Serie de potencias

En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\ldots }$

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$ son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots .}$

Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.

Convergencia de series de potencias^[1]​

Sea :${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$  serie de potencias, obtenemos su representación como una serie de potencias convergente estableciendo el Teorema de Taylor, el cual nos dice que si ${\displaystyle f}$  es analítica en un disco abierto centrado en ${\displaystyle z_{0}}$  entonces la serie de Taylor de ${\displaystyle f}$  , ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(f^{n})(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n};}$  converge en el disco y es igual a ${\displaystyle f(z)}$  en todo ese disco.

Teorema de convergencia de series de potencias

Sea:${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$  una serie de potencias. Existe un único número ${\displaystyle R\geq 0}$ , quizá mayor a infinito ${\displaystyle \infty }$ ; llamado el radio de convergencia, tal que si ${\displaystyle \left|z-z_{0}\right|<R}$  , la serie converge y si ${\displaystyle \left|z-z_{0}\right|>R}$ , la serie diverge. Específicamente la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en ${\displaystyle A=\{{z\in C:\left|z-z_{o}\right|<R}\}}$ . No podemos generalizar la convergencia si ${\displaystyle \left|z-z_{0}\right|=R}$ .

Demostración:

Siendo ${\displaystyle R=sup\{r\geq 0\mid \sum _{n=0}^{\infty }\mid a_{n}\mid r^{n}converge\}}$ , donde sup es la cota superior más chica de ese conjunto de números reales.

Para continuar con la demostración auxiliándonos del Lema de Abel-Weierstrass donde suponiendo que ${\displaystyle r_{0}\geq 0}$  y que ${\displaystyle \mid a_{n}\mid r_{0}^{n}\leq M}$  para toda n, donde M es una constante. Para ${\displaystyle r<r_{0},\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$  converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado ${\displaystyle A_{r}=\{z:\mid z-z_{0}\mid \leq r\}}$ . Su demostración menciona lo siguiente: para ${\displaystyle z\in A_{r}}$  tenemos, ${\displaystyle |a_{n}(z-z_{0})^{n}|\leq |a_{n}|r^{n}\leq M({\frac {r}{r_{0}}})^{n}}$ . Sea ${\displaystyle M_{n}=M({\frac {r}{r_{0}}})^{n}}$  ya que ${\displaystyle r/r_{0}<1,\sum M_{n}}$  converge. Gracias al criterio de M de Weierstrass la serie converge uniforme y absolutamente en ${\displaystyle A_{r}}$ .

Primera parte del teorema de convergencia de series de potencias, demostración.

Sea ${\displaystyle r_{0}<R}$ . Por la definición de R, existe una ${\displaystyle r_{1}}$  con ${\displaystyle r_{0}<r_{1}\leq R}$  tal que ${\displaystyle \sum |a_{n}|r_{1}^{n}}$  converge. Por lo tanto,${\displaystyle \sum |a_{n}|r_{1}^{n}}$  converge, gracias al criterio de comparación. Los términos ${\displaystyle |a_{n}|r_{0}^{n}}$  están acotados (a cero) y, por tanto, por el lema

de Abel-Weierstrass, la serie converge uniforme y absolutamente en ${\displaystyle A_{r}}$  para cualquier ${\displaystyle r<r_{0}}$ . Puesto que cualquier ${\displaystyle z}$  con${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$  está en alguna ${\displaystyle A_{r}}$  y viendo que

siempre podemos escoger ${\displaystyle r_{0}}$  tal que ${\displaystyle r<r_{0}\leq R}$ , tenemos la convergencia en ${\displaystyle z}$ .

Supongamos ahora que ${\displaystyle |z_{1}-z_{0}|>R}$  y ${\displaystyle \sum a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}}$  converge. Deduciendo una contradicción. Los términos ${\displaystyle a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}}$ están acotados en valor absoluto porque se aproximan al O. Así, por el lema de Abel-Weierstrass, si ${\displaystyle R<r<|z_{1}-z_{0}|}$ , entonces ${\displaystyle a_{n}(z_{1}-z_{0})^{n}}$  converge absolutamente si${\displaystyle z_{1}\in A_{r}}$ . Por lo tanto. ${\displaystyle \sum |a_{n}|r^{n}}$ converge. Esto significa, por la definición de ${\displaystyle R}$ , que ${\displaystyle R<R}$ .

Hemos demostrado que la convergencia es uniforme y absoluta en cada disco cerrado ${\displaystyle A_{r}}$  estrictamente menor y, por tanto, en cualquier disco cerrado en A.

Ejemplos

 

La función exponencial (en azul), y la suma de sus primeros n+1 términos de su serie de Maclaurin (en rojo).

La serie geométrica

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}},}$ 

es una serie de potencias, absolutamente convergente si ${\displaystyle |x|<1}$  y divergente si ${\displaystyle |x|>1}$  o ${\displaystyle |x|=1}$  y es uno de los ejemplos más importantes de este tipo de series, como también lo son la fórmula de la función exponencial

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$ 

y la fórmula del seno

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$ 

válidas para todos los reales x. Estas series de potencias son ejemplos de series de Taylor.

Véase también

• Serie (matemáticas)
• Serie formal de potencias
• Serie de Laurent
• Convergencia
• Radio de convergencia
• Fórmula de Euler-Maclaurin
• Anexo:Series matemáticas

Referencias

1. «Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman-Análisis Básico de Variable Compleja-Trillas (1996)| Funciones trigonométricas | Número complejo». Scribd. Consultado el 26 de junio de 2022. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Power Series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q206925
•   Multimedia: Power series / Q206925