Distribución F

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución F, también conocida como distribución de Fisher-Snedecor (nombrada por Ronald Fisher y George Snedecor), es una distribución de probabilidad continua, aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Fisher-Snedecor
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle m,n>0}$ grados de libertad
Dominio	${\displaystyle x\in [0,\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(mx)^{m}n^{n}}{(mx+n)^{m+n}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle I_{\frac {mx}{mx+n}}(m/2,n/2)\!}$
Media	${\displaystyle {\frac {n}{n-2}}\!}$ para ${\displaystyle n>2}$
Moda	${\displaystyle {\frac {m-2}{m}}\;{\frac {n}{n+2}}\!}$ para ${\displaystyle m>2}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {2\,n^{2}\,(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}\!}$ para ${\displaystyle n>4}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {(2m+n-2){\sqrt {8(n-4)}}}{(n-6){\sqrt {m(m+n-2)}}}}\!}$ para ${\displaystyle n>6}$
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Definición

Sea ${\displaystyle X}$  una variable aleatoria continua y sean ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ , se dice que la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  tiene una distribución ${\displaystyle F}$  con ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n}$  grados de libertad y escribimos ${\displaystyle X\sim F_{m,n}}$  si su función de densidad está dada por

${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {m+n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}{\frac {x^{\frac {m-2}{2}}}{\left(1+{\frac {mx}{n}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}}}$ 

para ${\displaystyle x>0}$ .

La expresión anterior también suele escribirse como

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\operatorname {B} \left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {(mx)^{m}n^{n}}{(mx+n)^{m+n}}}}}$ 

donde ${\displaystyle \operatorname {B} }$  es la función beta.

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim F_{m,n}}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades:

Media

La media de ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {n}{n-2}}}$ 

para ${\displaystyle n>2}$ .

Varianza

La varianza de ${\displaystyle X}$  está dada por

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}$ 

para ${\displaystyle n>4}$ .

Teorema

Sean ${\displaystyle U}$  y ${\displaystyle V}$  variables aleatorias independientes tales que ${\displaystyle U\sim \chi _{m}^{2}}$  y ${\displaystyle V\sim \chi _{n}^{2}}$ , esto es ${\displaystyle U}$  y ${\displaystyle V}$  siguen una distribución chi-cuadrado con ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n}$  grados de libertad respectivamente entonces la variable aleatoria

${\displaystyle {\frac {U/m}{V/n}}\sim F_{m,n}}$ 

donde ${\displaystyle F_{m,n}}$  denota la distribución ${\displaystyle F}$  con ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n}$  grados de libertad.

Demostración

Utilizaremos el teorema del cambio de variable, definimos

${\displaystyle X:={\frac {U/m}{V/n}}\qquad {\mbox{y}}\qquad Y:=V}$ 

La función de densidad conjunta de ${\displaystyle U}$  y ${\displaystyle V}$  está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{U,V}(u,v)&=f_{U}(u)f_{V}(v)\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{m/2}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)}}u^{{\frac {m}{2}}-1}e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {v}{2}}}\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}u^{{\frac {m}{2}}-1}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {u+v}{2}}}\end{aligned}}}$ 

como ${\textstyle U={\frac {m}{n}}XY}$  y ${\displaystyle V=Y}$  entonces el Jacobiano de la transformación está dado por

${\displaystyle J=\left|{\begin{matrix}{\frac {m}{n}}y&{\frac {m}{n}}x\\0&1\end{matrix}}\right|={\frac {m}{n}}y}$ 

La función de densidad conjunta de ${\displaystyle (X,Y)}$  está determinada por

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X,Y}(x,y)&={\frac {m}{n}}y\,{\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}xy\right)^{{\frac {m}{2}}-1}y^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)y}\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}y^{{\frac {m+n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)y}\end{aligned}}}$ 

y como la densidad marginal de ${\displaystyle X}$  está dada por

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)dy}$ 

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}\int _{0}^{\infty }y^{{\frac {m+n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)y}dy\\&={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {m+n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}{\frac {\Gamma \left({\frac {m+n}{2}}\right)}{\left[{\frac {1}{2}}({\frac {m}{n}}x+1)\right]^{\frac {m+n}{2}}}}\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {m+n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}{\frac {x^{\frac {m-2}{2}}}{\left({\frac {m}{n}}x+1\right)^{\frac {m+n}{2}}}}\\\end{aligned}}}$ 

que corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución ${\displaystyle F}$ , por lo tanto

${\displaystyle {\frac {U/m}{V/n}}\sim F_{m,n}}$ 

A partir de una muestra con distribución normal

Sean ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{m+1}}$  una muestra aleatoria de la distribución ${\displaystyle N(\mu _{x},\sigma _{x}^{2})}$  y ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n+1}}$  una muestra aleatoria de la distribución ${\displaystyle N(\mu _{y},\sigma _{y}^{2})}$  donde ambas muestras son independientes entre sí, se tiene que

${\displaystyle {\bar {X}}=\sum _{i=1}^{m+1}{\frac {X_{i}}{m+1}}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\bar {Y}}=\sum _{j=1}^{n+1}{\frac {Y_{j}}{n+1}}}$ 

${\displaystyle S_{X}^{2}=\sum _{i=1}^{m+1}{\frac {\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{m}}\qquad {\mbox{y}}\qquad S_{Y}^{2}=\sum _{j=1}^{n+1}{\frac {\left(Y_{i}-{\bar {Y}}\right)^{2}}{n}}}$ 

entonces

${\displaystyle {\frac {mS_{X}^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}\sim \chi _{m}^{2}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\frac {nS_{Y}^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}\sim \chi _{n}^{2}}$ 

y por el teorema anterior

${\displaystyle {\frac {S_{X}^{2}/\sigma _{X}^{2}}{S_{Y}^{2}/\sigma _{Y}^{2}}}\sim F_{m,n}}$ 

Distribuciones Relacionadas

• Si ${\displaystyle X\sim F_{m,n}}$  entonces ${\displaystyle Y=\lim _{m\to \infty }nX}$  tiene una distribución chi cuadrada ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \chi _{m}^{2}}$  y ${\displaystyle Y\sim \chi _{n}^{2}}$  son independientes entonces ${\displaystyle {\frac {X/m}{Y/n}}\sim F_{m,n}}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\beta }{2}}\right)}$  entonces ${\displaystyle {\frac {\beta X}{\alpha (1-X)}}\sim F_{\alpha ,\beta }}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim F_{m,n}}$  entonces ${\displaystyle X^{-1}\sim F_{n,m}}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})}$  y ${\displaystyle Y\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})}$  son independientes entonces ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X}{\alpha _{1}\beta _{2}Y}}\sim F_{2\alpha _{1},2\alpha _{2}}}$ .

Enlaces externos

• Tablas de la distribución F de Fisher-Snedecor
• Distribution Calculator Calcula las probabilidades y valores críticos para las distribuciones normal, t, ji-cuadrada y F
• Calcular la probabilidad de una distribución F-Snedecor con R (lenguaje de programación)

•   Datos: Q177144