Poliedro convexo

Un poliedro convexo es un poliedro en el que para cualquier par de puntos de este, el segmento que los une está contenido en él (es decir, un poliedro que simultáneamente sea un conjunto convexo). Un poliedro convexo es por tanto un politopo tridimensional y convexo.

Un poliedro convexo.

Definición 1

Un poliedro es convexo si cumple que, si para tres puntos no alineados de cualquiera de sus caras se traza un plano, el poliedro queda totalmente en uno de los semiespacios y en el plano trazado.^[1]​

Definición 2

 

Poliedros convexos: son aquellos que poseen 4 o más caras poliédricas intermedias, las cuales pueden ser colocadas una a unas en un mismo plano.

Para todo poliedro convexo de s caras existe una matriz de s filas y tres columnas M y un vector b de s componentes:

${\displaystyle \mathbf {M} \in {\mathcal {M}}_{s\times 3}(\mathbb {R} ),\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{s}}$ 

tales que las coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x,y,z)}$  de los puntos de su interior satisfacen el sistema de desigualdades lineales:

${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} ,\qquad \mathrm {i.e.} \sum _{j}M_{ij}r_{j}\leq b_{i}}$ 

donde ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ . Cada una de las s ecuaciones exige que los puntos se encuentren en el lado correcto del plano que contiene a la cara. Las soluciones ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$  de un sistema de la forma ${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} }$  cuando los elementos de la matriz ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ' y del vector ${\displaystyle \mathbf {b} }$  son números reales arbitrarios no es siempre un poliedro. Para serlo tanto ${\displaystyle \mathbf {M} }$  como ${\displaystyle \mathbf {b} }$  han de satisfacer ciertas condiciones.

Relación fundamental

 

Cuboedro Triangular:

Para un poliedro convexo con un número finito de vértices, la característica de Euler debe coincidir con la de la esfera, es válida la siguiente fórmula entre el número de vértices (V), aristas (A) y caras (C):

${\displaystyle C+V-A=2\,}$ 

Referencias

1. A. Pogorelov Geometry Mir Publishers Moscow (1987)

Véase también

• Programación lineal

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Poliedro convexo». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Komei Fukuda,

•   Datos: Q3753221
•   Multimedia: Convex polyhedra