Núcleo (matemática)

En matemática y especialmente en álgebra lineal, el núcleo o kernel de un operador lineal A es el conjunto de todos los vectores cuya imagen bajo A sea el vector nulo.

Núcleo e imagen de un operador lineal L: V → W.

${\displaystyle \ker A=\{\mathbf {\vec {v}} \in V:A\mathbf {\vec {v}} =\mathbf {0} \}}$

El núcleo de A se denota como Ker A o Nucl A, y es un subespacio vectorial del dominio de A.

Ejemplos

Considérese la función f(x, y)= x−y, definida para cualquier par de números reales (x,y), que es lineal ya que se cumple que

${\displaystyle f(x+z,y+w)=(x+z)-(y+w)=(x-y)+(z-w)=f(x,y)+f(z,w)}$ .

Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden, en concreto el conjunto:

${\displaystyle \{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:\forall x\in \mathbb {R} \}}$ 

que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta ${\displaystyle y=x}$  en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ .

En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3), la forma lineal dada por el producto escalar ${\displaystyle a\cdot x}$  tiene por núcleo los vectores que satisfacen la ecuación matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0}$ ,

que equivale a la ecuación lineal:

${\displaystyle x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0}$  .

La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left((-2,1,0),(-3,0,1)\right)}$ .

Propiedades

Dado un operador lineal ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  con matriz asociada A, el núcleo es un subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , cuya dimensión se denomina nulidad de A, que coincide con el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Véase también

• Conjunto imagen.
• Teorema rango-nulidad.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Kernel». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Kernel of a linear mapping en PlanetMath.

•   Datos: Q2914509