Derivación (matemática)

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$  una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$ , llamaremos derivación en el punto ${\displaystyle p_{}^{}}$  a

${\displaystyle \forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R} }$  aplicación ${\displaystyle \mathbb {R} -}$ lineal, es decir:

${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,}$ 

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^{},}$ 

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^{}.}$ 

y tal que ${\displaystyle \delta _{p}(f\cdot g)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),}$  ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$ , es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$  es el conjunto de funciones diferenciables en ${\displaystyle M_{}^{}}$ , y es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$ álgebra conmutativa, (es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$ espacio vectorial).

${\displaystyle f_{|p}^{}}$  es equivalente a ${\displaystyle f(p)_{}^{}}$ , es decir, ${\displaystyle f_{}^{}}$  evaluado en el punto ${\displaystyle p_{}^{}.}$ 

Ejemplos de derivación

La derivada parcial

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$  y ${\displaystyle p\in M}$ , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}}$ 

Demostración

Veamos primero que es ${\displaystyle \mathbb {R} -}$ lineal, es decir, que ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R} }$  vemos que:

• ${\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},}$ 

• ${\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$ 

Veamos finalmente que es una derivación:

${\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$ 

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1}$ , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.}$ 

Derivación en variedades

Artículo principal: Aplicación progrediente

 

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$  una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$ , llamaremos espacio tangente a ${\displaystyle M_{}^{}}$  en ${\displaystyle p_{}^{}}$  al ${\displaystyle \mathbb {R} -}$ espacio vectorial de las derivaciones de ${\displaystyle M_{}^{}}$  en ${\displaystyle p_{}^{}}$ , notado por ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}$ , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a ${\displaystyle M_{}^{}}$  en ${\displaystyle p_{}^{}.}$ 

Consecuencias

Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$  una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M}$ , ${\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$  y ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$  tal que ${\displaystyle \exists {}U_{}^{}}$  entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$  donde ${\displaystyle f(x)=\lambda }$ , ${\displaystyle \forall x\in M}$ , entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}f=0.}$ 

Demostración

Por linealidad de ${\displaystyle \delta _{p}^{}}$  tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=}$  ${\displaystyle \lambda \delta _{p}(1),}$ 

aquí aplicando la condición de derivación a ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)}$  tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=}$  ${\displaystyle \delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^{}(1)=}$  ${\displaystyle \delta _{p}(1)+\delta _{p}^{}(1),}$ 

de simplificar, este último, resulta ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)=0}$  aplicadolo al anterior resulta que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=0.}$ 

Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ :

• la función meseta ${\displaystyle \rho }$  asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$ , donde ${\displaystyle \rho (x)=1,}$  ${\displaystyle \forall x\in k\subset V,\;k}$  compacto cuyo interior contiene a ${\displaystyle p_{}^{}.}$ 

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$  una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ , ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$  y ${\displaystyle \rho }$  una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$ , tenemos que:

${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).}$ 

Demostración

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)}$ , por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=}$ ${\displaystyle 0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^{}(f)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f).}$ 

Propiedad

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$  una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$  y ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$  tal que ${\displaystyle \exists {}V_{}^{}}$  entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$  donde ${\displaystyle f_{|V}^{}=g_{|V}}$ , entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g)}$ .

Demostración

Sea ${\displaystyle \rho }$  una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$ , tenemos así que ${\displaystyle \rho \cdot f=\rho \cdot g_{}^{}}$  en todo ${\displaystyle M_{}^{}}$  también ${\displaystyle \rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)}$  por tanto ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)}$  y por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g).}$ 

Tipos de derivaciones

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

• Derivada de una aplicación entre variedades
• Derivada exterior
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Diferencial de una función
• Derivada parcial
• Derivada funcional

Referencias

Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.

•   Datos: Q8354970