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Geometría ordenada

Agosto 09, 2021

La geometría ordenada es un tipo de geometría que presenta el concepto de intermediación pero, como la geometría proyectiva, omitiendo la noción básica de medición. La geometría ordenada es una geometría básica que forma un marco de trabajo común para las geometrías afín, euclidiana, absoluta e hiperbólica (pero no la geometría proyectiva).

Historia

Moritz Pasch fue el primero en definir una geometría sin referencia a la medición en 1882. Sus axiomas fueron mejorados por Peano (1889), Hilbert (1899) y Veblen (1904).[1]​ Euclides anticipó la aproximación de Pasch en la definición 4 de Los Elementos: "una línea recta es aquella que pasa por igual por todos sus puntos".[2]​

Conceptos primitivos

Las únicas nociones primitivas en la geometría ordenada son los puntos A, B, C, ... y la relación de intermediación [ABC], que puede leerse como "B está entre A y C".

Definiciones

El segmento AB es el conjunto de puntos P tal que [APB].

El intervalo AB es el segmento AB y sus extremos A y B.

El rayo A/B (leído como "el rayo hacia A desde B") es el conjunto de puntos P tal que [PAB].

La línea AB es el intervalo AB y los dos rayos A/B y B/A. Los puntos en la línea AB se dicen colineales.

Un ángulo consiste en un punto O (el vértice) y dos rayos no colineales desde O (los lados).

Un triángulo se define dados tres puntos no colineales (llamados vértices) y sus tres segmentos AB, BC y CA.

Dados tres puntos A, B y C no colineales, un plano ABC es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos en uno o dos de los lados del triángulo ABC.

Dados cuatro puntos A, B, C y D no colineales, un espacio (tridimensional) ABCD es el conjunto de puntos colineales con pares de puntos seleccionados a partir de cualquiera de las cuatro caras (regiones planas) del tetraedro ABCD.

Axiomas de la geometría ordenada

  1. Existen al menos dos puntos.
  2. Si A y B son dos puntos distintos, entonces existe un punto C tal que [ABC].
  3. Si [ABC], entonces A y C son distintos (A≠C).
  4. Si [ABC], entonces [CBA] pero no [CAB].
  5. Si C y D son puntos distintos en la línea AB, entonces A está en la línea CD.
  6. Si AB es una línea, entonces existe un punto C que no está en la línea AB.
  7. (Axioma de Pasch) Si ABC es un triángulo y [BCD] y [CEA], entonces existe un punto F en la línea DE tal que [AFB].
  8. Axioma de dimensionalidad:
    1. Para la geometría ordenada plana, todos los puntos están en un único plano, o
    2. si ABC es un plano, entonces existe un punto D que no está en el plano ABC.
  9. Todos los puntos están en el mismo plano, espacio, etc. (dependiendo de la dimensión que uno elija para trabajar).
  10. (Axioma de Dedekind) Para toda partición de todos los puntos de una línea en dos conjuntos no vacíos tal que ninguno de los puntos de cualquiera se sitúa entre dos puntos de la otra, existe un punto de uno de los conjuntos que se sitúa entre todos los otros puntos de ese conjunto y todo punto del otro conjunto.

Los axiomas están fuertemente relacionados con los axiomas de orden de Hilbert.

Resultados

El problema de Sylvester de los puntos colineales

El teorema de Sylvester-Gallai puede probarse dentro de la geometría ordenada.[3]​[4]​

Paralelismo

Gauss, Bolyai y Lobachevsky desarrollaron una noción de paralelismo expresable en la geometría ordenada.[5]​

Teorema (existencia del paralelismo): Dados un punto A y una línea r que no pasa por A, existen exactamente dos rayos desde A en el plano Ar que no cortan a r. Por ello, existe una línea paralela a través de A que no corta a r.

Teorema (transmisibilidad del paralelismo): El paralelismo de un rayo y una línea se preserva añadiendo o sustrayendo un segmento del inicio del rayo.

La simetría del paralelismo no puede probarse en la geometría ordenada.[6]​ De este modo, el concepto de paralelismo ordenado no define una relación de equivalencia sobre líneas.

Véase también

Referencias

  1. Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. Nueva York: John Wiley & Sons. pp. 176. ISBN 0471504580. 
  2. Heath, Thomas (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (Vol 1). Nueva York: Dover Publications. pp. 165. ISBN 0486600882. 
  3. Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. Nueva York: John Wiley & Sons. pp. 181–182. ISBN 0471504580. 
  4. Pambuccian, Victor (2009). «A Reverse Analysis of the Sylvester-Gallai Theorem». Notre Dame Journal of Formal Logic 50: 245-260. doi:10.1215/00294527-2009-010. 
  5. Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. Nueva York: John Wiley & Sons. pp. 189–190. ISBN 0471504580. 
  6. Bussemann, Herbert (1955). Geometry of Geodesics. Nueva York: Academic Press. p. 139. ISBN 0121483509. 

Enlaces externos

  •   Datos: Q7100712

Agosto 09, 2021
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La geometria ordenada es un tipo de geometria que presenta el concepto de intermediacion pero como la geometria proyectiva omitiendo la nocion basica de medicion La geometria ordenada es una geometria basica que forma un marco de trabajo comun para las geometrias afin euclidiana absoluta e hiperbolica pero no la geometria proyectiva Indice 1 Historia 2 Conceptos primitivos 3 Definiciones 4 Axiomas de la geometria ordenada 5 Resultados 5 1 El problema de Sylvester de los puntos colineales 5 2 Paralelismo 6 Vease tambien 7 Referencias 8 Enlaces externosHistoria EditarMoritz Pasch fue el primero en definir una geometria sin referencia a la medicion en 1882 Sus axiomas fueron mejorados por Peano 1889 Hilbert 1899 y Veblen 1904 1 Euclides anticipo la aproximacion de Pasch en la definicion 4 de Los Elementos una linea recta es aquella que pasa por igual por todos sus puntos 2 Conceptos primitivos EditarLas unicas nociones primitivas en la geometria ordenada son los puntos A B C y la relacion de intermediacion ABC que puede leerse como B esta entre A y C Definiciones EditarEl segmento AB es el conjunto de puntos P tal que APB El intervalo AB es el segmento AB y sus extremos A y B El rayo A B leido como el rayo hacia A desde B es el conjunto de puntos P tal que PAB La linea AB es el intervalo AB y los dos rayos A B y B A Los puntos en la linea AB se dicen colineales Un angulo consiste en un punto O el vertice y dos rayos no colineales desde O los lados Un triangulo se define dados tres puntos no colineales llamados vertices y sus tres segmentos AB BC y CA Dados tres puntos A B y C no colineales un plano ABC es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos en uno o dos de los lados del triangulo ABC Dados cuatro puntos A B C y D no colineales un espacio tridimensional ABCD es el conjunto de puntos colineales con pares de puntos seleccionados a partir de cualquiera de las cuatro caras regiones planas del tetraedro ABCD Axiomas de la geometria ordenada EditarExisten al menos dos puntos Si A y B son dos puntos distintos entonces existe un punto C tal que ABC Si ABC entonces A y C son distintos A C Si ABC entonces CBA pero no CAB Si C y D son puntos distintos en la linea AB entonces A esta en la linea CD Si AB es una linea entonces existe un punto C que no esta en la linea AB Axioma de Pasch Si ABC es un triangulo y BCD y CEA entonces existe un punto F en la linea DE tal que AFB Axioma de dimensionalidad Para la geometria ordenada plana todos los puntos estan en un unico plano o si ABC es un plano entonces existe un punto D que no esta en el plano ABC Todos los puntos estan en el mismo plano espacio etc dependiendo de la dimension que uno elija para trabajar Axioma de Dedekind Para toda particion de todos los puntos de una linea en dos conjuntos no vacios tal que ninguno de los puntos de cualquiera se situa entre dos puntos de la otra existe un punto de uno de los conjuntos que se situa entre todos los otros puntos de ese conjunto y todo punto del otro conjunto Los axiomas estan fuertemente relacionados con los axiomas de orden de Hilbert Resultados EditarEl problema de Sylvester de los puntos colineales Editar El teorema de Sylvester Gallai puede probarse dentro de la geometria ordenada 3 4 Paralelismo Editar Gauss Bolyai y Lobachevsky desarrollaron una nocion de paralelismo expresable en la geometria ordenada 5 Teorema existencia del paralelismo Dados un punto A y una linea r que no pasa por A existen exactamente dos rayos desde A en el plano Ar que no cortan a r Por ello existe una linea paralela a traves de A que no corta a r Teorema transmisibilidad del paralelismo El paralelismo de un rayo y una linea se preserva anadiendo o sustrayendo un segmento del inicio del rayo La simetria del paralelismo no puede probarse en la geometria ordenada 6 De este modo el concepto de paralelismo ordenado no define una relacion de equivalencia sobre lineas Vease tambien EditarGeometria de incidencia Geometria euclidiana Axiomas de Hilbert Axiomas de Tarski Geometria afin Geometria absoluta Geometria no euclidiana Programa de ErlangenReferencias Editar Coxeter H S M 1969 Introduction to Geometry Nueva York John Wiley amp Sons pp 176 ISBN 0471504580 Heath Thomas 1956 The Thirteen Books of Euclid s Elements Vol 1 Nueva York Dover Publications pp 165 ISBN 0486600882 Coxeter H S M 1969 Introduction to Geometry Nueva York John Wiley amp Sons pp 181 182 ISBN 0471504580 Pambuccian Victor 2009 A Reverse Analysis of the Sylvester Gallai Theorem Notre Dame Journal of Formal Logic 50 245 260 doi 10 1215 00294527 2009 010 Coxeter H S M 1969 Introduction to Geometry Nueva York John Wiley amp Sons pp 189 190 ISBN 0471504580 Bussemann Herbert 1955 Geometry of Geodesics Nueva York Academic Press p 139 ISBN 0121483509 Enlaces externos EditarOrdered Geometry en PlanetMath Datos Q7100712Obtenido de https es wikipedia org w index php title Geometria ordenada amp oldid 133359713, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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