Espacio de probabilidad

En teoría de probabilidades, un espacio probabilístico o espacio de probabilidad es un concepto matemático que sirve para modelar un cierto experimento aleatorio.

El concepto de espacio de probabilidad fue introducido en la teoría de la probabilidad, por Andréi Kolmogórov en 1933.

Un espacio de probabilidad consta de tres elementos:^[1]​^[2]​

1. Un espacio muestral, ${\displaystyle \Omega }$, que es el conjunto de todos los posibles resultados.
2. Un espacio de sucesos, que es un conjunto de eventos ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, siendo un suceso un conjunto de resultados en el espacio muestral.
3. Una función de probabilidad, que asigna a cada evento en el espacio de eventos una probabilidad, que es un número entre 0 y 1.

Para proporcionar un modelo sensato de probabilidad, estos elementos deben satisfacer una serie de axiomas, detallados en este artículo.

En el ejemplo del lanzamiento de un dado estándar, tomaríamos el espacio muestral como ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$. Para el espacio de sucesos, podríamos utilizar simplemente el conjunto de todos los subconjuntos del espacio muestral, que contendría entonces sucesos simples como ${\displaystyle \{5\}}$ ("el dado cae en 5"), así como sucesos complejos como ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ ("el dado cae en un número par"). Por último, para la función de probabilidad, asignaríamos cada suceso al número de resultados de ese suceso dividido por 6 - así, por ejemplo, ${\displaystyle \{5\}}$ se asignaría a ${\displaystyle 1/6}$, y ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ se asignaría a ${\displaystyle 3/6=1/2}$.

Cuando se realiza un experimento, imaginamos que la "naturaleza" "selecciona" un único resultado, ${\displaystyle \omega }$, del espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$. Todos los eventos en el espacio de eventos ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ que contienen el resultado seleccionado ${\displaystyle \omega }$ se dice que "han ocurrido". Esta "selección" se produce de tal manera que si el experimento se repitiera muchas veces, el número de ocurrencias de cada suceso, como fracción del número total de experimentos, tendería muy probablemente hacia la probabilidad asignada a ese suceso por la función de probabilidad ${\displaystyle P}$.

El matemático ruso Andrey Kolmogorov introdujo la noción de espacio de probabilidad, junto con otros axiomas de probabilidad, en la década de 1930. En la teoría de la probabilidad moderna hay una serie de enfoques alternativos para la axiomatización - por ejemplo, el álgebra de variables aleatorias.

Introducción

 

Espacio de probabilidad para lanzar un dado dos veces seguidas: El espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$  consta de los 36 resultados posibles; se muestran tres sucesos diferentes (polígonos coloreados), con sus respectivas probabilidades (suponiendo una distribución uniforme discreta

Un espacio de probabilidad es un triplete matemático ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$  que presenta un modelo para una clase particular de situaciones del mundo real. Como ocurre con otros modelos, su autor define en última instancia qué elementos contendrán ${\displaystyle \Omega }$ , ${\displaystyle {\cal {F}}}$ , y ${\displaystyle P}$ .

• El espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$  es el conjunto de todos los resultados posibles. Un resultado es el resultado de una única ejecución del modelo. Los resultados pueden ser estados de la naturaleza, posibilidades, resultados experimentales y similares. Cada instancia de la situación del mundo real (o ejecución del experimento) debe producir exactamente un resultado. Si los resultados de diferentes ejecuciones de un experimento difieren de alguna manera importante, son resultados distintos. Qué diferencias son importantes depende del tipo de análisis que queramos hacer. Esto conduce a diferentes opciones de espacio muestral.
• El σ-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  es una colección de todos los eventoss que nos gustaría considerar. Esta colección puede o no incluir cada uno de los elemental. Aquí, un "suceso" es un conjunto de cero o más resultados; es decir, un subconjunto del espacio muestral. Se considera que un suceso ha "ocurrido" durante un experimento cuando el resultado de éste es un elemento del suceso. Dado que el mismo resultado puede ser miembro de muchos sucesos, es posible que hayan ocurrido muchos sucesos dado un único resultado. Por ejemplo, cuando el ensayo consiste en lanzar dos dados, el conjunto de todos los resultados con una suma de 7 pips puede constituir un suceso, mientras que los resultados con un número impar de pips pueden constituir otro suceso. Si el resultado es el elemento del suceso elemental de dos pepitas en el primer dado y cinco en el segundo, entonces se dice que ambos sucesos, "7 pepitas" y "número impar de pepitas", han ocurrido.
• La medida de probabilidad ${\displaystyle P}$  es una función de conjunto que devuelve la probabilidad de un suceso. Una probabilidad es un número real entre cero (los sucesos imposibles tienen probabilidad cero, aunque los sucesos con probabilidad cero no son necesariamente imposibles) y uno (el suceso ocurre casi con seguridad, con casi total certeza). Así, ${\displaystyle P}$  es una función ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1].}$  La función de medida de la probabilidad debe satisfacer dos simples requisitos: En primer lugar, la probabilidad de la unión de un contable de sucesos mutuamente excluyentes debe ser igual a la suma contable de las probabilidades de cada uno de estos sucesos. Por ejemplo, la probabilidad de la unión de los sucesos mutuamente excluyentes ${\displaystyle texto{cabeza}}$  y ${\displaystyle texto{cola}}$  en el experimento aleatorio de un lanzamiento de moneda, ${\displaystyle P({\text{Cabeza}}\cup {\text{Cola}})}$ , es la suma de la probabilidad para ${\displaystyle {\text{Cabeza}}}$  y la probabilidad para ${\displaystyle {\text{Cola}}}$ , ${\displaystyle P({\text{Cabeza}})+P({\text{Cola}})}$ . En segundo lugar, la probabilidad del espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$  debe ser igual a 1 (lo que da cuenta del hecho de que, dada una ejecución del modelo, algún resultado debe ocurrir). En el ejemplo anterior, la probabilidad del conjunto de resultados ${\displaystyle P({\text{Cabeza}},{\text{Cola}})}$  debe ser igual a uno, porque es totalmente seguro que el resultado será ${\displaystyle {\text{Cabeza}}}$  o ${\displaystyle {\text{Cola}}}$  (el modelo ignora cualquier otra posibilidad) en un solo lanzamiento de moneda.

No todos los subconjuntos del espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$  deben ser considerados necesariamente como un evento: algunos de los subconjuntos simplemente no son de interés, otros no pueden ser "medido". Esto no es tan evidente en un caso como el lanzamiento de una moneda. En un ejemplo diferente, se podrían considerar las longitudes de los lanzamientos de jabalina, donde los eventos son típicamente intervalos como "entre 60 y 65 metros" y uniones de tales intervalos, pero no conjuntos como los "números irracionales entre 60 y 65 metros".

Definición

Un espacio de probabilidad es la terna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$  donde el conjunto ${\displaystyle \Omega }$  es llamado espacio muestral y es el conjunto de los posibles resultados del experimento, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$  que satisface

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$ .
2. Si ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$  entonces ${\displaystyle A^{c}\in {\mathcal {F}}}$ .
3. Si ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$  entonces ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {F}}}$ .

Al par ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$  se le conoce como un espacio de medida. Por último, ${\displaystyle \operatorname {P} :{\mathcal {F}}\to [0,1]}$  es una función conocida como medida de probabilidad o función de probabilidad que asigna una probabilidad a todo suceso y que verifica los llamados axiomas de Kolmogorov:^[3]​

1. ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega )=1}$ .
2. ${\displaystyle \operatorname {P} (A)\geq 0}$ , ${\displaystyle \forall \;A\in {\mathcal {F}}}$ .
3. Si ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$  y ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$  para ${\displaystyle i\neq j}$  entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {P} [A_{i}]\\&=\operatorname {P} [A_{1}]+\operatorname {P} [A_{2}]+\cdots +\operatorname {P} [A_{n}]\end{aligned}}}$ 

Consecuencias

A partir de los axiomas se deduce lo siguiente

Sean ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$  entonces ${\displaystyle \operatorname {P} [A\cup B]=\operatorname {P} [A]+\operatorname {P} [B]-\operatorname {P} [A\cap B]}$ .

Además

${\displaystyle \operatorname {P} (\emptyset )=1-\operatorname {P} (\Omega )=0}$ 

Es decir que la probabilidad de que se presente el conjunto vacío ${\displaystyle \emptyset }$  es 0.

Y si ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$  entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\operatorname {P} [A_{i}]\end{aligned}}}$ 

Véase también

• Variable aleatoria
• Proceso estocástico

Referencias

1. Loève, Michel. Teoría de la probabilidad, Vol 1. New York: D. Van Nostrand Company, 1955.
2. Stroock, D. W. (1999). Teoría de la probabilidad: una visión analítica. Cambridge University Press.
3. «Axiomas de probabilidad» |url= incorrecta con autorreferencia (ayuda). Wikipedia, la enciclopedia libre. 12 de junio de 2021. Consultado el 27 de agosto de 2021. 

Bibliografía

• Dagum, Camilo y Estela M. Bee de Dagum(1971) Introducción a la Econometría: 76-77. México: Siglo XXI editores, séptima edición, 1980.
• Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1950) . New York: Chelsea Publishin Company, second english edition, 1956.
• Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1933) "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung"; Ergebnisse der Mathematik, Berlín. (en alemán)

•   Datos: Q623472