Ecuación de primer grado

Una ecuación entera de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En la enseñanza secundaria se abordan con mucho énfasis las de una y dos variables.

Ecuación de primer grado con una incógnita

Este tipo de ecuaciones están incorporados en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) para abordar en los primeros años de la Educación Secundaria para saber usar estrategias algebraicas para encontrar soluciones.^[1]​

Ecuación de primer grado y una variable ${\displaystyle ax+b=0\;,\quad a\neq 0}$

Una ecuación de una variable ${\displaystyle mx+n=0}$  definida sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ , es decir, con ${\displaystyle \{m,n,x\}\subset \mathbb {K} ,m\neq 0}$  donde x es la variable, admite la siguiente solución:

 

Ejemplo: ecuación de una variable

${\displaystyle x=-{\frac {n}{m}}}$ 

La solución de una ecuación lineal de una variable, se puede representar en una gráfica con 420,69 recta paralela al eje vertical

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n, si el anillo es un dominio de integridad:

${\displaystyle \exists k:n=m\cdot k\Rightarrow x=-k}$ 

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

 

Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.

La incorporación de dos variables a las ecuaciones lineales produce que se puedan interpretar relaciones matemáticas entre ellas. La educación secundaria aborda este concepto a través de la modelización matemática de situaciones problemáticas. ^[2]​

Una de las formas algebraicas más utilizada en las ecuaciones lineales de dos variables es :

${\displaystyle y=mx+n}$ ;

También se conoce como forma explícita.

Donde ${\displaystyle m}$  representa la pendiente y el valor de ${\displaystyle n}$  determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

En el sistema cartesiano las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan rectas.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser los siguientes:

${\displaystyle 3x+2y=5}$ 

${\displaystyle 3x+y-5=-7x+4y+3}$ 

Algunos necesitan de la utilización de técnicas algebraicas para representarlas como la forma explícita de las rectas. ^[3]​

Formas alternativas

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

• Ecuación general

${\displaystyle Ax+By+C=0}$ 

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x y y se anulan.

• Ecuación segmentaria o simétrica
   

  Ejemplo de forma segmentaria:x/2 + y/3 = 1

${\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1}$ 

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

• Forma paramétrica

1. ${\displaystyle x=Ut+x_{0}}$ 
2. ${\displaystyle y=Vt+y_{0}}$ 

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  y forma con el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface: ${\displaystyle \tan \alpha =V/U}$ 

• Casos especiales:

${\displaystyle y=F}$  Un caso especial es la forma estándar donde ${\displaystyle A=0}$  y ${\displaystyle B=1}$  . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X o (si F = 0) coincidente con ese eje

${\displaystyle x=E}$ 

Otro caso especial de la forma general donde ${\displaystyle A=1}$  y ${\displaystyle B=0}$ . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

${\displaystyle 0=0}$ 

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: ${\displaystyle 3x+2=3x}$ .

Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultáneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones.

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las ecuaciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas, cuando los coeficientes de la ecuación pertenecen a un cuerpo. Así una función lineal de dos variables de la forma siguiente

${\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$ 

representa una recta en un plano. En varias variables asumiendo que tanto las variables ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {K} }$  y los coeficientes ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }$ , donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$  es un cuerpo entonces una ecuación lineal como la siguiente:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}}$ 

representa un hiperplano de n-1 dimensiones en el espacio vectorial n-dimensional ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ .

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrcr}5\,x&-3\,y&+4\,z&=&8\\-3\,x&+2\,y&+6\,z&=&5\\4\,x&-5\,y&+3\,z&=&3\end{array}}\right.}$ 

Si se consideran n ecuaciones de primer grado linealmente independientes definidas sobre un cuerpo entonces existe solución única para el sistema si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada mediante la regla de Cramer que es aplicable a cualquier cuerpo. Si las ecuaciones no son linealmente independientes o no se dan las condiciones del teorema la situación es más complicada. Si el sistema se plantea sobre un anillo conmutativo que no sea un cuerpo, la existencia de soluciones es también más complejas.

Linealidad

Artículo principal: Aplicación lineal

Una función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ 

${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$ 

Donde α es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal.

Véase también

• Función lineal

• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado
• Ecuación de sexto grado
• Ecuación de séptimo grado
• Ecuación de octavo grado

Bibliografía

Weisstein, Eric W. «Ecuación lineal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

1- NAP Matemática, Ciclo Básico

2-Una aproximación a la ecuación lineal

3- Ejemplos de soluciones de ecuaciones lineales de dos variables

Referencias

1. devteam, educ ar. «NAP Matemática, Educación Secundaria, Ciclo Básico». www.educ.ar. Consultado el 19 de agosto de 2020. 
2. «Una aproximación a la noción de ecuación lineal». 
3. «Ecuaciones lineales con dos incógnitas». 

•   Datos: Q484637
•   Multimedia: Linear equations