Figura isotoxal
En geometría, un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro), o un teselado, es isotoxal o transitivo de aristas si sus simetrías actúan transitivamente en sus aristas.[1] Informalmente, esto significa que solo hay un tipo de arista en el objeto: dadas dos aristas, existe una traslación, rotación y/o reflexión que permitirá mover una arista a la posición inicial de la otra, mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.
El término isotoxal se deriva del griego τοξον que significa arco.
Polígonos isotoxales
Un polígono isotoxal es un polígono equilátero, pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxales. Los duales de los polígonos isotoxales son figuras isogonales.
En general, un 2n-gono isotoxal tendrá Dn (*nn) simetría diedral. Un rombo es un polígono isotoxal con simetría D2 (*22).
Todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, etc.) son isotoxales, tienen el doble del orden de simetría mínimo: un n-gono regular tiene una simetría diedral Dn (*nn). Un 2n-gono regular es un polígono isotoxal y puede marcarse con vértices coloreados alternativamente, eliminando la línea de reflexión a través de los puntos medios.
| D2 (*22) | D3 (*33) | D4 (*44) | D5 (*55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rombo | Triángulo equilátero | Hexágono cóncavo | Hexágono autointersecante | Octógono convexo | Pentágono regular | Pentagrama (regular) autointersecante | Decagrama autointersecante | |
Poliedros y teselados isotoxales
Los poliedros regulares son isohédricos (con caras transitivas), isogonales (con vértices transitivos) e isotoxales. Los poliedros cuasirregulares, como el cuboctaedro o el icosidodecaedro, son isogonales e isotoxales, pero no son isoédricos; sus duales, incluyendo el rombododecaedro y el triacontaedro rómbico, son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.
| Poliedro cuasirregular | Poliedro cuasirregular dual | Poliedro cuasirregular estrellado | Poliedro cuasirregular estrellado dual | Teselado cuasirregular | Teselado cuasirregular dual |
|---|---|---|---|---|---|
| El cuboctaedro es un poliedro isogonal e isotoxal | El rombododecaedro es un poliedro isoedral e isotoxal | El gran icosidodecaedro es un poliedro estrellado isogonal e isotoxal | El gran triacontaedro rómbico es un poliedro estrellado isoedral e isotoxal | El teselado trihexagonal es isogonal e isotoxal | El teselado rómbico es isoedral e isotoxal, con simetría p6m (*632) |
No todos los poliedros o teselados bidimensionales construidos a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el familiar balón de fútbol) tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva cada arista hexágono-hexágono hacia una arista hexágono-pentágono.
Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diedral para todas sus aristas.
Hay 9 poliedros convexos isotoxales coincidentes con los sólidos platónicos; otros 8 integrados por los sólidos de Kepler–Poinsot; y 6 más que forman parte de los poliedros estrellados cuasirregulares (3|pq) y sus duales.
Hay al menos 5 teselados poligonales del plano euclidiano que son isotoxales, e innumerables teselados isotoxales poligonales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff de los grupos de teselados hiperbólicos regulares {p,q} y (p q r) no rectos.
Véase también
Referencias
- Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics & Its History (1986 : University of Calgary). The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History. Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. pp. 43 de 367. ISBN 9780883855164. Consultado el 24 de junio de 2018.
Bibliografía
- Peter R. Cromwell, "Polyhedra", Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitividad
- Grünbaum, Branko; and Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 mosaicos Isotoxal, 309-321)
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), «Uniform polyhedra», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 246: 401-450, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003.