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Incentro

El Incentro de un triángulo (marcado con la letra I en el gráfico) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

Un triángulo y su incentro I. Las líneas rojas son las bisectrices de los tres ángulos internos.
Incentro I

Junto con el baricentro, circuncentro y ortocentro, es uno de los cuatro puntos notables del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la recta de Euler.

En la Enciclopedia de los Centros del Triángulo[1]​ (obra del matemático estadounidense Clark Kimberling) es designado X(1) como la primera entrada de la lista de centros. Es el elemento identidad del grupo multiplicativo de los centros del triángulo.[2][3]

Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe en polígonos tangenciales -es decir, aquellos que tienen una circunferencia inscrita que es tangente a todos los lados del polígono. En este caso, el incentro es el centro de esta circunferencia y es equidistante de todos los lados.

Coordenadas cartesianas

Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vértices del triángulo A, B y C. Si los vértices tienen por coordenadas  ,  , y  , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes  ,  , y  , el incentro tendrá por coordenadas  :

 
Demostración
 
Las bisectrices interiores de un triángulo como rectas cevianas.

En efecto,

  • Por el teorema de la bisectriz, aplicado a las bisectrices de los ángulos   y  , se tiene que
   
resultando
 
  y  
Entonces:
 
  • Para los vectores   y   existen los números reales   y   con   y  . Entonces, expresando el vector   de estas dos formas,   y  , se tiene que:
 
  • Ahora, dada la independencia lineal de los vectores   y   entonces:
 
 
  • Finalmente,
 


Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales del incentro son

 

La colección de centros del triángulo presenta estructura de grupo cuando se expresan sus coordenadas en el sistema trilineal respecto a la operación producto. En este grupo, el incentro es el elemento identidad.[3]

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas del incentro son

 

donde  ,  , y   son las longitudes de los lados del triángulo, o de forma equivalente (utilizando el teorema de los senos) se pueden definir como

 

donde  ,  , y   son los ángulos de los tres vértices del triángulo.

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

Propiedades del incentro

Distancias a los vértices

Denominando al incentro del triángulo ABC como I, las distancias desde el incentro a los vértices, de acuerdo con las longitudes de los lados, obedecen a la ecuación[4]

 

Adicionalmente,[5]

 

donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.

Distancia al vértice A.

1. Conociendo el ángulo A y el radio r

  → (1),[6]​ r radio de la circunferencia inscrita.

2. Conociendo los tres lados.

  donde a, b y c son las longitudes de los lados y   es el semiperímetro.

Para deducir esta fórmula cíclica, se iguala pr con la fórmula de Herón. Se despeja cos A de la fórmula que brinda la ley de los cosenos y se halla el sen de A/2, también el cosecante de A/2. Se reemplaza r y csc A/2 en la fórmula anterior (1).[7]

Otros centros

La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana más larga del triángulo.[8]

De acuerdo con el Teorema geométrico de Euler, la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado, viene dada por[9][10]

 

donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente; en consecuencia, el circunradio es al menos dos veces el inradio (siendo exactamente el doble únicamente en el caso del triángulo equilátero[11]:p. 198).

La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es[10]

 

La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es[12]

 

Existen inecuaciones que afirman que:

 

El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y se halla situado en el interior de este triángulo. Recíprocamente, el punto de Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario.[13]

El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diámetro une el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal), pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos, cuya posición es fija a 1/4 a lo largo del diámetro (más cercano a G). Ningún otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de alguno de los triángulos singulares.[14]

Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo pasa a través de su circuncentro, su centroide, y su ortocentro, además de por otros puntos notables. El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler;[15]​ salvo para los triángulos isósceles,[16]​ en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos sus centros.

Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d; a la longitud de la mayor mediana v; a la longitud del mayor lado del triángulo u; al circunradio R; a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e; y al semiperímetro s; se tienen las inecuaciones siguientes:[17]

 
 
 

Divisiones de área y de perímetro

Cualquier recta que divida un triángulo en dos partes de igual área e igual perímetro (ambas condiciones se dan simultáneamente), pasa por su incentro. Puede haber una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.[18]

Distancia relativa de los puntos de una bisectriz

Sea X un punto de la bisectriz del ángulo A. Entonces, cuando X = I (el incentro) se maximiza o minimiza el cociente   a lo largo de la bisectriz.[19][20]

Véase también

Referencias

  1. Encyclopedia of Triangle Centers
  2. Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 ..
  3. Encyclopedia of Triangle Centers, consultada el 28 de octubre de 2014.
  4. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96: 161-165 ..
  5. Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications .. #84, p. 121.
  6. Solimar Flores Espíritu: Puntos notables Lumbreras editores
  7. Flores: Obra citada
  8. Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236, MR 2877263 .. Lemma 3, p. 233.
  9. Johnson (1929), p. 186
  10. Franzsen (2011), p.  232.
  11. Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
  12. Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
  13. Franzsen (2011), Lemma 1, p.  233.
  14. Franzsen (2011), p. 232.
  15. Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3-4, ISBN 978-0883850992 .
  16. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), «Orthocentric simplices and biregularity», Results in Mathematics 52 (1-2): 41-50, MR 2430410, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles» ..
  17. Franzsen (2011), pp. 232–234.
  18. Kodokostas, Dimitrios (Abril de 2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine 83: 141-146, doi:10.4169/002557010X482916 ..
  19. Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
  20. Hajja, Mowaffaq, Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle", Mathematical Gazette 96, July 2012, 315-317.

Enlaces externos

  •   Datos: Q10614739
  •   Multimedia: Incenter

incentro, triángulo, marcado, letra, gráfico, punto, cortan, tres, bisectrices, ángulos, internos, equidista, tres, lados, tanto, centro, circunferencia, inscrita, triángulo, tangente, tres, lados, triángulo, incentro, líneas, rojas, bisectrices, tres, ángulos. El Incentro de un triangulo marcado con la letra I en el grafico es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus angulos internos Equidista de los tres lados y por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo tangente a sus tres lados Un triangulo y su incentro I Las lineas rojas son las bisectrices de los tres angulos internos Incentro I Junto con el baricentro circuncentro y ortocentro es uno de los cuatro puntos notables del triangulo conocidos por los antiguos griegos y el unico que no se situa sobre la recta de Euler En la Enciclopedia de los Centros del Triangulo 1 obra del matematico estadounidense Clark Kimberling es designado X 1 como la primera entrada de la lista de centros Es el elemento identidad del grupo multiplicativo de los centros del triangulo 2 3 Para poligonos con mas de tres lados el incentro solo existe en poligonos tangenciales es decir aquellos que tienen una circunferencia inscrita que es tangente a todos los lados del poligono En este caso el incentro es el centro de esta circunferencia y es equidistante de todos los lados Indice 1 Coordenadas cartesianas 2 Coordenadas trilineales 3 Coordenadas baricentricas 4 Propiedades del incentro 4 1 Distancias a los vertices 4 2 Otros centros 4 3 Recta de Euler 4 4 Divisiones de area y de perimetro 4 5 Distancia relativa de los puntos de una bisectriz 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosCoordenadas cartesianas EditarSe pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vertices del triangulo A B y C Si los vertices tienen por coordenadas x a y a displaystyle x a y a x b y b displaystyle x b y b y x c y c displaystyle x c y c y los respectivos lados opuestos tienen longitudes a displaystyle a b displaystyle b y c displaystyle c el incentro tendra por coordenadas x I y I displaystyle x I y I x I y I a x a y a b x b y b c x c y c a b c a x a b x b c x c a b c a y a b y b c y c a b c displaystyle x I y I frac a x a y a b x b y b c x c y c a b c bigg frac ax a bx b cx c a b c frac ay a by b cy c a b c bigg Demostracion Las bisectrices interiores de un triangulo como rectas cevianas En efecto Por el teorema de la bisectriz aplicado a las bisectrices de los angulos A displaystyle widehat A y B displaystyle widehat B se tiene quec b B P P C B P B C B P B P a B P displaystyle dfrac c b dfrac BP PC dfrac BP BC BP dfrac BP a BP c a A Q Q C A Q A C A Q A Q b A Q displaystyle dfrac c a dfrac AQ QC dfrac AQ AC AQ dfrac AQ b AQ resultandoB P a c b c A Q b c a c displaystyle BP dfrac ac b c qquad AQ dfrac bc a c Sean los vectoresB P displaystyle overrightarrow BP y A Q displaystyle overrightarrow AQ Entonces B P B P B C B C B P a B C c b c B C A Q A Q A C A C A Q b A C c a c A C displaystyle overrightarrow BP dfrac BP BC overrightarrow BC dfrac BP a overrightarrow BC dfrac c b c overrightarrow BC qquad overrightarrow AQ dfrac AQ AC overrightarrow AC dfrac AQ b overrightarrow AC dfrac c a c overrightarrow AC Para los vectores A I displaystyle overrightarrow AI y B I displaystyle overrightarrow BI existen los numeros reales l displaystyle lambda y m displaystyle mu con A I l A P displaystyle overrightarrow AI lambda overrightarrow AP y B I m B Q displaystyle overrightarrow BI mu overrightarrow BQ Entonces expresando el vector A I displaystyle overrightarrow AI de estas dos formas A I l A P displaystyle overrightarrow AI lambda overrightarrow AP y A I A B B I displaystyle overrightarrow AI overrightarrow AB overrightarrow BI se tiene que A I l A P l A B B P l A B c b c B C l A B l c b c B C A I A B B I A B m B Q A B m B A A Q A B m B A c a c A C A B m B A c a c A B B C 1 m m c a c A B m c a c B C displaystyle left begin array lcl overrightarrow AI amp amp lambda overrightarrow AP lambda left overrightarrow AB overrightarrow BP right lambda left overrightarrow AB dfrac c b c overrightarrow BC right lambda overrightarrow AB dfrac lambda c b c overrightarrow BC overrightarrow AI amp amp overrightarrow AB overrightarrow BI overrightarrow AB mu overrightarrow BQ overrightarrow AB mu left overrightarrow BA overrightarrow AQ right overrightarrow AB mu left overrightarrow BA dfrac c a c overrightarrow AC right amp amp overrightarrow AB mu left overrightarrow BA dfrac c a c left overrightarrow AB overrightarrow BC right right left 1 mu dfrac mu c a c right overrightarrow AB dfrac mu c a c overrightarrow BC end array right Ahora dada la independencia lineal de los vectores A B displaystyle overrightarrow AB y B C displaystyle overrightarrow BC entonces l 1 m m c a c l c b c m c a c displaystyle left begin array rcl lambda amp amp 1 mu dfrac mu c a c dfrac lambda c b c amp amp dfrac mu c a c end array right El sistema anterior que es un sistema lineal tiene las solucionesl b c a b c m a c a b c displaystyle lambda dfrac b c a b c qquad mu dfrac a c a b c Finalmente I A A I A l A B l c b c B C A l B A l c b c C B A b c a b c B A c a b c C B a a b c A b a b c B c a b 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c son las longitudes de los lados del triangulo o de forma equivalente utilizando el teorema de los senos se pueden definir como sin A sin B sin C displaystyle sin A sin B sin C donde A displaystyle A B displaystyle B y C displaystyle C son los angulos de los tres vertices del triangulo 1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16Propiedades del incentro EditarDistancias a los vertices Editar Denominando al incentro del triangulo ABC como I las distancias desde el incentro a los vertices de acuerdo con las longitudes de los lados obedecen a la ecuacion 4 I A I A C A A B I B I B A B B C I C I C B C C A 1 displaystyle frac IA cdot IA CA cdot AB frac IB cdot IB AB cdot BC frac IC cdot IC BC cdot CA 1 Adicionalmente 5 I A I B I C 4 R r 2 displaystyle IA cdot IB cdot IC 4Rr 2 donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente Distancia al vertice A 1 Conociendo el angulo A y el radio r d I A r c s c A 2 displaystyle d I A r cdot csc frac A 2 1 6 r radio de la circunferencia inscrita dd dd dd 2 Conociendo los tres lados d I A b c p a p displaystyle d I A sqrt frac bc p a p donde a b y c son las longitudes de los lados y p a b c 2 displaystyle p frac a b c 2 es el semiperimetro dd dd dd Para deducir esta formula ciclica se iguala pr con la formula de Heron Se despeja cos A de la formula que brinda la ley de los cosenos y se halla el sen de A 2 tambien el cosecante de A 2 Se reemplaza r y csc A 2 en la formula anterior 1 7 Otros centros Editar La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana mas larga del triangulo 8 De acuerdo con el Teorema geometrico de Euler la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado viene dada por 9 10 O I 2 R R 2 r displaystyle OI 2 R R 2r donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente en consecuencia el circunradio es al menos dos veces el inradio siendo exactamente el doble unicamente en el caso del triangulo equilatero 11 p 198 La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es 10 I N 1 2 R 2 r lt 1 2 R displaystyle IN frac 1 2 R 2r lt frac 1 2 R La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es 12 I H 2 2 r 2 4 R 2 cos A cos B cos C displaystyle IH 2 2r 2 4R 2 cos A cos B cos C Existen inecuaciones que afirman que I G lt H G I H lt H G I G lt I O 2 I N lt I O displaystyle IG lt HG quad IH lt HG quad IG lt IO quad 2IN lt IO El incentro es el punto de Nagel del triangulo medial el triangulo cuyos vertices son los puntos medios de los lados y se halla situado en el interior de este triangulo Reciprocamente el punto de Nagel de cualquier triangulo es el incentro de su triangulo anticomplementario 13 El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diametro une el centroide G y el ortocentro H el disco ortocentroidal pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos cuya posicion es fija a 1 4 a lo largo del diametro mas cercano a G Ningun otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de alguno de los triangulos singulares 14 Recta de Euler Editar La recta de Euler de un triangulo pasa a traves de su circuncentro su centroide y su ortocentro ademas de por otros puntos notables El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler 15 salvo para los triangulos isosceles 16 en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetria del triangulo y contiene todos sus centros Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d a la longitud de la mayor mediana v a la longitud del mayor lado del triangulo u al circunradio R a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e y al semiperimetro s se tienen las inecuaciones siguientes 17 d s lt d u lt d v lt 1 3 displaystyle frac d s lt frac d u lt frac d v lt frac 1 3 d lt 1 3 e displaystyle d lt frac 1 3 e d lt 1 2 R displaystyle d lt frac 1 2 R Divisiones de area y de perimetro Editar Cualquier recta que divida un triangulo en dos partes de igual area e igual perimetro ambas condiciones se dan simultaneamente pasa por su incentro Puede haber una dos o tres de estas lineas para cualquier triangulo dado 18 Distancia relativa de los puntos de una bisectriz Editar Sea X un punto de la bisectriz del angulo A Entonces cuando X I el incentro se maximiza o minimiza el cociente B X C X displaystyle tfrac BX CX a lo largo de la bisectriz 19 20 Vease tambien EditarRecta de Euler Ortocentro Baricentro Circuncentro ExincentroReferencias Editar Encyclopedia of Triangle Centers Kimberling Clark 1994 Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle Mathematics Magazine 67 3 163 187 JSTOR 2690608 MR 1573021 a b Encyclopedia of Triangle Centers consultada el 28 de octubre de 2014 Allaire Patricia R Zhou Junmin Yao Haishen marzo de 2012 Proving a nineteenth century ellipse identity Mathematical Gazette 96 161 165 Altshiller Court Nathan 1980 College Geometry Dover Publications 84 p 121 Solimar Flores Espiritu Puntos notables Lumbreras editores Flores Obra citada Franzsen William N 2011 The distance from the incenter to the Euler line Forum Geometricorum 11 231 236 MR 2877263 Lemma 3 p 233 Johnson 1929 p 186 a b Franzsen 2011 p 232 Dragutin Svrtan and Darko Veljan Non Euclidean versions of some classical triangle inequalities Forum Geometricorum 12 2012 197 209 http forumgeom fau edu FG2012volume12 FG201217index html Marie Nicole Gras Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers Forum Geometricorum 14 2014 51 61 http forumgeom fau edu FG2014volume14 FG201405index html Franzsen 2011 Lemma 1 p 233 Franzsen 2011 p 232 Schattschneider Doris King James 1997 Geometry Turned On Dynamic Software in Learning Teaching and Research The Mathematical Association of America pp 3 4 ISBN 978 0883850992 Edmonds Allan L Hajja Mowaffaq Martini Horst 2008 Orthocentric simplices and biregularity Results in Mathematics 52 1 2 41 50 MR 2430410 doi 10 1007 s00025 008 0294 4 It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles Franzsen 2011 pp 232 234 Kodokostas Dimitrios Abril de 2010 Triangle equalizers Mathematics Magazine 83 141 146 doi 10 4169 002557010X482916 Arie Bialostocki and Dora Bialostocki The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem Forum Geometricorum 11 2011 9 12 http forumgeom fau edu FG2011volume11 FG201102index html Hajja Mowaffaq Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle Mathematical Gazette 96 July 2012 315 317 Enlaces externos EditarWeisstein Eric W Incenter En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Encyclopedia of Triangle Centers Empresa de Transformacion Digital Incentro Datos Q10614739 Multimedia Incenter Obtenido de https es wikipedia org w index php title Incentro amp oldid 138763146, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, 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