La teoría geométrica de grupos es un área de las matemáticas que se dedica al estudio de los grupos finitamente generados mediante las exploraciones entre las propiedades de tales grupos y las propiedades topológicas o geométricas de los espacios donde estos grupos actúan. (esto es, cuando los grupos en cuestión son realizados como simetrías geométricas o transformaciones continuas de algunos espacios).
Otra importante idea en la teoría geométrica de los grupos es considerar los mismos grupos finitamente generados como objetos geométricos.
Esto es usualmente hecho mediante el estudio del grafo de Cayley del grupo, en el cual, además de la estructura de grafo, están adosadas con una de espacio métrico, dada por la llamada word metric longitud de palabra.
La teoría geométrica de los grupos, como una rama distinta de las matemáticas, es relativamente nueva, y ha devenido claramente identificable como una parte de las matemáticas desde finales de los 1980's. La teoría geométrica de los grupos interactúa cercanamente con la topología de dimensiones bajas, la geometría hiperbólica, la topología algebraica, la teoría computacional de grupos y el análisis geométrico.
Los temas notables en el desarrollo de esta ciencia en los 1990s y 2000s incluyen:
El estudio del programa de Gromov acerca de las propiedades cuasi-isométricas de los grupos.
El programa de Gromov es un tema ampliamente influyente es el de la clasificación de los grupos finitamente generados de acuerdo a su escala geométrica. Formalmente, esto significa clasificar los grupos finitamente generados utilizando su word metric hasta la cuasi-isometría. Este programa involucra:
El estudio de las propiedades que son invariantes bajo cuasi-isometrías. Ejemplo de tales propiedades de los grupos finitamente generados incluyen: la tasa de crecimiento del grupo; la función isoperimétrica o la función de Dehn del grupo; el número de puntas del grupo (como en ends); hiperbolicidad del grupo; el tipo-homeomórfico de la frontera de un grupo hiperbólico; conos asintóticos; virtualidad abeliana; virtualidad nilpotente; virtualidad libre; presentabilidad finita; tener resolubilidad del problema-de-la-palabra (como en word problem); y otras.
Los teoremas que usan invariantes cuasi-isométricos para probar resultados algebraicos acerca de grupos, por ejemplo: el problema de crecimiento polinomial de Gromov; el teorema de Stallings de puntas; el teorema de rigidez de Mostow.
Los teoremas de rigidez cuasi-isométrica, en la cual uno clasifica algebraicamente todos los grupos que son cuasi-isométricos a un grupo o espacio métrico dado. Esta dirección fue iniciada por el trabajo de Schwartz de rigidez cuasi-isométrica de redes (lattices) de rango uno y por el trabajo de Farb y Moser en rigidez cuasi-isométrica de los grupos de Baumslag-Solitar.
La teoría del word-problem en grupos hiperbólicos y los grupos relativamente hiperbólicos. El particularmente importante desarrollo del trabajo de Sela de los 1990s resultando en la solución del problema del isomorfismo para grupos hiperbólicos.
Las interacciones con la lógica matemática y el estudio la teoría de primer-orden en grupos libres. El progreso de las famosas conjeturas de Tarski. El estudio del grupo límite y la introducción del lenguaje y maquinaria de la geometría algebraica no-conmutativa ganó prominencia.
Las interacciones con la ciencia computacional, teoría de complejidad y la teoría de lenguajes formales. Este tema es ejemplificado por el desarrollo de la teoría de grupos automáticos, una noción que impone ciertas condiciones geométricas y de lenguaje-teórico sobre la operación en un grupo finitamente generado.
El estudio de las desigualdades isoperimétricas, Funciones de Dehn y sus generalizaciones para grupos finitamente presentados. Esto incluye el trabajo de Birget, Ol'shanskii, Rips y Sapiresencialmente caracterizando las posibles funciones de Dehn de grupos finitamente presentados, tanto como los resultados que prueban la construcción explícita de grupos con funciones racionales de Dehn.
Las conexiones con el análisis geométrico, el estudio de las -álgebras asociadas con grupos discretos y la teoría de probabilidad libre. Este tema es representado, en particular, por el considerable progreso en la conjetura de Novikov y la conjetura de Baum-Connes y los desarrollos y estudios relacionados con las nociones teórico-grupales tales como topological amenability, dimensión asintótica, encajamiento uniforme en espacios de Hilbert, propiedad de decaimiento rápido, etc...
Las interacciones con la teoría del análisis cuasi-conforme en espacios métricos, particularmente en relación a la conjetura de Cannon acerca de los grupos hiperbólicos con frontera (topología)homeomorfa a la 2-esfera.
La introducción de métodos probabilísticos al estudio de las propiedades algebraicas objetos teórico-grupales aleatorias. Un importante desarrollo aquí es el trabajo de Gromov quién usó métodos probabilísticos para probar la existencia de un grupo finitamente generado que no es uniformemente encajable en un espacio de hilbert. Otros notables desarrollos incluyen la introducción y estudio de la noción de complejidad de caso-genérico para algoritmos teórico-grupales y otros, tanto como resultados sobre rigidez algebraica para grupos genéricos.
Datos:Q2662474
Multimedia:Geometric group theory
Agosto 06, 2021
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La teoria geometrica de grupos es un area de las matematicas que se dedica al estudio de los grupos finitamente generados mediante las exploraciones entre las propiedades de tales grupos y las propiedades topologicas o geometricas de los espacios donde estos grupos actuan esto es cuando los grupos en cuestion son realizados como simetrias geometricas o transformaciones continuas de algunos espacios Otra importante idea en la teoria geometrica de los grupos es considerar los mismos grupos finitamente generados como objetos geometricos Esto es usualmente hecho mediante el estudio del grafo de Cayley del grupo en el cual ademas de la estructura de grafo estan adosadas con una de espacio metrico dada por la llamada word metric longitud de palabra La teoria geometrica de los grupos como una rama distinta de las matematicas es relativamente nueva y ha devenido claramente identificable como una parte de las matematicas desde finales de los 1980 s La teoria geometrica de los grupos interactua cercanamente con la topologia de dimensiones bajas la geometria hiperbolica la topologia algebraica la teoria computacional de grupos y el analisis geometrico Hay substanciosas conexiones con la teoria de la complejidad y la logica matematica el estudio de los grupos de Lie y sus subgrupos discretos los sistemas dinamicos la teoria de la probabilidad y la K teoria entre otras Tematica notable EditarLos temas notables en el desarrollo de esta ciencia en los 1990s y 2000s incluyen El estudio del programa de Gromov acerca de las propiedades cuasi isometricas de los grupos El programa de Gromov es un tema ampliamente influyente es el de la clasificacion de los grupos finitamente generados de acuerdo a su escala geometrica Formalmente esto significa clasificar los grupos finitamente generados utilizando su word metric hasta la cuasi isometria Este programa involucra El estudio de las propiedades que son invariantes bajo cuasi isometrias Ejemplo de tales propiedades de los grupos finitamente generados incluyen la tasa de crecimiento del grupo la funcion isoperimetrica o la funcion de Dehn del grupo el numero de puntas del grupo como en ends hiperbolicidad del grupo el tipo homeomorfico de la frontera de un grupo hiperbolico conos asintoticos virtualidad abeliana virtualidad nilpotente virtualidad libre presentabilidad finita tener resolubilidad del problema de la palabra como en word problem y otras Los teoremas que usan invariantes cuasi isometricos para probar resultados algebraicos acerca de grupos por ejemplo el problema de crecimiento polinomial de Gromov el teorema de Stallings de puntas el teorema de rigidez de Mostow Los teoremas de rigidez cuasi isometrica en la cual uno clasifica algebraicamente todos los grupos que son cuasi isometricos a un grupo o espacio metrico dado Esta direccion fue iniciada por el trabajo de Schwartz de rigidez cuasi isometrica de redes lattices de rango uno y por el trabajo de Farb y Moser en rigidez cuasi isometrica de los grupos de Baumslag Solitar La teoria del word problem en grupos hiperbolicos y los grupos relativamente hiperbolicos El particularmente importante desarrollo del trabajo de Sela de los 1990s resultando en la solucion del problema del isomorfismo para grupos hiperbolicos Las interacciones con la logica matematica y el estudio la teoria de primer orden en grupos libres El progreso de las famosas conjeturas de Tarski El estudio del grupo limite y la introduccion del lenguaje y maquinaria de la geometria algebraica no conmutativa gano prominencia Las interacciones con la ciencia computacional teoria de complejidad y la teoria de lenguajes formales Este tema es ejemplificado por el desarrollo de la teoria de grupos automaticos una nocion que impone ciertas condiciones geometricas y de lenguaje teorico sobre la operacion en un grupo finitamente generado El estudio de las desigualdades isoperimetricas Funciones de Dehn y sus generalizaciones para grupos finitamente presentados Esto incluye el trabajo de Birget Ol shanskii Rips y Sapiresencialmente caracterizando las posibles funciones de Dehn de grupos finitamente presentados tanto como los resultados que prueban la construccion explicita de grupos con funciones racionales de Dehn Las conexiones con el analisis geometrico el estudio de las C displaystyle mathbb C algebras asociadas con grupos discretos y la teoria de probabilidad libre Este tema es representado en particular por el considerable progreso en la conjetura de Novikov y la conjetura de Baum Connes y los desarrollos y estudios relacionados con las nociones teorico grupales tales como topological amenability dimension asintotica encajamiento uniforme en espacios de Hilbert propiedad de decaimiento rapido etc Las interacciones con la teoria del analisis cuasi conforme en espacios metricos particularmente en relacion a la conjetura de Cannon acerca de los grupos hiperbolicos con frontera topologia homeomorfa a la 2 esfera La introduccion de metodos probabilisticos al estudio de las propiedades algebraicas objetos teorico grupales aleatorias Un importante desarrollo aqui es el trabajo de Gromov quien uso metodos probabilisticos para probar la existencia de un grupo finitamente generado que no es uniformemente encajable en un espacio de hilbert Otros notables desarrollos incluyen la introduccion y estudio de la nocion de complejidad de caso generico para algoritmos teorico grupales y otros tanto como resultados sobre rigidez algebraica para grupos genericos Datos Q2662474 Multimedia Geometric group theoryObtenido de https es wikipedia org w index php title Teoria geometrica de grupos amp oldid 135801720, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
