Los términos se definen como sigue. Supóngase que (P, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado. Un subconjunto T de P es totalmente ordenado si para cualquier s, t ∈ T se tiene s ≤ t o t ≤ s. Tal conjunto T tiene una cota superioru ∈ P si t ≤ u para cualquier t ∈ T; no se necesita que u sea miembro de T. Un elemento m ∈ P es maximal si el único x ∈ P tal que m ≤ x es m mismo.
Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal. Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo, que no es vacío pues incluye al menos al ideal trivial {0} de R. Este conjunto está parcialmente ordenado por inclusión.
Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P; se demostrará que T tiene cota superior, es decir, hay un ideal I ⊆ R que contiene a todos los miembros de T, pero que no es igual a R (de lo contrario no estaría en P). Sea I la unión de todos los ideales en T. Esta es también un ideal: para cualquier a, b ∈ I, existen J, K ∈ T tales que a ∈ J y b ∈ K. Como T está totalmente ordenado, K ⊆ J o J ⊆ K. En el primer caso, b ∈ J y por lo tanto, como J es un ideal, a + b, ar, ra ∈ J ⊆ I para cualquier r ∈ R. En el segundo caso se razona de manera similar.
Para demostrar que I es distinto de R, basta con observar que un ideal es igual a R si y sólo si incluye a 1. Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1; recíprocamente, si incluye a 1 debe incluir a 1r = r para cualquier r ∈ R, y por lo tanto debe contener a R. Ahora bien, si I = R debería incluir a 1, con lo que habría un J ∈ T tal que 1 ∈ J, y por lo tanto J = R, contradiciendo la definición de P, que no lo incluía.
Se demostró que T tiene una cota superior en P. Aplicando el lema de Zorn, se tiene que P debe tener un elemento maximal, y por lo tanto, R tiene un ideal maximal.
Es de notar que la demostración depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1. De lo contrario, no sólo la prueba fallaría, el mismo enunciado del teorema sería falso.
lema, zorn, este, artículo, sección, necesita, referencias, aparezcan, publicación, acreditada, este, aviso, puesto, enero, 2016, lema, zorn, también, llamado, kuratowski, zorn, proposición, teoría, conjuntos, afirma, siguiente, todo, conjunto, parcialmente, o. Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Este aviso fue puesto el 2 de enero de 2016 El lema de Zorn tambien llamado de Kuratowski Zorn es una proposicion de la teoria de conjuntos que afirma lo siguiente Todo conjunto parcialmente ordenado no vacio en el que toda cadena subconjunto totalmente ordenado tiene una cota superior contiene al menos un elemento maximal Debe su nombre al matematico Max Zorn Los terminos se definen como sigue Supongase que P es un conjunto parcialmente ordenado Un subconjunto T de P es totalmente ordenado si para cualquier s t T se tiene s t o t s Tal conjunto T tiene una cota superior u P si t u para cualquier t T no se necesita que u sea miembro de T Un elemento m P es maximal si el unico x P tal que m x es m mismo Al igual que el teorema del buen orden el lema de Zorn es equivalente al axioma de eleccion en el sentido de que cualquiera de ellos junto con los axiomas de Zermelo Fraenkel basta para probar los otros Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes tales como el teorema de Hahn Banach en analisis funcional el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base el teorema de Tychonoff en topologia y los teoremas en algebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica Ejemplo EditarSe considerara una aplicacion usual del lema de Zorn la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo que no es vacio pues incluye al menos al ideal trivial 0 de R Este conjunto esta parcialmente ordenado por inclusion Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P se demostrara que T tiene cota superior es decir hay un ideal I R que contiene a todos los miembros de T pero que no es igual a R de lo contrario no estaria en P Sea I la union de todos los ideales en T Esta es tambien un ideal para cualquier a b I existen J K T tales que a J y b K Como T esta totalmente ordenado K J o J K En el primer caso b J y por lo tanto como J es un ideal a b ar ra J I para cualquier r R En el segundo caso se razona de manera similar Para demostrar que I es distinto de R basta con observar que un ideal es igual a R si y solo si incluye a 1 Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1 reciprocamente si incluye a 1 debe incluir a 1r r para cualquier r R y por lo tanto debe contener a R Ahora bien si I R deberia incluir a 1 con lo que habria un J T tal que 1 J y por lo tanto J R contradiciendo la definicion de P que no lo incluia Se demostro que T tiene una cota superior en P Aplicando el lema de Zorn se tiene que P debe tener un elemento maximal y por lo tanto R tiene un ideal maximal Es de notar que la demostracion depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1 De lo contrario no solo la prueba fallaria el mismo enunciado del teorema seria falso Vease tambien EditarAxiomas de Zermelo Fraenkel Axioma de eleccion Axiomas de Von Neumann Bernays Godel Principio maximal de Hausdorff Teoria axiomatica de conjuntos Max Zorn Datos Q290810 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Lema de Zorn amp oldid 133327732, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
