Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si ${\displaystyle S_{n}}$ es la suma de ${\displaystyle n}$ variables aleatorias independientes, con media conocida y varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de ${\displaystyle S_{n}}$ «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.^[1]​^[2]​

El nombre viene de un documento científico escrito por George Pólya en 1920, titulado Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem^[3]​ [Sobre el «teorema del límite» (Grenzwertsatz) central del cálculo probabilístico y el problema de los momentos], por lo que la denominación más fiel a la original sería teorema del límite central.

Introducción

Sabemos que si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$  entonces su función de densidad está dada por

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ 

para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  donde ${\displaystyle \mu }$  denota la media y ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  la varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ . En particular cuando ${\displaystyle \mu =0}$  y ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$  obtenemos

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}}$ 

es decir, la distribución normal estándar, denotada por ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$ .

Se define la variable aleatoria ${\displaystyle S_{n}}$  como la suma de ${\displaystyle n}$  variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con una media ${\displaystyle \mu }$  y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}<\infty }$ , es decir

${\displaystyle S_{n}:=X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ 

donde ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]=\mu }$  y ${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}}$ . Con lo anterior, la media de ${\displaystyle S_{n}}$  es ${\displaystyle n\mu }$  y la varianza es ${\displaystyle n\sigma ^{2}}$  pues son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de ${\displaystyle S_{n}}$  como

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}$ 

para que la media de la nueva variable sea igual a ${\displaystyle 0}$  y la desviación estándar sea igual a ${\displaystyle 1}$ . Así, la variable ${\displaystyle Z_{n}}$  convergerán en distribución a la distribución normal estándar ${\displaystyle N(0,1)}$  cuando ${\displaystyle n}$  tienda a infinito. Como consecuencia, si ${\displaystyle \Phi (z)}$  es la función de distribución de ${\displaystyle N(0,1)}$  para cada número real ${\displaystyle z}$  entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left(Z_{n}\leq z\right)=\Phi (z)=\int _{-\infty }^{z}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx}$ 

donde ${\displaystyle \operatorname {P} }$  indica probabilidad y ${\displaystyle \lim }$  se refiere a límite matemático.

Teorema

De manera formal y compacta el teorema enuncia^[4]​

Sean ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]=\mu }$  y ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}<\infty }$ , se define

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}$ 

Entonces la función de distribución de ${\displaystyle Z_{n}}$  converge hacia la función de distribución normal estándar cuando ${\displaystyle n\to \infty }$ , es decir,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left(Z_{n}\leq z\right)=\Phi (z)=\int _{-\infty }^{z}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx}$ 

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada ${\displaystyle Z_{n}}$  en función de la media muestral ${\displaystyle {\overline {X}}}$ , es decir

${\displaystyle Z_{n}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$ 

puesto que son equivalentes (sólo se divide tanto numerador como denominador entre ${\displaystyle n}$ ).

Es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de la variable aleatoria ${\displaystyle {X_{i}}}$ , excepto la existencia de media y varianza.^[5]​

Propiedades

• El teorema del límite central garantiza una distribución aproximadamente normal cuando ${\displaystyle n}$  es suficientemente grande.

• Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

• La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

• Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

Varianza nula o infinita

En el caso de ${\displaystyle n}$  variables aleatorias ${\displaystyle X_{i}}$  independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con varianza nula o infinita, la distribución de las variables

${\displaystyle S_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}$ 

no convergen en distribución hacia una normal.

A continuación se presentan los dos casos por separado.

Varianza infinita

Considérese el caso de variables que siguen una distribución de Cauchy:

${\displaystyle F_{X_{i}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan x}$ 

En este caso puede demostrarse que la distribución asintótica de ${\displaystyle S_{n}}$  viene dada por otra distribución de Cauchy:

${\displaystyle F_{S_{n}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{n}}}$ 

Para otras distribuciones de varianza infinita no es fácil dar una expresión cerrada para su distribución de probabilidad aunque su función característica sí tiene una forma sencilla, dada por el teorema de Lévy-Khintchine:^[6]​

${\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\exp \left[ist-c|t|^{\alpha }\left(1+i\gamma \ {\frac {t}{|t|}}u(t,\alpha )\right)\right]}$ 

donde ${\displaystyle c\geq 0,-1\geq \gamma \geq 1,0<\alpha \geq 2}$  y:

${\displaystyle u(t,\alpha )={\begin{cases}\tan {\cfrac {\pi \alpha }{2}}&\alpha \neq 1\\{\cfrac {2}{\pi }}\ln |t|&\alpha =1\end{cases}}}$ 

Las condiciones anteriores equivalen a que una distribución de probabilidad sea una distribución estable.

Varianza nula

Este caso corresponde trivialmente a una función degenerada tipo delta de Dirac cuya función de distribución viene dada por:

${\displaystyle F_{X_{i}}(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s-x_{0})\ ds={\begin{cases}0&x<x_{0}\\1&x\geq x_{0}\end{cases}}}$ 

En este caso resulta que la variable ${\displaystyle S_{n}}$  trivialmente tiene la misma distribución que cada una de las variables independientes.

Véase también

• Ley de los grandes números
• Distribución normal
• Teorema de De Moivre-Laplace

Referencias

1. Filmus, Yuval (enero a febrero de 2010). Two Proofs of the Central Limit Theorem (en inglés). pp. 1-3. Consultado el 13 de diciembre de 2010. 
2. Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie (1997). «9. Central Limit Theorem». Introduction to Probability (PDF) (en inglés) (2 edición). AMS Bookstore. pp. 325-360. ISBN 0821807498. Consultado el 15 de abril de 2009. 
3. «The central limit theorem around 1935». Statistical Science (en inglés) 1 (1). 1986. pp. 78-91. doi:10.2307/2245503. 
4. Charles Stanton. . Probability and Statistics Demos (en inglés). Archivado desde el original el 2 de junio de 2010. Consultado el 13 de diciembre de 2010. 
5. Wasserman, Larry (2004). «5. Convergence of Random Variables». All of Statistics (en inglés). Springer. p. 77. ISBN 0-387-40272-1. 
6. P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada: Teoría de la Probabilidad, p. 521-522

• Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de julio de 2004). «Teorema central del límite» (PDF). Consultado el 15 de diciembre de 2010. 
• Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004). 55 respuestas a dudas típicas de Estadística. Madrid: Ediciones Díaz de Santos, S.A. pp. 187-189. ISBN 84-7978-643-4. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teorema del límite central.

•   Datos: Q190391
•   Multimedia: Central limit theorem