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Distancia

En las matemáticas, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica.

Plano de Manhattan. La distancia euclidiana (segmento verde), no se corresponde con el «camino más corto posible» ente dos puntos de dicha ciudad, además de no existir solo un camino de menor longitud.

En física, la distancia es una magnitud escalar, que se expresa en unidades de longitud.

Distancia en la geometría con coordenadas

Distancia en la recta

Existe una biyección (una correspondencia elemento a elemento) entre los puntos de una recta y el conjunto   de los números reales, de modo que a cada número real le corresponde un solo punto, y a cada punto, exactamente un número real. Para hacer esto se precisa de un punto O y fijo de la recta y otro punto U, tal que por definición 1 es la abscisa de U. Se denota U(1). Están a la derecha los puntos de abscisa positiva, a la izquierda los puntos de abscisa negativa, y el origen O, tiene abscisa 0. Tal recta provista de abscisas para su puntos se denomina recta real.

Si   y   son dos puntos de la recta real, entonces la distancia entre los puntos A y B es   [1]

Distancia de dos puntos en el plano

Si   y   son dos puntos de un plano cartesiano, entonces la distancia entre dichos puntos es calculable de la siguiente manera: Creese un tercer punto, llamese   a partir del cuál se forma un triángulo rectángulo. Prosiguiendo a usar el Teorema de Pitágoras , con el segmento AB cómo hipotenusa. . Prosiguiendo a reemplazar la fórmula por los elementos de cada segmento y realizando el procedimiento:

 
 
 
  [2]

Distancia en espacio métrico

Desde un punto de vista formal, para un conjunto de elementos   se define distancia o métrica como cualquier función matemática o aplicación   de   en   que verifique las siguientes condiciones:

  • No negatividad:
 
 
- Es decir, la distancia es cero si solo si se induce sobre el mismo punto
 
  [3]

Si dejamos de exigir que se cumpla esta última condición, al concepto resultante se le denomina pseudodistancia o pseudométrica.

La distancia es el concepto fundamental de la Topología de Espacios Métricos. Un espacio métrico no es otra cosa que un par  , donde   es un conjunto en el que definimos una distancia  .

En el caso de que tuviéramos un par   y   fuera una pseudodistancia sobre  , entonces diríamos que tenemos un espacio pseudométrico.

Si   es un espacio métrico y  , podemos restringir   a   de la siguiente forma:   de forma que si   entonces   (es decir,  ). La aplicación   es también una distancia sobre  , y como comparte sobre   los mismos valores que  , se denota también de la misma manera, es decir, diremos que   es subespacio métrico de  .

Distancia de un punto a un conjunto

Si   es un espacio métrico,  ,   y  , podemos definir la distancia del punto   al conjunto   de la siguiente manera:

 .[4]

Es de destacar las siguientes tres propiedades:

  • En primer lugar, en las condiciones dadas, siempre existirá esa distancia, pues   tiene por dominio  , así que para cualquier   existirá un único valor real positivo  . Por la completitud de   y como la imagen de d está acotada inferiormente por 0, queda garantizada la existencia del ínfimo de ese conjunto, esto es, la distancia del punto al conjunto.
  • Si   entonces  .
  • Puede ser que   pero  , por ejemplo si   es un punto de adherencia de  . De hecho, la clausura de   es precisamente el conjunto de los puntos de   que tienen distancia 0 a  .

Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclidiana.

Puede utilizarse el siguiente método: Dado un punto (n,m) que no pertenece a la recta f(x), 1) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a f(x) que pasa por (n,m). Esto acarrea dos pasos: hallar la pendiente (pendiente perpendicular) y hallar la ordenada al origen (reemplazando el punto (n,m) y despejando). 2) Hallar la intersección entre estas dos rectas. Esto acarrea dos pasos: hallar la x de la intersección por igualación, hallar la y de la intersección sustituyendo la x en cualquiera de las dos ecuaciones. Con esto se obtiene el punto (o,p) 3) Hallar la distancia entre (n,m) y (o,p).

Distancia entre dos conjuntos

Si   es un espacio métrico,   y  ,  ,  , podemos definir la distancia entre los conjuntos   y   de la siguiente manera:

 .[5]

Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además  , pero puede ocurrir que   y sin embargo  . Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas.

Por ejemplo, el conjunto   y el conjunto  . Por un lado,  ,   y  , y por otro  .

La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclidiana.

Referencias y notas

  1. Howard E. Taylor; Thomas L. Wade: Geometría analítica bidimensional Subconjuntos del plano. Editorial Limusa S.A. de C.V, México D.F. ( 1986) ISBN 968-18-0038-9
  2. D. Kleténik: Problemas de geometría analítica. Editorial Mir, Moscú (1968); revisado por N. Efímov, traducción de Emilio Aparicio Bernardo.
  3. Walter Rudin: Principios de análisis matemático. Libros McGraw-Hill, impreso en México D-F. (1980). Lo traduce Miguel Irán ,o revisa Luis Briseño.
  4. V.A. Trenogui-B.M. Pisarievki-T-S. Sóboleva: Problemas y ejercicios de análisiS funcionaL. Editorial Mir, Moscú (1984) ; traduce del ruso, Andriánova M.A ; impreso en la URSS.
  5. Trenoguin y otros: Op. cit.

Véase también

  •   Datos: Q126017
  •   Multimedia: Distance
  •   Citas célebres: Distancia

distancia, para, otros, usos, este, término, véase, desambiguación, matemáticas, distancia, entre, puntos, espacio, euclídeo, equivale, longitud, segmento, recta, expresado, numéricamente, espacios, más, complejos, como, definidos, geometría, euclidiana, camin. Para otros usos de este termino vease Distancia desambiguacion En las matematicas la distancia entre dos puntos del espacio euclideo equivale a la longitud del segmento de la recta que los une expresado numericamente En espacios mas complejos como los definidos en la geometria no euclidiana el camino mas corto entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodesica Plano de Manhattan La distancia euclidiana segmento verde no se corresponde con el camino mas corto posible ente dos puntos de dicha ciudad ademas de no existir solo un camino de menor longitud En fisica la distancia es una magnitud escalar que se expresa en unidades de longitud Indice 1 Distancia en la geometria con coordenadas 1 1 Distancia en la recta 1 2 Distancia de dos puntos en el plano 2 Distancia en espacio metrico 2 1 Distancia de un punto a un conjunto 2 2 Distancia entre dos conjuntos 3 Referencias y notas 4 Vease tambienDistancia en la geometria con coordenadas EditarDistancia en la recta Editar Existe una biyeccion una correspondencia elemento a elemento entre los puntos de una recta y el conjunto R displaystyle mathbb R de los numeros reales de modo que a cada numero real le corresponde un solo punto y a cada punto exactamente un numero real Para hacer esto se precisa de un punto O y fijo de la recta y otro punto U tal que por definicion 1 es la abscisa de U Se denota U 1 Estan a la derecha los puntos de abscisa positiva a la izquierda los puntos de abscisa negativa y el origen O tiene abscisa 0 Tal recta provista de abscisas para su puntos se denomina recta real Si A x 1 displaystyle A x 1 y B x 2 displaystyle B x 2 son dos puntos de la recta real entonces la distancia entre los puntos A y B es d A B x 2 x 1 displaystyle d A B x 2 x 1 1 Distancia de dos puntos en el plano Editar Si A x 1 y 1 displaystyle A x 1 y 1 y B x 2 y 2 displaystyle B x 2 y 2 son dos puntos de un plano cartesiano entonces la distancia entre dichos puntos es calculable de la siguiente manera Creese un tercer punto llamese P x 2 y 1 displaystyle P x 2 y 1 a partir del cual se forma un triangulo rectangulo Prosiguiendo a usar el Teorema de Pitagoras con el segmento AB como hipotenusa H 2 c a t 1 2 c a t 2 2 displaystyle H 2 cat 1 2 cat 2 2 Prosiguiendo a reemplazar la formula por los elementos de cada segmento y realizando el procedimiento d A B 2 A P 2 B P 2 displaystyle d AB 2 AP 2 BP 2 d A B 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 displaystyle d AB 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 d A B 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 displaystyle sqrt d AB 2 sqrt x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 d A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 displaystyle d AB sqrt x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 2 dd Distancia en espacio metrico EditarDesde un punto de vista formal para un conjunto de elementos X displaystyle X se define distancia o metrica como cualquier funcion matematica o aplicacion d a b displaystyle d a b de X X displaystyle X times X en R displaystyle mathbb R que verifique las siguientes condiciones No negatividad a b X d a b 0 displaystyle forall a b in X quad d a b geq 0 a b X d a b 0 a b displaystyle a b in X quad d a b 0 quad Longleftrightarrow quad a b Es decir la distancia es cero si solo si se induce sobre el mismo punto dd Simetria a b X d a b d b a displaystyle forall a b in X quad d a b d b a dd Desigualdad triangular a b c X d a b d a c d c b displaystyle forall a b c in X quad d a b leq d a c d c b 3 dd Si dejamos de exigir que se cumpla esta ultima condicion al concepto resultante se le denomina pseudodistancia o pseudometrica La distancia es el concepto fundamental de la Topologia de Espacios Metricos Un espacio metrico no es otra cosa que un par X d displaystyle X d donde X displaystyle X es un conjunto en el que definimos una distancia d displaystyle d En el caso de que tuvieramos un par X d displaystyle X d y d displaystyle d fuera una pseudodistancia sobre X displaystyle X entonces diriamos que tenemos un espacio pseudometrico Si X d displaystyle X d es un espacio metrico y E X displaystyle E subset X podemos restringir d displaystyle d a E displaystyle E de la siguiente forma d E E R displaystyle d E times E longrightarrow mathbb R de forma que si x y E displaystyle x y in E entonces d x y d x y displaystyle d x y d x y es decir d d E E displaystyle d d E times E La aplicacion d displaystyle d es tambien una distancia sobre d displaystyle d y como comparte sobre E E displaystyle E times E los mismos valores que d displaystyle d se denota tambien de la misma manera es decir diremos que E d displaystyle E d es subespacio metrico de X d displaystyle X d Distancia de un punto a un conjunto Editar Si X d displaystyle X d es un espacio metrico E X displaystyle E subset X E displaystyle E neq varnothing y x X displaystyle x in X podemos definir la distancia del punto x displaystyle x al conjunto E displaystyle E de la siguiente manera d x E inf d x y y E displaystyle d x E inf d x y y in E 4 Es de destacar las siguientes tres propiedades En primer lugar en las condiciones dadas siempre existira esa distancia pues d displaystyle d tiene por dominio X X displaystyle X times X asi que para cualquier y E displaystyle y in E existira un unico valor real positivo d x y displaystyle d x y Por la completitud de R displaystyle mathbb R y como la imagen de d esta acotada inferiormente por 0 queda garantizada la existencia del infimo de ese conjunto esto es la distancia del punto al conjunto Si x E displaystyle x in E entonces d x E 0 displaystyle d x E 0 Puede ser que d x E 0 displaystyle d x E 0 pero x E displaystyle x notin E por ejemplo si x displaystyle x es un punto de adherencia de E displaystyle E De hecho la clausura de E displaystyle E es precisamente el conjunto de los puntos de X displaystyle X que tienen distancia 0 a E displaystyle E Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son mas que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto cuando se considera la distancia euclidiana Puede utilizarse el siguiente metodo Dado un punto n m que no pertenece a la recta f x 1 Hallar la ecuacion de la recta perpendicular a f x que pasa por n m Esto acarrea dos pasos hallar la pendiente pendiente perpendicular y hallar la ordenada al origen reemplazando el punto n m y despejando 2 Hallar la interseccion entre estas dos rectas Esto acarrea dos pasos hallar la x de la interseccion por igualacion hallar la y de la interseccion sustituyendo la x en cualquiera de las dos ecuaciones Con esto se obtiene el punto o p 3 Hallar la distancia entre n m y o p Distancia entre dos conjuntos Editar Si X d displaystyle X d es un espacio metrico A X displaystyle A subset X y B X displaystyle B subset X A displaystyle A neq varnothing B displaystyle B neq varnothing podemos definir la distancia entre los conjuntos A displaystyle A y B displaystyle B de la siguiente manera d A B inf d x y x A y B displaystyle d A B inf d x y x in A y in B 5 Por la misma razon que antes siempre esta definida Ademas d A A 0 displaystyle d A A 0 pero puede ocurrir que d A B 0 displaystyle d A B 0 y sin embargo A B displaystyle A neq B Es mas podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos e incluso que tengan clausuras disjuntas Por ejemplo el conjunto A x 0 x R displaystyle A x 0 x in mathbb R y el conjunto B x e x x R displaystyle B x e x x in mathbb R Por un lado A cl A displaystyle A operatorname cl A B cl B displaystyle B operatorname cl B y A B displaystyle A cap B varnothing y por otro d A B 0 displaystyle d A B 0 La distancia entre dos rectas la distancia entre dos planos etc no son mas que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclidiana Referencias y notas Editar Howard E Taylor Thomas L Wade Geometria analitica bidimensional Subconjuntos del plano Editorial Limusa S A de C V Mexico D F 1986 ISBN 968 18 0038 9 D Kletenik Problemas de geometria analitica Editorial Mir Moscu 1968 revisado por N Efimov traduccion de Emilio Aparicio Bernardo Walter Rudin 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