Distribución t de Student

En probabilidad y estadística, la distribución ${\displaystyle t}$ (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida.

Distribución t de student
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \nu >0\!}$ grados de libertad (real)
Dominio	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ donde ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$ es la función hipergeométrica
Media	${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle \nu >1}$, indefinida para otros valores
Mediana	${\displaystyle 0}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}\!}$ para ${\displaystyle \nu >2}$, indefinida para otros valores
Coeficiente de simetría	${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle \nu >3}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}\!}$ para ${\displaystyle \nu >4}$
Entropía	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \psi }$: función digamma, ${\displaystyle B}$: función beta
Función generadora de momentos (mgf)	(No definida)
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Fue desarrollada por William Sealy Gosset bajo el pseudónimo “Student”.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Historia

La distribución de Student fue descrita en el año 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el pseudónimo de “Student”.^[1]​

Distribución ${\displaystyle t}$ de Student a partir de una muestra aleatoria

Sea ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$  variables aleatorias independientes distribuidas ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ , esto es, ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$  es una muestra aleatoria de tamaño ${\displaystyle n}$  proveniente de una población con distribución normal con media ${\displaystyle \mu }$  y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ .

Sean

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ 

la media muestral y

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}$ 

la varianza muestral. Entonces, la variable aleatoria

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$ 

sigue una distribución normal estándar (es decir, una distribución normal con media 0 y varianza 1) y la variable aleatoria

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$ 

donde ${\displaystyle S}$  ha sido sustituido por ${\displaystyle \sigma }$ , tiene una distribución ${\displaystyle t}$  de student con ${\displaystyle n-1}$  grados de libertad.

Definición

Notación

Sean ${\displaystyle X}$  una variable aleatoria continua y ${\displaystyle v>0}$ , si ${\displaystyle X}$  tiene una distribución ${\displaystyle t}$  con ${\displaystyle v}$  grados de libertad entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim t_{v}}$  o ${\displaystyle X\sim t(v)}$ .

Función de densidad

La distribución ${\displaystyle t}$ -student tiene como función de densidad

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {v+1}{2}}}}$ 

para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ , donde ${\displaystyle v}$  denota los grados de libertad y ${\displaystyle \Gamma }$  es la función gamma.

La expresión anterior también suele escribirse como

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{{\sqrt {v}}\;\operatorname {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {v}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {v+1}{2}}}}$ 

donde ${\displaystyle \operatorname {B} }$  es la función beta.

En particular, para valores enteros de ${\displaystyle v}$  se tiene que

para ${\displaystyle v>1}$  par

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}={\frac {(v-1)(v-3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {v}}(v-2)(v-4)\cdots 4\cdot 2}}}$ 

para ${\displaystyle v>1}$  impar

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}={\frac {(v-1)(v-3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {v}}(v-2)(v-4)\cdots 5\cdot 3}}}$ 

Función de distribución

La función de distribución puede ser escrita en términos de ${\displaystyle I}$ , la función beta incompleta.

Para ${\displaystyle x>0}$ 

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\frac {v}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ 

donde

${\displaystyle x(t)={\frac {v}{t^{2}+v}}}$ 

Una fórmula alternativa, válida para ${\displaystyle x^{2}<v}$  es

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(u)du={\frac {1}{2}}+x{\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi v}}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {v+1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{v}}\right)}$ 

donde ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$  es un caso particular de la función hipergeométrica.

Casos particulares

Ciertos valores de ${\displaystyle v}$  dan una forma especial a la función de densidad y de distribución.

• ${\displaystyle v=1}$ 

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$ 

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(x)}$ 

Véase Distribución de Cauchy.

• ${\displaystyle v=2}$ 

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {x^{2}}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$ 

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{2}}}}}}}$ 

• ${\displaystyle v=3}$ 

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {x^{2}}{3}}\right)^{2}}}}$ 

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {x}{{\sqrt {3}}\left(1+{\frac {x^{2}}{3}}\right)}}+\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {3}}}\right)\right]}$ 

• ${\displaystyle v=\infty }$ 

Función de densidad:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ 

Véase Distribución normal.

Función de distribución:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$ 

Véase Función error.

Propiedades

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim t_{v}}$  entonces ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades.

Media

La media de ${\displaystyle X}$  para valores ${\displaystyle v>1}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=0}$ 

Varianza

La varianza de ${\displaystyle X}$  para valores ${\displaystyle v>2}$  es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {v}{v-2}}}$ 

Curtosis

La curtosis de ${\displaystyle X}$  para valores ${\displaystyle v>4}$  es

${\displaystyle {\frac {6}{v-4}}}$ 

Caracterización

La distribución ${\displaystyle t}$  de Student con ${\displaystyle v}$  grados de libertad puede definirse como la distribución de la variable aleatoria ${\displaystyle T}$  definida por:

${\displaystyle T:={\frac {Z}{\sqrt {\frac {X}{v}}}}\sim t_{v}}$ 

donde

• ${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$ , es decir, ${\displaystyle Z}$  es una variable aleatoria con distribución normal estándar (distribución normal con media 0 y varianza 1).
• ${\displaystyle X\sim \chi _{v}^{2}}$ , es decir ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria que sigue una distribución chi-cuadrada con ${\displaystyle v}$  grados de libertad.
• ${\displaystyle Z}$  y ${\displaystyle X}$  son variables aleatorias independientes.

Para una constante ${\displaystyle \mu }$  no nula, el cociente

${\displaystyle (Z+\mu ){\sqrt {\frac {v}{X}}}}$ 

es una variable aleatoria que sigue la distribución no central ${\displaystyle t}$  de Student con parámetro de no-centralidad ${\displaystyle \mu }$ .

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

Intervalo para la media cuando ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  es desconocida

Sean ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$  una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$  donde ${\displaystyle \mu }$  y ${\displaystyle \sigma }$  son desconocidos.

Se tiene que

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)}$ 

y

${\displaystyle {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$ 

son independientes entonces el cociente

${\displaystyle {\frac {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\sqrt {\frac {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}{n-1}}}}\sim t_{n-1}}$ 

esto es

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}}$ 

Sea ${\displaystyle t_{n-1,1-\alpha /2}\in \mathbb {R} }$  tal que

${\displaystyle \operatorname {P} [Y\leq t_{n-1,1-\alpha /2}]=1-{\frac {\alpha }{2}}}$ 

siendo ${\displaystyle Y\sim t_{n-1}}$  entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {P} \left[-t_{n-1,1-\alpha /2}\leq {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\leq t_{n-1,1-\alpha /2}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}-\mu \leq t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[-{\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq -\mu \leq -{\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\\end{aligned}}}$ 

por lo tanto un intervalo de ${\displaystyle (1-\alpha )100\%}$  de confianza para ${\displaystyle \mu }$  cuando ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  es desconocida es

${\displaystyle \left({\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)}$ 

Distribución ${\displaystyle t}$ de Student generalizada

En términos del parámetro de escala ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$ 

La distribución ${\displaystyle t}$  de Student puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$  y un parámetro de escala ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$  mediante la relación

${\displaystyle X={\widehat {\mu }}+{\widehat {\sigma }}\;T}$ 

o

${\displaystyle T={\frac {X-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}}$ 

esto significa que ${\textstyle {\frac {x-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}}$  tiene la distribución clásica ${\displaystyle t}$  de Student con ${\displaystyle v}$  grados de libertad.

La resultante distribución ${\displaystyle t}$  de Student no estandarizada tiene por función de densidad:^[2]​

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\widehat {\sigma }}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ 

donde ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$  no corresponde a la desviación estándar, esto es, no es la desviación estándar de la distribución escalada ${\displaystyle t}$ , simplemente es parámetro de escala de la distribución.

La distribución puede ser escrita en términos de ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$ , el cuadrado del parámetro de escala:

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu {\widehat {\sigma }}^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-{\widehat {\mu }})^{2}}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ 

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:^[2]​

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X]={\widehat {\mu }}\quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\&\operatorname {Var} (X)={\widehat {\sigma }}^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\&\operatorname {Moda} (X)={\widehat {\mu }}.\end{aligned}}}$ 

En términos del parámetro inverso de escala ${\displaystyle \lambda }$ 

Una parametrización alterna está en términos del parámetro inverso de escala ${\displaystyle \lambda }$  definido mediante la relación ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}}$ . La función de densidad está dada por:^[2]​

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},\lambda )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {\lambda }{\pi v}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\lambda (x-{\widehat {\mu }})^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ 

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:^[2]​

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X]={\widehat {\mu }}\quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\&\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\&\operatorname {Moda} (X)={\widehat {\mu }}.\end{aligned}}}$ 

Distribuciones relacionadas

• Si ${\displaystyle X\sim t_{v}}$  entonces ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} _{1,v}}$  donde ${\displaystyle \operatorname {F} _{1,v}}$  denota la distribución F con ${\displaystyle 1}$  y ${\displaystyle v}$  grados de libertad.

Véase también

• Distribución F
• Distribución χ²
• Teorema de Cochran

Referencias

1. Walpole, Roland; Myers, Raymond y Ye, Keying (2002). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)
2. Jackman, Simon (2009). Bayesian Analysis for the Social Sciences. Wiley. p. 507. 

Enlaces externos

• Tabla de distribución de T de Student
• Prueba t de Student en la UPTC de Colombia
• Tabla distribución t de Student
• Distribución t-Student: Puntos porcentuales para probabilidad superior
• Probability, Statistics and Estimation en inglés. Primeros Studentes en la página 112.
• Calcular la probabilidad de una distribución t-Student con R (lenguaje de programación)

•   Datos: Q576072
•   Multimedia: Student's t-distribution