el toro no es homeomorfo a la esfera Definicion EditarEn la hiperesfera Sn se elige un punto fijo a Para otro espacio X se elige un punto fijo x0 Se define el grupo de homotopia de orden n p n X displaystyle pi n X como el conjunto de las clases de homotopia de las aplicaciones f Sn X tal que f a x0En particular las clases de equivalencia son dadas por homotopias que son constantes en el punto fijo a de la esfera De manera equivalente podemos definir p n X displaystyle pi n X como el grupo de clases homotopicas de mapas g 0 1 n Xdesde el hipercubo unitario en X que mapean el contorno del n cubo en x0 Composicion de clases en el grupo fundamental Para n 1 las clases de homotopia forman un grupo bajo la operacion de composicion de clases En el caso particular del primer grupo grupo fundamental el producto de dos lazos f y g se define como f g f 2 t si t 0 1 2 g 2 t 1 si t 1 2 1 displaystyle f ast g begin cases f 2t amp text si t in 0 1 2 g 2t 1 amp text si t in 1 2 1 end cases La idea de la composicion en el grupo fundamental consiste en recorrer el primer lazo y despues el segundo de manera consecutiva o de manera equivalente colocar sus dos dominios juntos El concepto de composicion generalizado para el grupo de homotopia de orden n es similar solo que ahora los dominios que se unen son hipercubos unitarios solapados a lo largo de una cara De manera explicita la composicion de los mapas f y g 0 1 n X se define como f g t 1 t 2 t n f 2 t 1 t 2 t n si t 0 1 2 g 2 t 1 1 t 2 t n si t 1 2 1 displaystyle f ast g t 1 t 2 t n begin cases f 2t 1 t 2 t n amp text si t in 0 1 2 g 2t 1 1 t 2 t n amp text si t in 1 2 1 end cases La definicion en terminos de esferas la operacion de dos mapas f y g Sn X se define como la composicion de dos mapas PS y h donde PS es el mapa de Sn en el producto cuna de dos n esferas que colapsan en el ecuador y h es el mapa del producto cuna de dos n esferas en X tales que f esta definido en la primera y g en la segunda Los grupos de homotopia de orden superior a 1 son abelianos Una demostracion de ello es el argumento de Eckmann Hilton segun el cual en dos dimensiones o mas dos homotopias pueden girar una alrededor de la otra Aunque pueda resultar tentador no es posible omitir los puntos fijos en la definicion de los grupos de homotopia dado que dicho argumento no funcionaria en espacios que no son simplemente conexos ni siquiera cuando son conexos por caminos El conjunto de clases de homotopia de una n esfera en un espacio conexo no tiene estructura de grupo Sin embargo es esencialmente el conjunto de orbitas del grupo fundamental en el grupo de homotopia Se ha conseguido una manera de soslayar estas dificultades mediante la definicion de grupoides de homotopia superiores de espacios filtrados y de espacios de n cubos Estos estan relacionados con grupos de homotopia relativos y grupos de homotopia n adicos respectivamente El teorema de Seifert van Kampen permite entonces derivar nueva informacion acerca de los grupos de homotopia e incluso de los tipos de homotopia 2 Vease tambien EditarGrupo matematicas Homotopia Topologia algebraica Teoria de nudos Teoria geometrica de grupos Propiedad topologica Referencias EditarNotas Editar Marie Ennemond Camille Jordan Higher dimensional group theory Archivado desde el original el 1 de enero de 2012 Bibliografia Editar Hatcher Allen 2002 Algebraic topology Cambridge University Press ISBN 978 0 521 79540 1 Hazewinkel Michiel ed 2001 Homotopy group Encyclopaedia of Mathematics en ingles Springer ISBN 978 1556080104 Ronald Brown Groupoids and crossed objects in algebraic topology Homology homotopy and applications 1 1999 1 78 G J Ellis and R Mikhailov A colimit of classifying spaces arXiv 0804 3581v1 math GR enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima R Brown P J Higgins R Sivera Nonabelian algebraic topology filtered spaces crossed complexes cubical homotopy groupoids EMS Tracts in Mathematics Vol 15 703 pages August 2011 Enlaces externos EditarGrupo de homotopia y cubiertas una introduccion a la topologia algebraica Tejada Jimenez Debora Maria 2000 Datos Q1626416 Obtenido de https es wikipedia 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