Homotopía

En topología, y más precisamente en topología algebraica, dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro se dicen homótopas (del griego homos = mismo y topos = lugar) si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra.

Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homótopos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

Definición formal

Dos aplicaciones continuas ${\displaystyle f,g:X\to Y}$  se dicen homótopas si existe otra aplicación (continua también) ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$  tal que:

${\displaystyle H(x,0)=f(x)\,}$ 

${\displaystyle H(x,1)=g(x)\,}$ 

Un ejemplo importante son las diferentes clases (de homotopía) de mapeos del círculo a un espacio ${\displaystyle X}$ 

${\displaystyle S^{1}\to X\,}$ 

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental.

• Si dos aplicaciones f y g son homótopas, se escribe f ≃ g; lo que significa esta relación es efectivamente una relación de equivalencia sobre el conjunto de aplicaciones continuas de X en Y, Las clases de equivalencia se denominan clases de homotopía de aplicaciones.^[1]​

Tipo homotópico

Se dice que dos espacios X, Y tienen el mismo tipo de homotopía, si existe un par de aplicaciones ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\to }}Y}$  y ${\displaystyle Y{\stackrel {g}{\to }}X}$  tales que ${\displaystyle g\circ f}$  y ${\displaystyle f\circ g}$  son homótopas a ${\displaystyle Id_{X}}$  y ${\displaystyle Id_{Y}}$  respectivamente.

Suele ser utilizado el símbolo: ${\displaystyle f\simeq g}$ , para indicar que los objetos f y g son homótopos.

Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo de homotopía. Un espacio topológico que tiene el mismo tipo de homotopía que un conjunto unitario se dice contráctil.

Referencias

1. Munkres: "Topología"

Literatura del caso

• Weisstein, Eric W. «Homotopía». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Homotopía», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

Enlaces externos

•   Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Homotopía.

•   Datos: Q746083
•   Multimedia: Homotopy