Par ordenado
En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).
Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a los elementos a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.
Los pares ordenados también se denominan tuplas o vectores dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.
El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.
Definición
La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:
|
Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.
Generalizaciones
Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:
En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.
Definición conjuntista
La condición de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad matemática relevante.[1] Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se define par ordenado como un conjunto particular de tal manera que su relación de igualdad sea la correcta.
La definición conjuntista habitual, debida a Kuratowski, es:[2]
Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado .[3]
Esquemas sustitutivos
La definición conjuntista de Kuratowski no es la única existente en la literatura matemática:
Referencias
- Véase por ejemplo Moschovakis, 2006, p. 35, donde se afirma que Adoptamos ahora una operación (x, y) concreta específica [...] quizás el par de Kuratowski [...] quizá alguna otra: a partir de aquí podemos olvidarnos de la definición concreta elegida, lo único que importa es que la operación "par" satisface [las propiedades básicas de los pares ordenados].
- ↑ Introducción de Wiener, 1967
- Moschovakis, 2006, p. 35.
- Wiener, 1967
- Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notes on set theory (en inglés). Birkhäuser. ISBN 9780387287225.
- Wiener, Norbert (1967) [1914]. «A simplification of the logic of relations». En Jean van Heijenoort, ed. From Frege to Gödel (en inglés). Cambridge University Press. LCCN 67010905.
- Enderton, Herbert (1977) [1977]. «3 Relations And Functions». En Elsevier Science, ed. Elements of ser theory (en inglés). Academic Press. Plantilla:0122384407.
Bibliografía
- Kuratowski, Kazimierz (1921). (PDF). Fundamenta Mathematicae (en francés) 2 (1): 161-171. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2013. Consultado el 23 de noviembre de 2014. El artículo con la definición original del par de Kuratowski.