En topología, se dice que un espacio topológico es simplemente conexo cuando es conexo por caminos y su grupo fundamental es el grupo trivial.[1] De forma equivalente, un espacio topológico es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua que sea un lazo, es decir, que verifique para algún punto , es contractible de forma continua a dicho punto mediante una homotopía tal que y .
La esfera es simplemente conexa ya que es conexa por caminos y todo lazo puede contraerse continuamente sobre la superficie a un punto.
En un espacio simplemente conexo se cumple que entre todo par de puntos existe una única clase de homotopía de caminos, es decir, todos los caminos que los conectan son homotópos entre sí. El término "simplemente conexo" viene precisamente de esta propiedad: sólo existe una forma, salvo homotopía, de conectar con un camino cualquier par de puntos del espacio.[1]
Informalmente, un objeto es simplemente conexo si está formado por una sola pieza y no contiene agujeros que lo atraviesen.
Este espacio no es simplemente conexo. Aunque es conexo por caminos, tiene agujeros que lo atraviesan y por tanto su grupo fundamental no es trivial.
Un toro no es simplemente conexo. Ninguno de los dos lazos coloreados puede contraerse en un punto sin abandonar la superficie.
El espacio euclídeo es simplemente conexo.
El espacio euclídeo sin el origen es simplemente conexo si y solo si . Para no es conexo por caminos; para tiene un grupo fundamental isomorfo a que es diferente al grupo trivial.
La esfera -dimensional es simplemente conexa si y solo si .
El toro es conexo por caminos, pero su grupo fundamental es isomorfo a . Por tanto, no es simplemente conexo.
Todo espacio contractible es simplemente conexo. Lo opuesto no es cierto; por ejemplo, la esfera es simplemente conexa pero no es contractible.
Todo subespacio convexo en es simplemente conexo. En efecto, todo subespacio convexo es contractible.
conjunto, simplemente, conexo, topología, dice, espacio, topológico, simplemente, conexo, cuando, conexo, caminos, grupo, fundamental, grupo, trivial, forma, equivalente, espacio, topológico, displaystyle, simplemente, conexo, conexo, caminos, toda, aplicación. En topologia se dice que un espacio topologico es simplemente conexo cuando es conexo por caminos y su grupo fundamental es el grupo trivial 1 De forma equivalente un espacio topologico X displaystyle X es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicacion continua f 0 1 X displaystyle f 0 1 to X que sea un lazo es decir que verifique f 0 f 1 p displaystyle f 0 f 1 p para algun punto p X displaystyle p in X es contractible de forma continua a dicho punto mediante una homotopia H 0 1 0 1 X displaystyle H 0 1 times 0 1 to X tal que H s 0 f s displaystyle H s 0 f s y H s 1 p displaystyle H s 1 p La esfera S 2 displaystyle S 2 es simplemente conexa ya que es conexa por caminos y todo lazo puede contraerse continuamente sobre la superficie a un punto En un espacio simplemente conexo se cumple que entre todo par de puntos existe una unica clase de homotopia de caminos es decir todos los caminos que los conectan son homotopos entre si El termino simplemente conexo viene precisamente de esta propiedad solo existe una forma salvo homotopia de conectar con un camino cualquier par de puntos del espacio 1 La nocion de conexion simple es crucial en la conjetura de Poincare Indice 1 Ejemplos 2 Vease tambien 3 Referencias 4 Enlaces externosEjemplos EditarInformalmente un objeto es simplemente conexo si esta formado por una sola pieza y no contiene agujeros que lo atraviesen Este espacio no es simplemente conexo Aunque es conexo por caminos tiene agujeros que lo atraviesan y por tanto su grupo fundamental no es trivial Un toro no es simplemente conexo Ninguno de los dos lazos coloreados puede contraerse en un punto sin abandonar la superficie El espacio euclideo R n displaystyle mathbb R n es simplemente conexo El espacio euclideo sin el origen R n 0 displaystyle mathbb R n mathbf 0 es simplemente conexo si y solo si n gt 2 displaystyle n gt 2 Para n 1 R 0 displaystyle n 1 mathbb R 0 no es conexo por caminos para n 2 R 2 0 displaystyle n 2 mathbb R 2 mathbf 0 tiene un grupo fundamental isomorfo a Z displaystyle mathbb Z que es diferente al grupo trivial La esfera n displaystyle n dimensional S n displaystyle S n es simplemente conexa si y solo si n 2 displaystyle n geq 2 El toro es conexo por caminos pero su grupo fundamental es isomorfo a Z Z displaystyle mathbb Z times mathbb Z Por tanto no es simplemente conexo Todo espacio contractible es simplemente conexo Lo opuesto no es cierto por ejemplo la esfera S 2 displaystyle S 2 es simplemente conexa pero no es contractible Todo subespacio convexo en R n displaystyle mathbb R n es simplemente conexo En efecto todo subespacio convexo es contractible Vease tambien EditarHomotopia Grupo fundamental Espacio conexo por caminos Conjetura de Poincare Espacio contractibleReferencias Editar a b Hatcher Allen Algebraic topology 2002 edicion Cambridge University Press ISBN 0 521 79540 0 Enlaces externos EditarWeisstein Eric W SimplyConnected En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q912058Obtenido de https es wikipedia org w index php title Conjunto simplemente conexo amp oldid 131952776, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
