Elemento maximal y minimal
En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A que no está por debajo (en el orden correspondiente) de ningún otro. El término elemento minimal se define de manera dual. En la figura, dado el conjunto A, los elementos d, h y l son maximales de A, los elementos a, h y k son minimales, los elementos maximal y minimal no tienen por qué ser únicos en el conjunto. Además, el elemento h de la figura es maximal y minimal al mismo tiempo.
Definición
Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado; m ∈ P es un elemento maximal de P si el único x ∈ P tal que m ≤ x es x = m.
La definición de elemento minimal se obtiene reemplazando ≤ por ≥.
Propiedades
A primera vista parecería que m debería ser un elemento máximo, lo que no es siempre cierto: la definición de elemento maximal es algo más débil. De hecho, pueden existir elementos maximales sin que haya un máximo. La razón es que, en general, ≤ es sólo un orden parcial en P; si m es un maximal y p ∈ P, cabe la posibilidad de que ni p ≤ m ni m ≤ p, con lo que m no sería máximo. Esto permite, además, que haya más de un elemento maximal en un conjunto.
Sin embargo, si m ∈ P es maximal y P tiene un máximo, se cumplirá que máx(P) ≤ m; por definición de máximo se debe tener m ≤ máx(P) y por lo tanto m = máx(P); en otras palabras, un máximo, si existe, es también el único maximal.
No es difícil ver que si ≤ es un orden total en P, las nociones de máximo y maximal coinciden: sean m ∈ P un elemento maximal, y p ∈ P arbitrario; por la condición de orden total, o bien p ≤ m o bien m ≤ p; en el segundo caso se tendría p = m por definición de maximal, con lo cual p ≤ m, y por consiguiente, m = máx(P).
No siempre existen los elementos maximales, ni siquiera en el caso en que P esté totalmente ordenado.
Ejemplos
- Sea P = [0, ∞[ ⊆ R. Para todo m ∈ P se tiene x = m + 1 ∈ P pero m < x, con lo que ningún m puede ser maximal.
- Sea P = {q ∈ Q | 1 ≤ q² ≤ 2}; puesto que la raíz cuadrada de 2 no es racional, este conjunto no tiene elemento maximal.
- Sea A un conjunto con al menos dos elementos, y sea P = {{a} | a∈A}, parcialmente ordenado por inclusión. Todo elemento de P es a la vez maximal y minimal, y para cualesquiera {a}, {b} ∈ P distintos, ni {a} ⊆ {b}, ni {b} ⊆ {a} (con lo que no hay elemento máximo).
- Sea P = {(x,y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4}, tomando (a, b) ≤ (c, d) si a ≤ c y b ≤ d. Entonces P tiene un único elemento maximal, (4,4), que a la vez es máximo.
Véase también
- Elemento maximal y minimal
- Elemento máximo y mínimo
Referencias
- Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory (en inglés) (2da edición). Estados Unidos: American Mathematical Society, Colloquium Publications. pp. 423. ISBN 0-8218-1025-1. ISSN 0065-9258. Consultado el 21 de noviembre de 2010. (requiere registro).