En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular, es decir, tiene sus tres lados iguales.[1] En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos son iguales.
El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, cada uno pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Por simetría del triángulo equilátero, se tiene que:
Considerando el baricentro, como centro de rotación, las rotaciones de 0º, 120º y 240º llevan la figura sobre sí misma, las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre sí misma. Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triángulo equilátero de orden 6. Además las tres rotaciones forman un subgrupo cíclico.[2]
Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantemente congruentes
.
Los ángulos interiores del triángulo son de 60º si y solamente si los lados son iguales.
Solo hace falta saber que los ángulos son iguales y la suma tiene que ser 180º.
Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española. «Triángulo equilátero». Diccionario de la lengua española (23.ª edición).
Fraleigh. Álgebra abstracta
↑ Sapiña, R. «Triángulo equilátero: calculadora y fórmulas». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 15 de julio de 2020.
Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). «An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications». Research Group in Mathematical Inequalities and Applications(en inglés)11.
Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). «An elementary proof of Blundon's inequality». Journal of inequalities in pure and applied mathematics(en inglés)9.
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Diciembre 09, 2021
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En geometria un triangulo equilatero es un poligono regular es decir tiene sus tres lados iguales 1 En la geometria euclidea tradicional los triangulos equilateros tambien son equiangulares es decir los tres angulos internos son iguales Triangulo equilateroTres lados iguales y sus tres angulos son de 60 CaracteristicasLados3Vertices3Grupo de simetriaS 3 displaystyle S 3 Simbolo de Schlafli 3 1 Diagrama de Coxeter DynkinPoligono dualTriangulo equilateroArea3 4 a 2 displaystyle tfrac sqrt 3 4 a 2 Angulo interior60 editar datos en Wikidata Un triangulo equilatero y sus angulos principales Indice 1 Propiedades 1 1 Formulario 1 2 Construcciones 2 Utilizacion prehistorica 3 Vease tambien 4 Referencias 5 Matriz de traduccion 6 Enlaces externosPropiedades Editar El triangulo equilatero tiene 3 ejes de simetria cada uno pasa por un vertice y el punto medio del lado opuesto Por simetria del triangulo equilatero se tiene que Cada altura mediana bisectriz mediatriz y eje de simetria de un triangulo equilatero coinciden sobre una misma recta Por tanto el ortocentro el baricentro el incentro y el circuncentro coinciden en un mismo punto central Considerando el baricentro como centro de rotacion las rotaciones de 0º 120º y 240º llevan la figura sobre si misma las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre si misma Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triangulo equilatero de orden 6 Ademas las tres rotaciones forman un subgrupo ciclico 2 Dos triangulos equilateros cualesquiera son semejantemente congruentes Los angulos interiores del triangulo son de 60º si y solamente si los lados son iguales Solo hace falta saber que los angulos son iguales y la suma tiene que ser 180º Los angulos exteriores de un triangulo equilatero son de 120º Formulario Editar Formulas relativas al valor del lado a displaystyle a de un triangulo equilatero Su perimetro es p 3 a displaystyle p 3 cdot a La altura es h a 3 2 displaystyle h a cdot frac sqrt 3 2 Triangulo semejante de razon a a 2 displaystyle alpha frac a 2 Aplicando el teorema de Pitagoras a una mitad del triangulo dividida por la altura se tiene que h a 2 a 2 2 a 3 2 displaystyle h sqrt a 2 big frac a 2 big 2 a cdot frac sqrt 3 2 La apotema es a p a 3 6 displaystyle a p a cdot frac sqrt 3 6 3 El radio de una circunferencia circunscrita es R a 3 3 displaystyle R a cdot frac sqrt 3 3 El radio de una circunferencia inscrita es r a 3 6 displaystyle r a cdot frac sqrt 3 6 Aplicando semejanza sobre la mitad del triangulo y uno de los pequenos Se deduce asi que R 2 r displaystyle R 2 cdot r y por tanto la distancia del centro a un vertices es el doble que la distancia del centro a una base El radio de la circunferencia exinscrita es R e a 3 2 displaystyle R e a cdot frac sqrt 3 2 3 La relacion entre los tres radios citados anteriormente es R 2 r 2 3 R e displaystyle R 2 cdot r frac 2 3 cdot R e 3 Ademas 3 a 25 R r 2 r 2 4 R r displaystyle frac 3 a frac sqrt 25Rr 2r 2 4Rr 4 El semiperimetro es s 2 R 3 3 4 r Blundon displaystyle displaystyle s 2R 3 sqrt 3 4 r quad text Blundon 5 El area es A a 2 3 4 displaystyle A a 2 cdot frac sqrt 3 4 El area en funcion de la altura h displaystyle h del triangulo es A h 2 3 3 displaystyle A h 2 cdot frac sqrt 3 3 El area en funcion del radio R displaystyle R de la circunferencia circunscrita es A R 2 3 3 4 displaystyle A R 2 cdot frac 3 sqrt 3 4 El area en funcion del radio r displaystyle r de la circunferencia inscrita es A r 2 3 3 displaystyle A r 2 cdot 3 sqrt 3 El area en funcion del radio R e displaystyle R e de la circunferencia exinscrita es A R e 2 3 3 displaystyle A R e 2 cdot frac sqrt 3 3 3 Construcciones Editar Segun simbolo de Schlafli se pueden obtener las siguientes construcciones 3 1 es el triangulo equilatero 3 6 es el teselado del plano 3 5 es el icosaedro 3 4 es el octaedro 3 3 es el tetraedro Utilizacion prehistorica Editar Yacimiento de Lepenski Vir Se utilizaron triangulos equilateros como base de las construcciones descubiertas en el yacimiento prehistorico de Lepenski Vir en Serbia Vease tambien EditarTrigonometria Geometria Regla y compas Raiz cuadrada de 3 Teorema de Viviani Teorema de Napoleon Poligono equilateroReferencias Editar Real Academia Espanola y Asociacion de Academias de la Lengua Espanola Triangulo equilatero Diccionario de la lengua espanola 23 ª edicion Fraleigh Algebra abstracta a b c d Sapina R Triangulo equilatero calculadora y formulas Problemas y ecuaciones ISSN 2659 9899 Consultado el 15 de julio de 2020 Bencze Mihaly Wu Hui Hua Wu Shan He 2008 An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications Research Group in Mathematical Inequalities and Applications en ingles 11 Dospinescu G Lascu M Pohoata C Letiva M 2008 An elementary proof of Blundon s inequality Journal of inequalities in pure and applied mathematics en ingles 9 Matriz de traduccion EditarWeisstein Eric W Triangulo equilatero En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram 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