Relación simétrica

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica^[1]​^[2]​^[3]​ cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con él, a través de la misma "R". Es lo mismo tener (a,b) que tener (b,a).

Es decir,

${\displaystyle \forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad yRx}$^[4]​

En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de simetría.

La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).

Cuando una relación es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con el primero, entonces se dice que es asimétrica, lo que denotamos formalmente por:

${\displaystyle \forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad \neg (yRx)}$

En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de asimetría.

Representación

Sea R una relación simétrica o asimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación	Relación simétrica	Relación asimétrica
Como pares ordenados	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R}$	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R}$
Como matriz de adyacencia	Matriz ${\displaystyle M\,}$  cuya transpuesta ${\displaystyle M^{t}\,}$  es tal que ${\displaystyle M^{t}=M\,.}$	Matriz ${\displaystyle M\,}$  cuya diagonal solo tiene ceros, es decir, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,}$  y además ${\displaystyle M+M^{t}\,}$  produce una matriz simétrica.
Como grafo	Es un grafo que se puede representar como grafo no dirigido.	Es un grafo dirigido sin bucles ni ciclos.

Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

• Sea ${\displaystyle (A,=)\,}$ , ${\displaystyle =\,}$  (la igualdad matemática), es simétrica.
• Sea ${\displaystyle (A,\cup )}$ , ${\displaystyle \cup }$  es simétrica.
• "Estar casado con" es una relación simétrica, mientras que "ser más alto que" no lo es.
• Sea ${\displaystyle (A,>)\,}$ , ${\displaystyle >\,}$  ("mayor estricto que") es asimétrica, al igual que ${\displaystyle <\,}$  ("menor estricto que").
• Sea ${\displaystyle (A,\subset )}$ , ${\displaystyle \subset }$  (la inclusión estricta de conjuntos), es asimétrica.

Asimetría ${\displaystyle \neq }$ Antisimetría

 

La simetría no es lo opuesto de la antisimetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Véase también

• Relación reflexiva e irreflexiva
• Relación antisimétrica
• Relación transitiva
• Relación total
• Relación bien fundada

Referencias

1. Villalpando Becerra, José Francisco; García Sandoval, Andrés (2014). «3.5». Matemáticas Discretas (1 edición). Grupo Editorial Patria. p. 66. ISBN 978-607-438-925-8. 
2. Caicedo Barrero, Alfredo; Wagner de Gardia, Graciela; Me¡éndez Parra, Rosa María (2010). «2.4». Introducción a la Teoría de Grafos (1 edición). Ediciones Elizcom. p. 20. ISBN 978-958-993-257-5. 
3. Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 118. ISBN 978-970-260-637-6. 
4. Introducción al Álgebra - Apunte del curso. Oficina de apuntes del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile. 2013. p. 55. 

•   Datos: Q621461