Espacio de medida

No debe confundirse con Espacio medible.

Un espacio de medida es un objeto básico de la teoría de la medida, una rama de las matemáticas que estudia las nociones generalizadas de volúmenes. Contiene un conjunto subyacente, los subconjuntos de este conjunto que son factibles de medir (el σ -álgebra) y el método que se utiliza para medir (la medida). Un ejemplo importante de un espacio de medida es un espacio de probabilidad.

Un espacio medible consta de los dos primeros componentes sin una medida específica.

Definición

Un espacio de medida es un triple ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$  donde^[1]​^[2]​

• ${\displaystyle X}$  es un conjunto
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  es un σ-álgebra en el conjunto ${\displaystyle X}$ 
• ${\displaystyle \mu }$  es una medida en ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ 

Ejemplo

Conjunto ${\displaystyle X=\{0,1\}}$  . los ${\textstyle \sigma }$  -álgebra en conjuntos finitos como el anterior suele ser el conjunto de potencias, que es el conjunto de todos los subconjuntos (de un conjunto dado) y se denota por ${\textstyle {\mathcal {P}}(\cdot )}$ . Siguiendo esta convención, establecemos

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$ 

En este caso simple, el conjunto de potencia se puede escribir explícitamente:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},X\}.}$ 

Como medida, defina ${\textstyle \mu }$  por

${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$ 

entonces ${\textstyle \mu (X)=1}$  (por aditividad de medidas) y ${\textstyle \mu (\emptyset )=0}$  (por definición de medidas).

Esto conduce al espacio de medida ${\textstyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu )}$ . Es un espacio de probabilidad, ya que ${\textstyle \mu (X)=1}$ . La medida ${\textstyle \mu }$  corresponde a la distribución de Bernoulli con ${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$ , que se utiliza, por ejemplo, para modelar un lanzamiento de moneda justo.

Clases importantes de espacios de medida

Las clases más importantes de espacios de medida se definen por las propiedades de sus medidas asociadas. Esto incluye

• Espacios de probabilidad, un espacio de medida donde la medida es una medida de probabilidad^[1]​
• Espacios de medida finita, donde la medida es una medida finita^[3]​
• ${\displaystyle \sigma }$  -espacios de medida finita, donde la medida es un ${\displaystyle \sigma }$  -medida finita

Otra clase de espacios de medida son los espacios de medida completos.^[4]​

Referencias

1. Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to empirical processes and semiparametric inference. Springer. p. 83. ISBN 978-0-387-74978-5. OCLC 233972325. 
2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
3. Hazewinkel, Michiel. (©1988-©1994). Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Reidel. ISBN 1-55608-010-7. OCLC 16755499. 
4. Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. p. 33. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 

•   Datos: Q3058212