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Espacio muestral

En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo (ver más adelante).

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio muestral es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de σ-álgebra,[1]​ llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cual se define la medida de probabilidad P.

Definición

Formalmente, un espacio muestral es una tripleta   donde   es el conjunto al que pertenecen los sucesos elementales. Por otro lado   es una colección de subconjuntos de   que forma una σ-álgebra de subconjuntos (los subconjuntos  , son los eventos aleatorios no elementales), y finalmente   es una medida de conjuntos que permite asignar probabilidades a los sucesos o eventos del espacio muestral.

Tipos de espacio muestral

Podemos diferenciar entre dos tipos principales de espacios muestrales, cada uno con subcategorías:

  • Espacios muestrales discretos o numerables, que a su vez se dividen en
  • Espacios muestrales continuos, que siempre son infinitos no numerables.

Discretos

Los espacios discretos son espacios numerables, en ellos el conjunto de sucesos elementales es finito o infinito numerable. En consecuencia, la probabilidad para cada uno de los eventos elementales se puede representar por un número real   con  . Estos números satisfacen la relación:

 

En un espacio muestral discreto suele tomarse como σ-álgebra el conjunto potencia de  , es decir, el conjunto de todas las partes (numerables) de  . Como medida de probabilidad puede adoptarse la medida:

 

donde   es una enumeración de los elementos de  .

Espacio probabilístico discreto equiprobable

  • Su espacio muestral es finito de tamaño n.
  • La probabilidad de cualquier suceso elemental E es
 

de aquí se deduce que para todo suceso A la probabilidad es

 

Espacio probabilístico finito

  • Su espacio muestral es discreto finito.
  • Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen. 

Procesos estocásticos finitos y diagramas de árbol

Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un número finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.

Por ejemplo, imaginemos que se lanza una moneda y un dado de seis caras. La probabilidad de obtener un resultado particular corresponde a la multiplicación de sus probabilidades. Es decir, la probabilidad de obtener «cara» y un tres será:

 

Ahora bien, la probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los distintos resultados aislados posibles. Así, la probabilidad de sacar siempre un resultado impar en los dados, independientemente del resultado de la moneda, será:

 

Espacio probabilístico infinito contable

Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable. Por ejemplo:

  • La probabilidad de que salga cara en la primera tirada ---->  
  • La probabilidad de que salga nuevamente cara en la segunda tirada ---->  
  • La probabilidad de que salga nuevamente cara en la tercera tirada ---->  

Continuos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable. Frecuentemente la σ-álgebra se toma como una σ-álgebra de Borel asociada a un conjunto de variables aleatorias, aunque existen otras posibilidades más complejas. Para variables aleatorias absolutamente continuas puede construirse medidas a partir de la función de distribución que en ese caso da una medida continua respecto a la medida de Lebesgue (de hecho la función de densidad de probabilidad resulta ser la derivada de Radon-Nikodym de la medida en cuestión respecto a la medida de Lebesgue.

Espacio probabilístico continuo

  • Espacio muestral infinito no numerable. Para medidas absolutamente continuas, no es posible observar puntos concretos del espacio, ya que todos los sucesos elementales tienen probabilidad nula.
  • Tiene sentido hablar de intervalos observados. - No es posible asignar probabilidad a un punto concreto, se asigna a intervalos.
  • Por tanto la función P está definida sobre intervalos ----->  

Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes físicas.

Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre   se define como un conjunto numerable:

  tal que:

  1.  
  2.  
  3.  

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 posibles espacios muestrales para modelar nuestra realidad:

  •    
  •  

La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

Referencias

  1. Liliana Blanco Castañeda (2010). Probabilidad. Universidad Nacional de Colombia. pp. 8-9. ISBN 9587014499. 

Bibliografía

  • P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada (1997): Teoría de la Probabilidad, Ed. Síntesis, ISBN 84-7738-516-5.
  • Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, México.
  • Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
  • Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2.
  •   Datos: Q467440
  •   Multimedia: Sample space

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En la teoria de probabilidades el espacio muestral o espacio de muestreo denotado E S W o U consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio junto con una estructura sobre el mismo ver mas adelante Por ejemplo si el experimento consiste en lanzar dos monedas el espacio muestral es el conjunto cara cara cara cruz cruz cara y cruz cruz Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de s algebra 1 llamandose a los sucesos que contengan un unico elemento sucesos elementales En el ejemplo el suceso sacar cara en el primer lanzamiento o cara cara cara cruz estaria formado por los sucesos elementales cara cara y cara cruz Para algunos tipos de experimento puede haber dos o mas espacios de muestreo posibles Por ejemplo cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas una posibilidad del espacio de muestreo podria ser el numero del as al rey mientras que otra posibilidad seria el palo diamantes treboles corazones y picas Una descripcion completa de los resultados sin embargo especificaria ambos valores numero y palo y se podria construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximacion elemental a la probabilidad pero son tambien importantes en espacios de probabilidad Un espacio de probabilidad W F P incorpora un espacio de muestreo de resultados W pero define un conjunto de sucesos de interes la s algebra F por la cual se define la medida de probabilidad P Indice 1 Definicion 2 Tipos de espacio muestral 2 1 Discretos 2 1 1 Espacio probabilistico discreto equiprobable 2 1 2 Espacio probabilistico finito 2 1 3 Procesos estocasticos finitos y diagramas de arbol 2 1 4 Espacio probabilistico infinito contable 2 2 Continuos 2 2 1 Espacio probabilistico continuo 2 2 2 Particiones 2 2 3 Ejemplos 3 Referencias 3 1 BibliografiaDefinicion EditarFormalmente un espacio muestral es una tripleta W A m displaystyle Omega mathcal A mu donde W displaystyle Omega es el conjunto al que pertenecen los sucesos elementales Por otro lado A P W displaystyle mathcal A subset mathcal P Omega es una coleccion de subconjuntos de W displaystyle Omega que forma una s algebra de subconjuntos los subconjuntos S A displaystyle S in mathcal A son los eventos aleatorios no elementales y finalmente m displaystyle mu es una medida de conjuntos que permite asignar probabilidades a los sucesos o eventos del espacio muestral Tipos de espacio muestral EditarPodemos diferenciar entre dos tipos principales de espacios muestrales cada uno con subcategorias Espacios muestrales discretos o numerables que a su vez se dividen en Espacios muestrales finitos Espacios muestrales infinitos numerables Espacios muestrales continuos que siempre son infinitos no numerables Discretos Editar Los espacios discretos son espacios numerables en ellos el conjunto de sucesos elementales es finito o infinito numerable En consecuencia la probabilidad para cada uno de los eventos elementales se puede representar por un numero real p k displaystyle p k con k N displaystyle k in mathbb N Estos numeros satisfacen la relacion k p k 1 displaystyle sum k p k 1 En un espacio muestral discreto suele tomarse como s algebra el conjunto potencia de W displaystyle Omega es decir el conjunto de todas las partes numerables de W displaystyle Omega Como medida de probabilidad puede adoptarse la medida m S w j S p j displaystyle mu S sum omega j in S p j donde w 1 w 2 displaystyle omega 1 omega 2 dots es una enumeracion de los elementos de W displaystyle Omega Espacio probabilistico discreto equiprobable Editar Su espacio muestral es finito de tamano n La probabilidad de cualquier suceso elemental E esP E 1 n displaystyle P E 1 over n dd de aqui se deduce que para todo suceso A la probabilidad es P A n A n displaystyle P A n A over n dd Espacio probabilistico finito Editar Su espacio muestral es discreto finito Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen P A P B displaystyle P A neq P B Procesos estocasticos finitos y diagramas de arbol Editar Un proceso estocastico es una sucesion finita de experimentos aleatorios cada uno de ellos con un numero finito de resultados posibles Se representan con diagrama de arbol Por ejemplo imaginemos que se lanza una moneda y un dado de seis caras La probabilidad de obtener un resultado particular corresponde a la multiplicacion de sus probabilidades Es decir la probabilidad de obtener cara y un tres sera P c P 3 1 2 1 6 1 12 displaystyle P c cdot P 3 1 over 2 cdot 1 over 6 1 over 12 Ahora bien la probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los distintos resultados aislados posibles Asi la probabilidad de sacar siempre un resultado impar en los dados independientemente del resultado de la moneda sera P I 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 displaystyle P I 1 over 2 cdot 1 over 6 1 over 2 cdot 1 over 6 1 over 2 cdot 1 over 6 1 over 2 cdot 1 over 6 1 over 2 cdot 1 over 6 1 over 2 cdot 1 over 6 Espacio probabilistico infinito contable Editar Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable Por ejemplo La probabilidad de que salga cara en la primera tirada gt 1 2 displaystyle 1 over 2 La probabilidad de que salga nuevamente cara en la segunda tirada gt 1 2 1 2 1 4 displaystyle 1 over 2 cdot 1 over 2 1 over 4 La probabilidad de que salga nuevamente cara en la tercera tirada gt 1 2 1 2 1 2 1 8 displaystyle 1 over 2 cdot 1 over 2 cdot 1 over 2 1 over 8 Continuos Editar Son aquellos espacios donde el numero de sucesos elementales es infinito incontable Frecuentemente la s algebra se toma como una s algebra de Borel asociada a un conjunto de variables aleatorias aunque existen otras posibilidades mas complejas Para variables aleatorias absolutamente continuas puede construirse medidas a partir de la funcion de distribucion que en ese caso da una medida continua respecto a la medida de Lebesgue de hecho la funcion de densidad de probabilidad resulta ser la derivada de Radon Nikodym de la medida en cuestion respecto a la medida de Lebesgue Espacio probabilistico continuo Editar Espacio muestral infinito no numerable Para medidas absolutamente continuas no es posible observar puntos concretos del espacio ya que todos los sucesos elementales tienen probabilidad nula Tiene sentido hablar de intervalos observados No es posible asignar probabilidad a un punto concreto se asigna a intervalos Por tanto la funcion P esta definida sobre intervalos gt P K i lt exp gt K e displaystyle mathbb P K i lt exp gt K e Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes fisicas Particiones Editar Es posible definir particiones sobre el espacio muestral Formalmente hablando una particion sobre W displaystyle Omega se define como un conjunto numerable A i i N displaystyle A i i in mathbb N tal que A 1 A 2 A n W displaystyle A 1 cup A 2 cup cup A n Omega A i A j i j i j 1 n displaystyle A i cap A j emptyset forall i neq j i j 1 n P A i gt 0 i 1 n displaystyle P A i gt 0 forall i 1 n Ejemplos Editar Por ejemplo en el caso del experimento aleatorio lanzar un dado el espacio muestral del experimento seria W 1 2 3 4 5 6 Por otro lado si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el numero resultante de la suma de 2 dados entonces tenemos 2 posibles espacios muestrales para modelar nuestra realidad W 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 6 6 1 2 3 4 5 6 displaystyle Omega 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 dots 6 6 1 2 3 4 5 6 displaystyle times 1 2 3 4 5 6 displaystyle 1 2 3 4 5 6 W 2 3 4 12 displaystyle Omega 2 3 4 dots 12 La eleccion del espacio muestral es un factor determinante para realizar el calculo de la probabilidad de un suceso Referencias Editar Liliana Blanco Castaneda 2010 Probabilidad Universidad Nacional de Colombia pp 8 9 ISBN 9587014499 Bibliografia Editar P Ibarrola L Pardo y V Quesada 1997 Teoria de la Probabilidad Ed Sintesis ISBN 84 7738 516 5 Spiegel Murray 1970 Estadistica McGraw Hill Mexico Olav Kallenberg Probabilistic Symmetries and Invariance Principles Springer Verlag New York 2005 510 pp ISBN 0 387 25115 4 Kallenberg O Foundations of Modern Probability 2nd ed Springer Series in Statistics 2002 650 pp ISBN 0 387 95313 2 Datos Q467440 Multimedia Sample space Obtenido de https es wikipedia org w index php title Espacio muestral amp oldid 138434865, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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