Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas solo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.
Triángulo
Coordenadas baricéntricas en un triángulo equilátero y en un triángulo recto
Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo de vértices , y , entonces cualquier punto del interior del triángulo puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas tales que:
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
En concreto el lado se caracteriza por tener , el lado tiene , y el lado . El baricentro coincidirá con el punto . El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:
El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos:
y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.
Tetraedro
La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo . Si los vértices del tetraedro en cuestión son , , y , entonces cualquier punto del interior del tetraedro puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas tales que:
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
El baricentro coincidirá con el punto . Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero el punto será un interior, si solo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y solo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.
n-simplex
Dado un n-simplex (o simplex) en el espacio euclídeo , se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son:
entonces cualquier punto del interior del simplex puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas tales que:
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
coordenadas, baricéntricas, simplex, coordenadas, baricéntricas, permiten, parametrizar, mediante, números, reales, intervalo, interior, simplex, realidad, coordenadas, baricéntricas, solo, independientes, suma, todas, igual, triángulo, editar, coordenadas, ba. Las coordenadas baricentricas permiten parametrizar mediante n 1 numeros reales en el intervalo 0 1 el interior de un n simplex En realidad de las n 1 coordenadas baricentricas solo n son independientes ya que la suma de todas es igual a uno Triangulo Editar Coordenadas baricentricas l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 en un triangulo equilatero y en un triangulo recto Como ejemplo introductorio se considera un triangulo en el plano euclideo E 2 displaystyle mathbb E 2 de vertices A x A y A displaystyle text A x A y A B x B y B displaystyle text B x B y B y C x C y C displaystyle text C x C y C entonces cualquier punto del interior del triangulo P x y displaystyle text P x y puede ser representado por tres coordenadas baricentricas a b g displaystyle alpha beta gamma tales que a b g 1 0 a b g 1 displaystyle alpha beta gamma 1 qquad 0 leq alpha beta gamma leq 1 Donde la relacion entre las coordenadas cartesianas y las baricentricas viene dada por x a x A b x B g x C y a y A b y B g y C displaystyle begin cases x alpha x A beta x B gamma x C y alpha y A beta y B gamma y C end cases En concreto el lado AB displaystyle text AB se caracteriza por tener g 0 displaystyle gamma 0 el lado BC displaystyle text BC tiene a 0 displaystyle alpha 0 y el lado CA displaystyle text CA b 0 displaystyle beta 0 El baricentro coincidira con el punto a b g 1 3 1 3 1 3 displaystyle alpha beta gamma 1 3 1 3 1 3 El triangulo estara formado por todos los puntos del conjunto T T x y a b g a b g 1 x a x A b x B g x C y a y A b y B g y C displaystyle T x y exists alpha beta gamma alpha beta gamma 1 land x alpha x A beta x B gamma x C land y alpha y A beta y B gamma y C El lado a opuesto al vertice A sera el conjunto de puntos left T a x y T b g b g 1 x b x B g x C y b y B g y C displaystyle T a x y in T exists beta gamma beta gamma 1 land x beta x B gamma x C land y beta y B gamma y C y analogamente los lados b y c por lo que la frontera del triangulo estara formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricentricas sea cero Y los vertices satisfacen que una de sus coordenadas baricentricas es uno y las otras son nulas Tetraedro EditarLa construccion anterior puede ampliarse a un tetraedro no necesariamente regular en el espacio euclideo E 3 displaystyle mathbb E 3 Si los vertices del tetraedro en cuestion son A x A y A z A displaystyle text A x A y A z A B x B y B z B displaystyle text B x B y B z B C x C y C z C displaystyle text C x C y C z C y D x D y D z D displaystyle text D x D y D z D entonces cualquier punto del interior del tetraedro P x y z displaystyle text P x y z puede ser representado por cuatro coordenadas baricentricas t A t B t C t D displaystyle t A t B t C t D tales que t A t B t C t D 1 0 t X 1 displaystyle t A t B t C t D 1 qquad 0 leq t X leq 1 Donde la relacion entre las coordenadas cartesianas y las baricentricas viene dada por x t A x A t B x B t C x C t D x D y t A y A t B y B t C y C t D y D z t A z A t B z B t C z C t D z D displaystyle begin cases x t A x A t B x B t C x C t D x D y t A y A t B y B t C y C t D y D z t A z A t B z B t C z C t D z D end cases El baricentro coincidira con el punto t A t B t C t D 1 4 1 4 1 4 1 4 displaystyle t A t B t C t D 1 4 1 4 1 4 1 4 Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricentricas es cero t A 0 t B 0 t C 0 t D 0 displaystyle t A neq 0 t B neq 0 t C neq 0 t D neq 0 el punto sera un interior si solo una de ellas es cero sera un punto interior a una de las caras del tetraedro si dos y solo dos de las coordenadas baricentricas son cero el punto sera el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricentricas son cero y por tanto la otra igual a 1 el punto sera un vertice n simplex EditarDado un n simplex o simplex en el espacio euclideo E n displaystyle mathbb E n se pueden definir las coordenadas baricentricas generalizadas Si los n 1 vertices del n simplex son V i s 1 i s 2 i s n i i 1 2 n 1 displaystyle V i sigma 1 i sigma 2 i ldots sigma n i qquad i 1 2 ldots n 1 qquad entonces cualquier punto del interior del simplex P p 1 p 2 p n displaystyle P p 1 p 2 ldots p n puede ser representado por n 1 coordenadas baricentricas t 1 t 2 t n 1 displaystyle t 1 t 2 ldots t n 1 tales que i 1 n 1 t i 1 0 t i 1 displaystyle sum i 1 n 1 t i 1 qquad 0 leq t i leq 1 Donde la relacion entre las coordenadas cartesianas y las baricentricas viene dada por p j i 1 n 1 t i s j i j 1 2 n displaystyle p j sum i 1 n 1 t i sigma j i qquad j 1 2 ldots n El baricentro coincidira con el punto t 1 t 2 t n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 displaystyle t 1 t 2 ldots t n 1 1 n 1 1 n 1 ldots 1 n 1 Datos Q738422 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Coordenadas baricentricas n simplex amp oldid 121412267, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,