Teorema rango-nulidad

En matemáticas, el teorema rango–nulidad del álgebra lineal, en su forma más sencilla, habla de la relación entre el número de columnas de una matriz, su rango y su nulidad. Específicamente, si A es una matriz de orden m x n (con m filas y n columnas) sobre algún cuerpo, entonces^[1]​

Teorema rango-nulidad.
T : V → W. La dimensión del núcleo de T más la dimensión de la imagen de T es igual a la dimensión del espacio vectorial de partida V.

${\displaystyle \operatorname {rgo} (A)+\operatorname {nul} (A)=n.}$

Esto aplica también a aplicaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión finita. Sean V y W espacios vectoriales sobre algún cuerpo y sea T : V → W una aplicación lineal. Entonces el rango de T es la dimensión de la imagen de T (im T) y la nulidad de T es la dimensión del núcleo de T (ker T), así que tenemos

${\displaystyle \operatorname {dim} (\operatorname {im} (T))+\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))=\operatorname {dim} (V),}$

o equivalentemente,

${\displaystyle \operatorname {rgo} (T)+\operatorname {nul} (T)=\operatorname {dim} (V).}$

Demostración

Sea T : V → W una aplicación lineal. Supongamos que el conjunto ${\displaystyle \{\color {red}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black}\}\in V}$  forma una base del núcleo de T, (ker T). Por el teorema de extensión de la base, podemos extender este conjunto para formar una base de V: ${\displaystyle \{\color {red}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black},\color {blue}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\color {black}\}\in V}$ . Puesto que la dimensión del núcleo de T es m y la dimensión de V es m + n, solo se necesita demostrar que la dimensión de la imagen de T (im T) es n.

Veamos que el conjunto ${\displaystyle \{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}\in W}$  es una base de im T. Para ello, se debe demostrar que genera a im T y que son linealmente independientes.

Sea v un vector arbitrario en V. Existen escalares únicos tales que:

${\displaystyle \mathbf {v} =\color {red}a_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {u} _{m}\color {black}+\color {blue}b_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}\mathbf {w} _{n}}$ 

${\displaystyle \Rightarrow T\mathbf {v} =\color {red}a_{1}T\mathbf {u} _{1}+\cdots +a_{m}T\mathbf {u} _{m}\color {black}+\color {blue}b_{1}T\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}T\mathbf {w} _{n}}$ 

${\displaystyle \Rightarrow T\mathbf {v} =\color {blue}b_{1}T\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}T\mathbf {w} _{n}\color {black}\;\;\because T\color {red}\mathbf {u} _{i}\color {black}=\mathbf {0} }$ 

Por lo tanto, ${\displaystyle \{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}}$  genera la im T.

Ahora, solo se necesita demostrar que el conjunto ${\displaystyle \{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}}$  es linealmente independiente. Podemos hacer esto demostrando que una combinación lineal de estos vectores es cero si y solo si el coeficiente de cada vector es cero. Sea:

${\displaystyle \color {blue}c_{1}T\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}T\mathbf {w} _{n}\color {black}=\mathbf {0} \Leftrightarrow T(\color {blue}c_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {w} _{n}\color {black})=\mathbf {0} }$ 

${\displaystyle \therefore \color {blue}c_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {w} _{n}\color {black}\in \operatorname {ker} \;T}$ 

Entonces, puesto que u_i genera a ker T, existe un conjunto de escalares d_i tales que:

${\displaystyle \color {blue}c_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {w} _{n}\color {black}=\color {red}d_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +d_{m}\mathbf {u} _{m}}$ 

Pero, puesto que el conjunto ${\displaystyle \{\color {red}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black},\color {blue}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\color {black}\}}$  forma una base de V, todos los escalares c_i, d_i deben ser cero. Por lo tanto, ${\displaystyle \{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}}$  es linealmente independiente y forma una base de im T. Esto prueba que la dimensión de im T es n, como se deseaba.

Véase también

• Núcleo
• Nulidad
• Imagen
• Rango

Referencias

1. Meyer (2000), page 199.

•   Datos: Q303402