Triángulo heroniano

En geometría, un triángulo heroniano (también denominado triángulo de Herón) se caracteriza porque las longitudes de sus lados y su área son todos números enteros.^[1]​^[2]​ Deben su nombre al matemático helenístico del siglo I Herón de Alejandría. El término a veces se aplica más ampliamente a triángulos cuyos lados y área son todos números racionales.^[3]​

Propiedades

Cualquier triángulo rectángulo cuyas longitudes de lado sean una terna pitagórica es un triángulo heroniano, ya que las longitudes laterales de dicho triángulo son números enteros, y su área también lo es, y coincide con la mitad del producto de los dos lados más cortos del triángulo, al menos uno de los cuales debe ser par.

 

Un triángulo con lados de longitudes c, e y b + d, y altura a.

Un ejemplo de un triángulo heroniano que no está en ángulo recto es el triángulo isósceles con longitudes de lado 5, 5 y 6, cuya área es 12. Este triángulo se obtiene uniendo dos copias del triángulo rectángulo con lados 3, 4 y 5 por los lados de longitud 4. Este enfoque funciona en general, como se ilustra en la imagen adyacente. Se parte de una terna pitagórica (a, b, c), siendo c el más grande, y luego otra (a, d, e), con e siendo el lado más grande. Se construyen los triángulos con estas longitudes de lado, y se unen por los lados de longitud a, para obtener un triángulo con longitudes laterales enteras c, e, y b + d, y con área

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$  (un medio del producto de la base por la altura).

Si a es par, el área A es un número entero. Menos obviamente, si a es impar, entonces A sigue siendo un número entero, ya que b y d deben ser pares, lo que hace que b + d también lo sea.

Algunos triángulos de Heron no se pueden obtener al unir dos triángulos en ángulo recto con lados enteros como se describió anteriormente. Por ejemplo, un triángulo heroniano de 5, 29, 30 con área 72 no se puede construir a partir de dos triángulos pitagóricos enteros, ya que ninguna de sus alturas tienen valores enteros. Tampoco se puede construir un triángulo pitagórico primitivo a partir de dos triángulos pitagóricos enteros más pequeños.^[4]​^:p.17 Tales triángulos heronianos se conocen como "indescomponibles".^[4]​ Sin embargo, si se permiten ternas pitagóricas con valores racionales, no necesariamente enteros, siempre existen triángulos rectángulos con lados racionales que se pueden desacomponer,^[5]​ porque cada altura de un triángulo heroniano es racional (ya que equivale al doble del área entera dividida por la base entera). Entonces, el triángulo heroniano con lados 5, 29, 30 puede construirse a partir de triángulos pitagóricos racionales con lados 7/5, 24/5, 5 y 143/5, 24/5, 29. Obsérvese que un triple pitagórico con valores racionales es simplemente una versión escalada de una terna con valores enteros.

Otras propiedades de los triángulos heronianos son las siguientes:

• El perímetro de un triángulo heroniano siempre es un número par,^[6]​ Así, cada triángulo heroniano tiene un número impar de lados de longitud par, ^[7]​^:p.3 y cada triángulo primitivo heroniano tiene exactamente un lado par.
• El semiperímetro s de un triángulo heroniano con lados a, b y c nunca puede ser primo. Esto se puede ver por el hecho de que s (s-a) (s-b) (s-c) tiene que ser un cuadrado perfecto y si s es un valor primo, entonces uno de los otros términos debe tener s como factor, pero esto es imposible ya que estos términos son todos menores que s.
• El área de un triángulo heroniano siempre es divisible por 6.^[6]​
• Todas las altitudes de un triángulo heroniano son racionales.^[8]​ Esto puede verse por el hecho de que el área de un triángulo es la mitad de un lado multiplicada por su altura desde ese lado, y un triángulo heroniano tiene lados y área enteros. Algunos triángulos heronianos tienen tres alturas no enteras, por ejemplo, el agudo (15, 34, 35) con el área 252 y el obtuso (5, 29, 30) con el área 72. Cualquier triángulo heroniano con una o más alturas no enteras puede ser escalado por un factor que iguala el mínimo común múltiplo de los denominadores de las alturas para obtener un triángulo heroniano con tres alturas enteras similar.
• Los triángulos heronianos que no tienen una altura entera (indescomponibles y no-pitagóricos) tienen lados que son todos divisibles por primos de la forma 4k + 1.^[9]​^:p.40. Sin embargo, los triángulos heronianos descomponibles deben tener dos lados que son la hipotenusa de dos triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronianos que no son pitagóricos tienen al menos dos lados que son divisibles por números primos de la forma 4k + 1. Todo lo que queda son triángulos pitagóricos. Por lo tanto, todos los triángulos heronianos tienen al menos un lado que es divisible por números primos de la forma 4k + 1. Finalmente, si un triángulo heroniano tiene un solo lado divisible por números primos de la forma 4k + 1, tiene que ser pitagórico con ese lado como hipotenusa, y la hipotenusa debe ser divisible por 5.
• Todos las mediatrices interiores de un triángulo heroniano son racionales: para cualquier triángulo vienen dadas por ${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$  ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$  y ${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$  donde los lados son a ≥ b ≥ c y el área es T.^[10]​ En un triángulo de Herón, todos los valores de a, b, c y T son enteros.
• No hay triángulos heronianos equiláteros.^[8]​
• No hay triángulos heronianos con una longitud lateral de 1 o 2.^[11]​
• Existe un número infinito de triángulos heronianos primitivos con una longitud lateral igual a a siempre que a > 2.^[11]​
• No hay triángulos heronianos cuyas longitudes laterales formen una progresión geométrica.^[12]​
• Si dos lados (pero no tres) de un triángulo heroniano tienen un factor común, ese factor debe ser la suma de dos cuadrados.^[13]​
• Cada ángulo de un triángulo heroniano tiene un seno racional. Esto se deduce de la fórmula del área, Área = (1/2) ab sin C, en la que el área y los lados a y b son enteros (y de manera equivalente, para los otros ángulos). Como todos los triángulos enteros tienen los cosenos de todos los ángulos racionales, esto implica que cada ángulo de un triángulo de Herón tiene una tangente racional.
• No hay triángulos heronianos cuyos tres ángulos internos formen una progresión aritmética. Esto se debe a que al menos un ángulo debe ser de 60°, ángulo cuyo seno no es racional.^[14]​
• Cualquier cuadrado inscrito en un triángulo heroniano tiene lados racionales: para un triángulo general, el cuadrado inscrito en el lado de longitud a tiene una longitud ${\displaystyle {\tfrac {2Ta}{a^{2}+2T}}}$ , donde T es el área del triángulo; ^[15]​ en un triángulo heroniano, tanto T como a son enteros.
• Cada triángulo heroniano tiene un inradio racional (radio de su círculo inscrito): para un triángulo general, el inradio es la relación entre el área y la mitad del perímetro, y ambos son racionales en un triángulo heroniano.
• Cada triángulo heroniano tiene un circunradio racional (el radio de su círculo circunscrito): para un triángulo general, el circumradio equivale a un cuarto del producto de los lados dividido por el área; en un triángulo heroniano, los lados y el área son enteros.
• En un triángulo heroniano la distancia desde el centroide a cada lado es racional, porque para todos los triángulos esta distancia es la relación del doble del área dividida tres veces la longitud del perímetro.^[16]​ Esto se puede generalizar al afirmar que todos los centros están asociados con triángulos heronianos cuyas coordenadas baricéntricas son razones racionales, tienen una distancia racional a cada lado. Estos centros incluyen el circuncentro, el ortocentro, el centro de nueve puntos, el punto simediano, el incentro y el punto de Nagel.^[17]​

Fórmula exacta para triángulos heronianos

El matemático indio Brahmagupta (598-668 A.D.) dedujo la solución paramétrica, de modo que cada triángulo heroniano tiene lados proporcionales a:^[18]​^[19]​

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$ 

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$ 

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$ 

${\displaystyle {\text{Semiperímetro}}=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)}$ 

${\displaystyle {\text{Área}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$ 

${\displaystyle {\text{Inradio}}=k(mn-k^{2})}$ 

${\displaystyle s-a=n(mn-k^{2})}$ 

${\displaystyle s-b=m(mn-k^{2})}$ 

${\displaystyle s-c=(m+n)k^{2}}$ 

para los enteros m, n y k, donde:

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$ 

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$ 

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$ .

El factor de proporcionalidad generalmente es a ^p⁄_q donde q = mcd (a, b, c) reduce el triángulo heroniano generado a su primitivo y p escala este triángulo primitivo al tamaño requerido. Por ejemplo, tomando m = 36, n = 4 y k = 3 produce un triángulo con a = 5220, b = 900 y c = 5400, que es similar al triángulo heroniano 5, 29, 30; y el factor de proporcionalidad utilizado tiene p = 1 y q = 180.

El obstáculo para un uso en ordenador de la solución paramétrica de Brahmagupta es el denominador q del factor de proporcionalidad, puesto que q solo se puede determinar calculando el máximo común divisor de los tres lados ( mcd (a, b, c) ) e introduce un elemento de impredecibilidad en el proceso de generación.^[19]​ La manera más fácil de generar listas de triángulos heronianos es generar todos los triángulos enteros hasta una longitud máxima de lado y comprobar si su área es un entero.

Los algoritmos más rápidos han sido ideados por Kurz (2008).

Véanse también las fórmulas para triángulos heronianos con un ángulo dos veces otro, triángulos heronianos con lados en progresión aritmética y triángulos isósceles heronianos.

Ejemplos

La lista de triángulos heronianos enteros primitivos, ordenados por área y, si esta coincide, por perímetro, comienza como en la siguiente tabla. "Primitivo" significa que el máximo común divisor de las tres longitudes laterales es igual a 1.

Área	Perímetro	Longitud lado b+d	Longitud lado e	Longitud lado c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Las listas de triángulos heronianos primitivos cuyos lados no exceden los 6.000.000 se pueden encontrar en «Lists of primitive Heronian triangles». Sascha Kurz, University of Bayreuth, Germany. Consultado el 29 de marzo de 2016. 

Triángulos equiláteros

Una forma se llama ecuable si su área es igual a su perímetro. Hay exactamente cinco triángulos heronianos ecuables: los que tienen longitudes laterales (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) y (9, 10, 17).^[20]​^[21]​

Triángulos heronianos casi equiláteros

Como el área de un triángulo equilátero con lados racionales es un número irracional, ningún triángulo equilátero es Heroniano. Sin embargo, existe una secuencia única de triángulos heronianos que son "casi equiláteros" porque los tres lados tienen la forma n - 1, n, n + 1. Un método para generar todas las soluciones a este problema basado en fracciones continuas fue descrito en 1864 por Edward Sang,^[22]​ y en 1880 Reinhold Hoppe dio una forma explícita para las soluciones.^[23]​ Los primeros ejemplos de estos triángulos casi equiláteros se enumeran en la siguiente tabla (sucesión A003500 en OEIS):

Longitud lados			Área	Inradio
n − 1	n	n + 1
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Los valores posteriores de n se pueden encontrar multiplicando el valor anterior por 4, luego restando el valor anterior a ese (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, etc.), por lo tanto:

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,}$ 

donde t denota cualquier fila en la tabla. Esta es un sucesión de Lucas. Alternativamente, la fórmula ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$  genera todo n. Equivalentemente, sean A el área, e y el inradio, entonces:

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$ 

donde {n, y} son soluciones para n² - 12y² = 4. Una pequeña transformación n = 2x produce una ecuación de Pell convencional x² - 3y² = 1, cuyas soluciones pueden deducirse de la expansión de una fracción continua regular para √3.^[24]​

La variable n tiene la forma ${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$ , donde k es 7, 97, 1351, 18817, …. Los números en esta secuencia tienen la propiedad de que k enteros consecutivos tienen desviación típica entera.^[25]​

Ver también

• Tetraedro heroniano
• Cuadrilátero cíclico
• Pentágono de Robbins
• Triángulos enteros

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Triángulo heroniano». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Enciclopedia en línea de secuencias enteras Heronian
• Wm. Fitch Cheney, Jr. (January 1929), «Heronian Triangles», Amer. Math. Monthly 36 (1): 22-28, JSTOR 2300173 .
• S. sh. Kozhegel'dinov (1994), «On fundamental Heronian triangles», Math. Notes 55 (2): 151-6, doi:10.1007/BF02113294 .

Referencias

1. Carlson, John R. (1970), «Determination of Heronian Triangles» (PDF), Fibonacci Quarterly 8: 499-506 .
2. Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (January 1998), «The Brahmagupta Triangles» (PDF), College Math Journal 29 (1): 13-17, doi:10.2307/2687630 .
3. Weisstein, Eric W. «Heronian Triangle». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
4. Yiu, Paul (2008), Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles, 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America .
5. Sierpiński, Wacław (2003) [1962], Pythagorean Triangles, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-43278-6 .
6. Friche, Jan (2 de enero de 2002). On Heron Simplices and Integer Embedding. Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald Publication. 
7. Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (2001). Cyclic Polygons with Rational Sides and Area. CiteSeerX Penn State University. p. 3. «10.1.1.169.6336». 
8. Somos, M., "Rational triangles", http://somos.crg4.com/rattri.html el 4 de junio de 2018 en Wayback Machine.
9. Yiu, Paul (2008). Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America. 
10. Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53−59: Theorem 2.
11. Carlson, John R. (1970). Determination of Heronian triangles. San Diego State College. 
12. Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999). «Heron Quadrilaterals with sides in Arithmetic or Geometric progression». Bulletin of the Australian Mathematical Society 59: 263-269. 
13. Blichfeldt, H. F. (1896–1897). «On Triangles with Rational Sides and Having Rational Areas». Annals of Mathematics 11 (1/6): 57-60. JSTOR 1967214. doi:10.2307/1967214. 
14. Zelator, K., "Triangle Angles and Sides in Progression and the diophantine equation x²+3y²=z²", Cornell Univ. archive, 2008
15. Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
16. Clark Kimberling, "Trilinear distance inequalities for the symmedian point, the centroid, and other triangle centers", Forum Geometricorum, 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html
17. Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers . Archivado desde el original el 19 de abril de 2012. Consultado el 17 de junio de 2012. 
18. Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine Analysis", pp.11-13; in R. D. Carmichael, 1959, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publications, Inc.
19. Kurz, Sascha (2008). «On the generation of Heronian triangles». Serdica Journal of Computing 2 (2): 181-196. MR 2473583. arXiv:1401.6150. .
20. Dickson, Leonard Eugene (2005), History of the Theory of Numbers, Volume Il: Diophantine Analysis, Dover Publications, p. 199, ISBN 9780486442334 .
21. Markowitz, L. (1981), «Area = Perimeter», The Mathematics Teacher 74 (3): 222-3 .
22. Sang, Edward, «On the theory of commensurables», Transactions of the Royal Society of Edinburgh 23: 721-760 .. Véase en particular p. 734.
23. Gould, H. W. (February 1973), «A triangle with integral sides and area», Fibonacci Quarterly 11 (1): 27-39 ..
24. Richardson, William H. (2007), Super-Heronian Triangles .
25. Online Encyclopedia of Integer Sequences, A011943.

•   Datos: Q1613856