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Una relacion binaria R es el subconjunto de los elementos del producto cartesiano A1 A2 displaystyle A 1 times A 2 que cumplen una determinada condicion Si los pares ordenados 2a 2 14 10 b2 2 10 b 2 son iguales Taxonomia de las relaciones binariasEn el grafico ilustrativo de la taxonomia de las relaciones binarias se pasa de las definiciones mas generales a las mas especificas siguiendo el sentido dependiente de las flechas ClasificacionLa importancia en matematicas de las relaciones binarias se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos tanto numericos como no numericos se hace de dos en dos elementos tanto si son elementos de un unico conjunto o de dos conjuntos distintos en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relacion binaria Emplearemos este esquema para ver estos casos En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogeneas de las heterogeneas En las primeras la relacion binaria se establece entre los elementos de un unico conjunto por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos lo que da lugar a operaciones o funciones matematicas de calculo Una relacion homogenea puede ser tratada como heterogenea con los mismos subtipos pero no al contrario Relacion homogenea Una relacion binaria R es homogenea si los conjuntos son iguales R a1 a2 a1 a2 A1 A2 A1 A2 displaystyle R a 1 a 2 a 1 a 2 in A 1 times A 2 land A 1 A 2 Dado que A1 displaystyle A 1 y A2 displaystyle A 2 son el mismo conjunto se representa como R a1 a2 a1 a2 A A displaystyle R a 1 a 2 a 1 a 2 in A times A O bien R a1 a2 a1 a2 A2 displaystyle R a 1 a 2 a 1 a 2 in A 2 Relacion heterogenea Una relacion binaria R es heterogenea si los conjuntos no son iguales R a1 a2 a1 a2 A1 A2 A1 A2 displaystyle R a 1 a 2 a 1 a 2 in A 1 times A 2 land A 1 neq A 2 Conceptos previosPar ordenado Dados los conjuntos A1 displaystyle A 1 y A2 displaystyle A 2 se describe el par ordenado a1 a2 displaystyle a 1 a 2 que cumple a1 A1 displaystyle a 1 in A 1 a2 A2 displaystyle a 2 in A 2 Se representa como A1 A2 a1 a2 a1 A1 a2 A2 displaystyle A 1 times A 2 a 1 a 2 a 1 in A 1 land a 2 in A 2 Se lee como El producto cartesiano A1 A2 displaystyle A 1 times A 2 es el subconjunto de los pares ordenados a1 a2 displaystyle a 1 a 2 tal que a1 displaystyle a 1 pertenece a A1 displaystyle A 1 y a2 displaystyle a 2 pertenece a A2 displaystyle A 2 Producto cartesiano a 1 a 2 a 3 a b 1 b 2 b 3 b c 1 c 2 c 3 c A1 A2123 displaystyle begin array r ccc hline a amp 1 a amp 2 a amp 3 a b amp 1 b amp 2 b amp 3 b c amp 1 c amp 2 c amp 3 c hline A 1 times A 2 amp 1 amp 2 amp 3 hline end array Definidos los conjuntos A1 1 2 3 displaystyle A 1 1 2 3 A2 a b c displaystyle A 2 a b c El producto cartesiano A1 A2 displaystyle A 1 times A 2 se describe en la tabla adjunta La relacion binaria R a1 a2 displaystyle R a 1 a 2 queda definida como A1 A2 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 2 c 3 a 3 b 3 c displaystyle A 1 times A 2 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 2 c 3 a 3 b 3 c Relacion binaria homogeneaDado un unico conjunto A a b c d displaystyle A a b c d la relacion binaria R queda determinada como R A2 displaystyle R subset A 2 R a b b c c d d d d b b a displaystyle R a b b c c d d d d b b a Una forma de representar el producto cartesiano es R A A displaystyle R A rightarrow A Tomando como conjunto inicial y final a A displaystyle A se asocia un elemento inicial a uno final dentro de un mismo conjunto A displaystyle A determinando una operacion matematica teniendo siempre en cuenta que si bien el conjunto inicial y final son el mismo la relacion es unidireccional Si el elemento inicial esta relacionado con el elemento final necesariamente no implica que el elemento final este relacionado con el elemento inicial En este caso el analisis de la relacion binaria se hace segun los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogeneas Representacion de una relacion binaria como subconjunto del producto cartesiano Dado el producto A A displaystyle A times A de pares ordenados x y donde x y pertenecen a A la relacion binaria sera el subconjunto de A A displaystyle A times A que contiene todos los pares de elementos relacionados d a d b d c d d d c a c b c c c d c b a b b b c b d b a a a b a c a d a A A a b c d Si el producto A A displaystyle A times A es A A displaystyle A times A displaystyle a a a b a c a d displaystyle a a a b a c a d b a b b b c b d displaystyle b a b b b c b d c a c b c c c d displaystyle c a c b c c c d d a d b d c d d displaystyle d a d b d c d d displaystyle el conjunto R de la relacion binaria se representa R a b b a b c c d d b d d displaystyle R a b b a b c c d d b d d Notese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial y en el eje vertical el conjunto final Propiedad de la relacion binaria homogenea Articulo principal Propiedad de la relacion binaria homogenea Una relacion binaria puede tener ciertas propiedades segun los pares ordenados que formen parte de dicha relacion o no formen parte de ella veamos algunas Propiedad reflexiva Articulo principal Relacion reflexiva Una relacion tiene la propiedad reflexiva si todo elemento esta relacionado consigo mismo Si no todos los elementos del conjunto estan relacionados consigo mismo se dice que la relacion no es reflexiva o es arreflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a in R Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A el par ordenado a a pertenece a la relacion binaria R Tengase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepcion si esta propiedad solo se da en algunos casos la relacion no es reflexiva a A a a R displaystyle nexists a in A a a notin R No existe ningun elemento a en A para el que el par ordenado a a no pertenezca a la relacion R Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales Propiedad irreflexiva Articulo principal Relacion irreflexiva Una relacion binaria tiene la propiedad irreflexiva tambien llamada antirreflexiva o antirrefleja si ningun elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo a A a a R displaystyle forall a in A a a notin R Que tambien puede expresarse a A a a R displaystyle nexists a in A a a in R No existe ningun elemento a en el conjunto A que cumpla que a a pertenezca a R Propiedad simetrica Articulo principal Relacion simetrica Una relacion binaria tiene la propiedad simetrica si se cumple que un par ordenado a b pertenece a la relacion entonces el par b a tambien pertenece a esa relacion a b A a b R b a R displaystyle forall a b in A a b in R quad longrightarrow quad b a in R Para todo par ordenado a b que pertenezca a R implica que el par b a tambien pertenece a R tengase en cuenta que si el par a b no pertenece a la relacion el par b a tampoco tiene que pertenecer a esa relacion a b A a b R b a R displaystyle nexists a b in A a b in R quad land quad b a notin R No existe ningun par ordenado a b que pertenezca a R y que el par b a no pertenezca a R Propiedad antisimetrica Articulo principal Relacion antisimetrica Una relacion binaria se dice que tiene la propiedad antisimetrica si los pares ordenado a b y b a pertenecen a la relacion entonces a b a b A a b R b a R a b displaystyle forall a b in A Big a b in R quad land quad b a in R Big quad longrightarrow quad a b Dicho de otra manera no existen los elementos a b de A que cumplan las condiciones a esta relacionado con b b esta relacionado con a a y b son distintos a b A a b R b a R a b displaystyle nexists a b in A a b in R quad land quad b a in R quad land quad a neq b Propiedad transitiva Articulo principal Relacion transitiva Una relacion binaria tiene la propiedad transitiva cuando dado los elementos a b c del conjunto si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c entonces a esta relacionado con c a b c A a b R b c R a c R displaystyle forall a b c in A Big a b in R quad land quad b c in R Big quad longrightarrow quad a c in R Propiedad intransitiva Articulo principal Relacion intransitiva Una relacion binaria tiene la propiedad intransitiva cuando dado los elementos a b c del conjunto si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c entonces a no esta relacionado con c a b c A a b R b c R a c R displaystyle forall a b c in A Big a b in R quad land quad b c in R Big quad longrightarrow quad a c notin R Propiedad total Articulo principal Relacion total Una relacion binaria se dice que es total si para todo elemento del conjunto a b o a esta relacionado con b o b esta relacionado con a esto es el grafo de la relacion es conexo a b A a b R b a R displaystyle forall a b in A a b in R quad lor quad b a in R Clases de las relaciones binarias homogenea Partiendo de las propiedades que una relacion binaria homogeneas puede tener se pueden diferenciar algunas por su especial interes Relacion reflexiva La propiedad reflexiva de una relacion binaria es el inicio para los casos mas elaborados tengase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados por su poca importancia en los casos mas generales Las relaciones reflexivas son las definidas asi Dado un conjunto A y una relacion binaria R entre sus elementos R a b A2 R a b displaystyle R a b in A 2 quad R a b Se dice que R es relacion reflexiva si cumple 1 La propiedad reflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a in R Todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo El caso mas claro de propiedad reflexiva es la de igualdad matematica asi dado un conjunto de numeros los naturales por ejemplo y la propiedad de igualdad entre numeros tenemos que todo numero natural es igual a si mismo Dado un conjunto A formado por los siguientes elementos A a b c d displaystyle A a b c d Y una relacion R entre los elementos del conjunto definida asi R a a a b b b b c c c d b d d displaystyle mathbb R Big a a a b b b b c c c d b d d Big Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos terminos iguales pertenecen a la relacion a a R b b R c c R d d R displaystyle a a in mathbb R quad b b in mathbb R quad c c in mathbb R quad d d in mathbb R Luego la relacion R es reflexiva La relacion R tambien se puede representar en coordenadas cartesianas la funcion identidad En el eje horizontal abscisas representamos el conjunto inicial de izquierda a derecha y en el eje vertical ordenadas el conjunto final de abajo arriba si un determinado par pertenece a la relacion se coloca una cruz en la casilla correspondiente si no pertenece se deja en blanco representando de este modo en coordenadas cartesianas la relacion binaria En la diagonal principal inferior izquierda superior derecha corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas la relacion es reflexiva Como puede verse en el diagrama la relacion estudiada es reflexiva dado que Para todo elemento e del conjunto A el par ordenado e e pertenece a la relacion R En cualquiera de las tres formas de representacion vistas enumeracion de pares ordenados donde los pares e e pertenecen a la relacion el diagrama sagital con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto o en coordenadas cartesianas donde hay cruces en la diagonal principal en todos los casos se representa una relacion reflexiva en la que todo elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo Relacion no reflexiva Los casos mas estudiados de relaciones binarias homogeneas son las que cumplen la propiedad reflexiva una relacion que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva un caso particular de relacion no reflexiva son las relaciones irreflexivas en las que ningun elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo Puede verse que si en una relacion binaria algunos elementos estan relacionados consigo mismo y otros no la relacion no es reflexiva y tampoco es irreflexiva que se puede denominar arreflexiva Ver diagrama Relacioneshomoge neas reflexivasnoreflexivas irreflexivasarreflexivas displaystyle Relaciones homog acute e neas begin cases reflexivas no reflexivas begin cases irreflexivas arreflexivas end cases end cases Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas Dado un conjunto A y una relacion binaria R entre sus elementos R a b A2 R a b displaystyle R a b in A 2 quad R a b Se dice que R es relacion irreflexiva si cumple 1 La propiedad irreflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a notin R Todo elemento a de A no esta relacionado consigo mismo Tambien podemos decir que una relacion es irreflexiva si a A a a R displaystyle nexists a in A quad a a in R Una relacion es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a esta relacionado consigo mismo Dado el conjunto A a b c d displaystyle A a b c d y la relacion entre los elementos de este conjunto R a b b c d b displaystyle R Big a b b c d b Big Podemos ver que a a R b b R c c R d d R displaystyle a a notin R quad b b notin R quad c c notin R quad d d notin R Para todo elemento e del conjunto A el par ordenado e e no pertenece a la relacion R luego esta relacion en irreflexiva La representacion de la relacion en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relacion La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relacion el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente si una relacion es reflexiva tenemos que a A a a R displaystyle forall a in A a a in R y si es irreflexiva se cumple a A a a R displaystyle forall a in A a a notin R Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones El razonamiento contrario no es cierto dado que una relacion binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultaneamente Una relacion binaria es no reflexiva si a A a a R displaystyle exists a in A quad a a notin R Y una relacion es no irreflexiva cuando a A a a R displaystyle exists a in A quad a a in R Estas dos condiciones son perfectamente compatibles dando lugar a una relacion binaria no reflexiva y no irreflexiva a A a a R b A b b R displaystyle begin cases exists a in A quad a a notin R exists b in A quad b b in R end cases veamos un ejemplo dado el conjunto A a b c d displaystyle A a b c d En la que se ha definido la relacion binaria R a a a b b c c c d b displaystyle R Big a a a b b c c c d b Big Podemos ver que a a R c c R displaystyle a a in R quad c c in R Y tambien que b b R d d R displaystyle b b notin R quad d d notin R Luego la relacion no es reflexiva y tampoco es irreflexiva Si representamos la relacion binaria en coordenadas cartesianas podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa luego la relacion no es reflexiva y tampoco estan todas en blanco luego tampoco es irreflexiva esto es un relacion binaria no reflexiva y no irreflexiva al darse estas dos condiciones simultaneamente en una misma relacion En resumen podemos diferenciar tres clases de relaciones Relaciones reflexivas Relaciones irreflexivas Relaciones arreflexivas Dado que como ya se ha mencionado una relacion no puede ser reflexiva e irreflexiva simultaneamente pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultaneamente Relacion de dependencia Articulo principal Relacion de dependencia Una relacion binaria es una relacion de dependencia si es reflexiva y simetrica Dado un conjunto A y una relacion binaria R entre sus elementos R a b A2 R a b displaystyle R a b in A 2 quad R a b Se dice que R es relacion de dependencia si cumple 1 La propiedad reflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a in R Todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo 2 La propiedad simetrica a b A a b R b a R displaystyle forall a b in A a b in R quad longrightarrow quad b a in R Si un elemento a esta relacionado con otro b entonces el b tambien esta relacionado con el a Asi por ejemplo si consideramos el conjunto de los numeros naturales y definimos la distancia D entre dos numeros como el valor absoluto de su diferencia a b N D a b displaystyle forall a b in mathbb N D a b y decimos que dos numeros naturales a b estan proximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido tenemos que la relacion binaria de proximidad es a b R a b N2 a b D displaystyle a b in R a b in mathbb N 2 quad land quad a b leq D es una relacion de dependencia dado que es reflexiva a N a a D displaystyle forall a in mathbb N a a leq D es simetrica a b N a b D b a D displaystyle forall a b in mathbb N a b leq D quad longrightarrow quad b a leq D relacion binaria de proximidad no es transitiva dado que a b c N a b D b c D a c D displaystyle forall a b c in mathbb N Big a b leq D quad land quad b c leq D Big quad nrightarrow quad a c leq D que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D Esta relacion de dependencia entre los numeros por su distancia no es una clase de equivalencia pero si denota una dependencia entre ellos Conjunto preordenado Articulo principal Conjunto preordenado Una relacion binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva Dado un conjunto A y una relacion binaria R entre sus elementos R a b A2 R a b displaystyle R a b in A 2 quad R a b Se dice que R define un conjunto preordenado si cumple 1 La propiedad reflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a in R Todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo 2 La propiedad transitiva a b c A a b R b c R a c R displaystyle forall a b c in A Big a b in R quad land quad b c in R Big longrightarrow quad a c in R Si un elemento a esta relacionado con otro b y este b con otro c entonces el elemento a esta tambien relacionado con el c Relacion de equivalencia Articulo principal Relacion de equivalencia Una relacion binaria es una relacion de equivalencia si es reflexiva simetrica y transitiva 1 Dado un conjunto A y una relacion binaria R entre sus elementos R a b A2 R a b displaystyle R a b in A 2 quad R a b Se dice que R es relacion de equivalencia si cumple 1 La propiedad reflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a in R Todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo 2 La propiedad simetrica a b A a b R b a R displaystyle forall a b in A a b in R longrightarrow quad b a in R Si un elemento a esta relacionado con otro b entonces el b tambien esta relacionado con el a 3 La propiedad transitiva a b c A a b R b c R a c R displaystyle forall a b c in A Big a b in R quad land quad b c in R Big longrightarrow quad a c in R Si un elemento a esta relacionado con otro b y este b con otro c entonces el elemento a esta tambien relacionado con el c Una relacion de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan Clases de equivalencia una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relacion de equivalencia divide al conjunto A entre ellos son disjuntos y la union de todos ellos es el conjunto A veamos un ejemplo En Aritmetica modular se define la operacion modulo como el resto de la division asi 5Mo d2 1 displaystyle 5 mathit M acute o d 2 1 6Mo d3 0 displaystyle 6 mathit M acute o d 3 0 7Mo d3 1 displaystyle 7 mathit M acute o d 3 1 el resto de dividir 5 entre 2 es 1 el resto de dividir 6 entre 3 es 0 el resto de dividir 7 entre 3 es 1 se dice que dos numeros son congruentes modulo n si al dividir cada uno de esos numeros por n dan el mismo resto 8 17 Mo d3 displaystyle 8 equiv 17 quad mathit M acute o d 3 el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2 La congruencia modular de grado n de los numeros naturales es una Relacion de equivalencia dado que es reflexiva a N a a Mo dn displaystyle forall a in mathbb N a equiv a quad mathit M acute o d n es simetrica a b N a b Mo dn b a Mo dn displaystyle forall a b in mathbb N a equiv b quad mathit M acute o d n longrightarrow quad b equiv a quad mathit M acute o d n y es transitiva a b c N a b Mo dn b c Mo dn a c Mo dn displaystyle forall a b c in mathbb N Big a equiv b quad mathit M acute o d n quad land quad b equiv c quad mathit M acute o d n Big longrightarrow quad a equiv c quad mathit M acute o d n Conjunto parcialmente ordenado Articulos principales Conjunto parcialmente ordenadoy Diagrama de Hasse Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relacion binaria R si la relacion R es reflexiva transitiva y antisimetrica Dado un conjunto A y una relacion binaria R entre sus elementos R a b A2 R a b displaystyle R a b in A 2 quad R a b Se dice que R define un conjunto parcialmente ordenado si cumple 1 La propiedad reflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a in R Todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo 2 La propiedad transitiva a b c A a b R b c R a c R displaystyle forall a b c in A Big a b in R quad land quad b c in R Big longrightarrow quad a c in R Si un elemento a esta relacionado con otro b y este b con otro c entonces el elemento a esta tambien relacionado con el c 3 La propiedad antisimetrica a b A a b R b a R a b displaystyle forall a b in A Big a b in R quad land quad b a in R Big longrightarrow quad a b Si los pares ordenado a b y b a pertenecen a la relacion R entonces a y b son iguales Tomando un conjunto A formado por ejemplo por los elementos A a b c displaystyle A a b c Se define el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A P A a b c a b a c b c a b c displaystyle P A Big a b c a b a c b c a b c Big A cada uno de estos subconjuntos los llamamos A1 displaystyle A 1 A2 a displaystyle A 2 a A3 b displaystyle A 3 b A4 c displaystyle A 4 c A5 a b displaystyle A 5 a b A6 a c displaystyle A 6 a c A7 b c displaystyle A 7 b c A8 a b c displaystyle A 8 a b c Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que estan relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo R Ai Aj P A Ai Aj displaystyle R Big A i A j in P A quad A i subseteq A j Big La relacion pertenencia entre los conjuntos potencia de A es un conjunto parcialmente ordenado al ser reflexiva Ai P A Ai Ai displaystyle forall A i in P A A i subseteq A i Transitiva Ai Aj Ak P A Ai Aj Aj Ak Ai Ak displaystyle forall A i A j A k in P A Big A i subseteq A j quad land quad A j subseteq A k Big longrightarrow quad A i subseteq A k Antisimetrica Ai Aj P A Ai Aj Aj Ai Ai Aj displaystyle forall A i A j in P A Big A i subseteq A j quad land quad A j subseteq A i Big longrightarrow quad A i A j Por lo que el conjunto de las partes de A respecto a la relacion binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado Esta relacion no es total dado que Ai Aj P A Ai Aj Aj Ai displaystyle neg forall A i A j in P A A i subseteq A j quad lor quad A j subseteq A i Que se denominan no comparables los pares de conjuntos no comparables son 1 a b R a b b a displaystyle 1 Big a b Big notin R quad a nsubseteq b land b nsubseteq a 2 a c R a c c a displaystyle 2 Big a c Big notin R quad a nsubseteq c land c nsubseteq a 3 b c R b c c b displaystyle 3 Big b c Big notin R quad b nsubseteq c land c nsubseteq b 4 a b c R a b c b c a displaystyle 4 Big a b c Big notin R quad a nsubseteq b c land b c nsubseteq a 5 b a c R b a c a c b displaystyle 5 Big b a c Big notin R quad b nsubseteq a c land a c nsubseteq b 6 c a b R c a b a b c displaystyle 6 Big c a b Big notin R quad c nsubseteq a b land a b nsubseteq c 7 a b a c R a b a c a c a b displaystyle 7 Big a b a c Big notin R quad a b nsubseteq a c land a c nsubseteq a b 8 a b b c R a b b c b c a b displaystyle 8 Big a b b c Big notin R quad a b nsubseteq b c land b c nsubseteq a b 9 a c b c R a c b c b c a c displaystyle 9 Big a c b c Big notin R quad a c nsubseteq b c land b c nsubseteq a c A la vista del diagrama los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial Conjunto acotado Articulo principal Acotado Articulo principal Elemento maximal y minimal Articulo principal Elemento maximo y minimo Para un conjunto A y una relacion binaria displaystyle precsim definida entre los elementos de A que expresaremos A displaystyle A precsim y la relacion la representamos x y A x y displaystyle x y in A quad x precsim y que se lee x antecede a y La no relacion se representa x y A x y displaystyle x y in A quad x not precsim y Si un elemento a esta relacionado con otro b y este b con otro c entonces el elemento a esta tambien relacionado con el c 3 La relacion R es antisimetrica a b A a b R b a R a b displaystyle forall a b in A Big a b in R quad land quad b a in R Big longrightarrow quad a b Si los pares ordenado a b y b a pertenecen a la relacion R entonces a y b son iguales 4 La relacion R es total a b A a b R b a R displaystyle forall a b in A a b in R quad lor quad b a in R Si para cualquiera dos elemento del conjunto a b o a esta relacionado con b o bien b esta relacionado con a Si tomamos el conjunto de los numeros enteros Z por ejemplo respecto a la relacion binaria entre sus elementos menor o igual podemos ver que es reflexiva a Z a a displaystyle forall a in mathbb Z a leq a es transitiva a b c Z a b b c a c displaystyle forall a b c in mathbb Z Big a leq b quad land quad b leq c Big longrightarrow quad a leq c es antisimetrica a b Z a b b a a b displaystyle forall a b in mathbb Z Big a leq b quad land quad b leq a Big longrightarrow quad a b y es total a b Z a b b a displaystyle forall a b in mathbb Z a leq b quad lor quad b leq a Conjunto con orden total y acotado Articulo principal Orden total Articulo principal Orden total acotado Articulo principal Conjunto bien ordenado Dado un conjunto A y una relacion binaria displaystyle precsim definida entre los elementos de A que expresaremos A displaystyle A precsim y la relacion se representa a b displaystyle a precsim b Se dice que se ha definido un orden total en el conjunto A si la relacion A displaystyle A precsim cumple las propiedades 1 Reflexiva 2 Antisimetrica 3 Transitiva 4 Es ademas una relacion total es decir se cumple que todos los elementos de un conjunto con orden total son comparables a b A a b b a displaystyle forall a b in A quad a precsim b quad lor quad b precsim a dd Dado un conjunto A en el que se ha definido una relacion binaria displaystyle precsim siendo A displaystyle A precsim un conjunto totalmente ordenado El elemento y de A que cumple y Aesma ximosi x A x y displaystyle y in A es m acute a ximo si quad forall x in A quad x precsim y Se denomina maximo y define una cota superior en A el elemento maximo es unico Si el conjunto A y la relacion binaria displaystyle precsim que expresaremos A displaystyle A precsim es un orden total y tiene maximo entonces es un conjunto con orden total y acotado superiormente Del mismo modo el elemento z de A que cumple z Aesmi nimosi x A z x displaystyle z in A es m acute imath nimo si quad forall x in A quad z precsim x Se denomina minimo y define una cota inferior en A el elemento minimo es unico Si el conjunto A y la relacion binaria displaystyle precsim que expresaremos A displaystyle A precsim es un orden total y tiene minimo entonces es un conjunto con orden total y acotado inferiormente Un conjunto con orden total solo se dice acotado si esta acotado superior e inferiormente Relacion binaria heterogeneaArticulo principal Correspondencia matematica Articulo principal Galeria de correspondencias matematicas Una relacion binaria entre dos conjuntos A y B se llama heterogenea cuando A es distinto de B R a b a b A B A B displaystyle R a b a b in A times B quad land quad A neq B Lo que tambien se llama correspondencia matematica 2 3 A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital en el cual se representan los dos conjuntos de la relacion binaria asociando los elementos de uno y otro conjunto con una flecha que sale del elemento origen y llega al elemento imagen en el diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras pintadas asociando a cada pincel la cara que esta pintada del mismo color Puede haber pinceles o caras del mismo color pero deben ser considerados como elementos distintos del conjunto si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la misma caracteristica color siendo elementos del conjunto diferentes En el diagrama podemos ver el conjunto inicial o dominio de pinceles P sobre el que esta definida la relacion P displaystyle P displaystyle Solo algunos elementos del conjunto inicial tienen asociado un elemento estos elementos forman el conjunto origen O displaystyle O displaystyle Y el conjunto final o codominio de caras pintadas C es C displaystyle C displaystyle Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjunto imagen I displaystyle I displaystyle La relacion binaria es la formada por los pares ordenados R displaystyle R displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle Una relacion binaria homogenea R a b a b A A displaystyle R a b a b in A times A Puede ser tratada como heterogenea considerando el conjunto inicial y final como distintos si lo que se esta tratando es una correspondencia con la misma validez que si los conjuntos serian distintos pudiendo realizar simultaneamente su analisis como relacion homogenea si es factible Propiedades de las relaciones binarias heterogenea Partiendo de una relacion binarias heterogenea R entre los conjunto A y B R A B displaystyle R A rightarrow B Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias Condicion de existencia de imagen ei La condicion de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a de A tiene al menos una imagen b en B a A b B a b R displaystyle forall a in A exists b in B quad land quad a b in R para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B a y b esten relacionado En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles P displaystyle P displaystyle y el C de las caras pintada C displaystyle C displaystyle Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada Condicion de existencia de origen eo La condicion de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un origen a en A b B a A a b R displaystyle forall b in B exists a in A quad land quad a b in R para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b estan relacionados Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura P displaystyle P displaystyle y el conjunto C de caras pintada C displaystyle C displaystyle Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen Condicion de unicidad de imagen ui La condicion de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que estan relacionados con algun b de B esta relacionado con un unico elemento b de B es decir a b1 R a b2 R b1 b2 displaystyle Big a b 1 in R quad land quad a b 2 in R Big longrightarrow quad b 1 b 2 si un elemento a de A esta relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son iguales Condicion de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen esta diferencia es importante En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P P displaystyle P displaystyle Y el conjunto final C de caras pintada C displaystyle C displaystyle Los pinceles que tienen una cara relacionada tienen una sola cara relacionada Condicion de unicidad de origen uo La condicion de unicidad de origen dice que los elementos b de B que estan relacionados con algun a de A esta relacionado solo con un unico elemento a de A es decir a1 b R a2 b R a1 a2 displaystyle Big a 1 b in R quad land quad a 2 b in R Big longrightarrow quad a 1 a 2 En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores P displaystyle P displaystyle y el conjunto final C de caras pintadas C displaystyle C displaystyle Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado solo tienen un pincel relacionado esto es un solo origen no todas las caras tienen un origen pero las que lo tienen tienen un solo origen Galeria de ejemplos Segun las cuatro condiciones expuestas cada una de ellas independiente de las demas podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T y como conjunto final el de pinceles P asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color CorrespondenciaExistencia imagen noUnicidad imagen noExistencia origen noUnicidad origen no CorrespondenciaExistencia imagen siUnicidad imagen noExistencia origen noUnicidad origen no C UnivocaExistencia imagen noUnicidad imagen siExistencia origen noUnicidad origen no AplicacionExistencia imagen siUnicidad imagen siExistencia origen noUnicidad origen noCorrespondenciaExistencia imagen noUnicidad imagen noExistencia origen siUnicidad origen no CorrespondenciaExistencia imagen siUnicidad imagen noExistencia origen siUnicidad origen no C UnivocaExistencia imagen noUnicidad imagen siExistencia origen siUnicidad origen no A SobreyectivaExistencia imagen siUnicidad imagen siExistencia origen siUnicidad origen noCorrespondenciaExistencia imagen noUnicidad imagen noExistencia origen noUnicidad origen si CorrespondenciaExistencia imagen siUnicidad imagen noExistencia origen noUnicidad origen si C BiunivocaExistencia imagen noUnicidad imagen siExistencia origen noUnicidad origen si A InyectivaExistencia imagen siUnicidad imagen siExistencia origen noUnicidad origen siCorrespondenciaExistencia imagen noUnicidad imagen noExistencia origen siUnicidad origen si CorrespondenciaExistencia imagen siUnicidad imagen noExistencia origen siUnicidad origen si C BiunivocaExistencia imagen noUnicidad imagen siExistencia origen siUnicidad origen si A BiyectivaExistencia imagen siUnicidad imagen siExistencia origen siUnicidad origen siClases de las relaciones binarias heterogenea Articulo principal Correspondencia matematica Partiendo de las caracteristicas de las relaciones binarias heterogeneas podemos diferenciar los siguientes casos Correspondencia univoca Articulo principal Correspondencia univoca Una correspondencia es univoca si cumple la condicion de unicidad de imagen Dada una relacion binarias heterogenea R entre los conjunto A y B R A B displaystyle R A rightarrow B Esta relacion es una correspondencia univoca si cumple 1 Unicidad de imagen se dice que cumple la condicion de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen tienen una sola imagen a b1 R a b2 R b1 b2 displaystyle Big a b 1 in R quad land quad a b 2 in R Big quad longrightarrow quad b 1 b 2 Esta condicion en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada univoca Correspondencia biunivoca Articulo principal Correspondencia biunivoca Una correspondencia es biunivoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y unicidad de origen Dada una relacion binarias heterogenea R entre los conjunto A y B R A B displaystyle R A rightarrow B Esta relacion es una correspondencia biunivoca si cumple 1 Unicidad de imagen se dice que cumple la condicion de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen tienen una sola imagen a b1 R a b2 R b1 b2 displaystyle Big a b 1 in R quad land quad a b 2 in R Big quad longrightarrow quad b 1 b 2 2 Unicidad de origen se dice que cumple la condicion de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen tienen un solo origen a1 b R a2 b R a1 a2 displaystyle Big a 1 b in R quad land quad a 2 b in R Big quad longrightarrow quad a 1 a 2 Aplicacion Articulo principal Aplicacion matematica Una correspondencia R A B displaystyle R A to B se denomina aplicacion si todo elemento de A admite una unica imagen en B 4 5 3 6 7 8 esto es si cumple la condicion de unicidad de imagen y de existencia de imagen Una aplicacion f de A en B siendo A y B dos conjuntos cualesquiera es una correspondencia entre A y B total y univoca 9 segun otra nomenclatura Si la aplicacion la representamos como R tendremos R A Ba b R a displaystyle begin array rcl R A amp longrightarrow amp B a amp longmapsto amp b R a end array por la que definimos una aplicacion que a cada elemento a de A se le asigna un unico b de B a A b B b R a displaystyle forall a in A quad exists b in B quad b R a Para todo a de A se cumple que existe un unico b de B tal que b es el resultado R a El termino funcion se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numericos 10 Es usual hablar de aplicacion en lugar de funcion reservando esta ultima expresion habitualmente para el caso en el cual los conjuntos A y B son numericos Si A y B son conjuntos de puntos se suele hablar de transformacion geometrica 11 Una funcion es el termino usado para indicar la relacion o correspondencia entre dos o mas cantidades 12 En ingles una aplicacion se llama map 13 Dada una relacion binarias heterogenea R entre los conjunto A y B R A B displaystyle R A rightarrow B Esta relacion es una aplicacion si cumple 1 Unicidad de imagen se dice que cumple la condicion de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen tienen una sola imagen a b1 R a b2 R b1 b2 displaystyle Big a b 1 in R quad land quad a b 2 in R Big quad longrightarrow quad b 1 b 2 2 Existencia de imagen se dice que cumple la condicion de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B a A b B a b R displaystyle forall a in A exists b in B quad land quad a b in R Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicacion Aplicacion inyectiva Articulo principal Aplicacion inyectiva Una correspondencia es una aplicacion inyectiva si cumple la condicion de unicidad de imagen existencia de imagen y unicidad de origen Dada una relacion binarias heterogenea R entre los conjunto A y B R A B displaystyle R A rightarrow B Esta relacion es una aplicacion inyectiva si cumple 1 Unicidad de imagen se dice que cumple la condicion de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen tienen una sola imagen a b1 R a b2 R b1 b2 displaystyle Big a b 1 in R quad land quad a b 2 in R Big quad longrightarrow quad b 1 b 2 2 Existencia de imagen se dice que cumple la condicion de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B a A b B a b R displaystyle forall a in A exists b in B quad land quad a b in R 3 Unicidad de origen se dice que cumple la condicion de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen tienen un solo origen a1 b R a2 b R a1 a2 displaystyle Big a 1 b in R quad land quad a 2 b in R Big quad longrightarrow quad a 1 a 2 Como puede verse una aplicacion que cumple la condicion de unicidad de origen es una Aplicacion inyectiva De otra forma no tan usual podemos decir que una correspondencia biunivoca que cumpla la condicion de existencia de imagen tambien es una aplicacion inyectiva Aplicacion sobreyectiva Articulo principal Aplicacion sobreyectiva Una correspondencia se llama Aplicacion sobreyectiva si cumple la condicion de unicidad de imagen existencia de imagen y existencia de origen Dada una relacion binarias heterogenea R entre los conjunto A y B R A B displaystyle R A rightarrow B Esta relacion es una aplicacion sobreyectiva si cumple 1 Unicidad de imagen se dice que cumple la condicion de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen tienen una sola imagen a b1 R a b2 R b1 b2 displaystyle Big a b 1 in R quad land quad a b 2 in R Big quad longrightarrow quad b 1 b 2 2 Existencia de imagen se dice que cumple la condicion de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B a A b B a b R displaystyle forall a in A exists b in B quad land quad a b in R 3 Existencia de origen se dice que cumple la condicion de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A b B a A a b R displaystyle forall b in B exists a in A quad land quad a b in R Se puede decir que una aplicacion sobreyectiva es una aplicacion que cumple la condicion de existencia de origen Aplicacion biyectiva Articulo principal Aplicacion biyectiva Una correspondencia es una aplicacion biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de imagen existencia de imagen unicidad de origen y existencia de origen Dada una relacion binarias heterogenea R entre los conjunto A y B R A B displaystyle R A rightarrow B Esta relacion es una aplicacion biyectiva si cumple 1 Unicidad de imagen se dice que cumple la condicion de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen tienen una sola imagen a b1 R a b2 R b1 b2 displaystyle Big a b 1 in R quad land quad a b 2 in R Big quad longrightarrow quad b 1 b 2 2 Existencia de imagen se dice que cumple la condicion de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B a A b B a b R displaystyle forall a in A exists b in B quad land quad a b in R 3 Unicidad de origen se dice que cumple la condicion de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen tienen un solo origen a1 b R a2 b R a1 a2 displaystyle Big a 1 b in R quad land quad a 2 b in R Big quad longrightarrow quad a 1 a 2 4 Existencia de origen se dice que cumple la condicion de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A b B a A a b R displaystyle forall b in B exists a in A quad land quad a b in R Una Aplicacion es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva PropiedadesLas relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades R sera Relacion reflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a in R Relacion irreflexiva a A a a R displaystyle forall a in A a a notin R Relacion simetrica a b A a b R b a R displaystyle forall a b in A a b in R Rightarrow b a in R Relacion asimetrica a b A a b R b a R, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca, español, española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos, móvil, teléfono, android, ios, apple, teléfono móvil, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, ordenador
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