donde el producto es tomado sobre todos los números primos p que dividen a n (por convención, ψ(1) es el producto vacío y tiene el valor 1). La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares.
ψ(n) es mayor que n para todo n mayor que 1, y es par para todo n mayor que 2. Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ψ(n) = σ(n).
La función ψ puede también ser definida mediante la propiedad ψ(pn) = (p+1)pn-1 para potencias de cualquier primo p, y luego extender la definición a todos los enteros por multiplicabilidad. Esto también permite una demostración de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann, que es
función, dedekind, teoría, números, función, dedekind, función, multiplicativa, sobre, enteros, positivos, definida, displaystyle, prod, left, frac, right, donde, producto, tomado, sobre, todos, números, primos, dividen, convención, producto, vacío, tiene, val. En teoria de numeros la funcion psi de Dedekind es la funcion multiplicativa sobre los enteros positivos definida por ps n n p n 1 1 p displaystyle psi n n prod p n left 1 frac 1 p right donde el producto es tomado sobre todos los numeros primos p que dividen a n por convencion ps 1 es el producto vacio y tiene el valor 1 La funcion fue introducida por Richard Dedekind en conexion con las funciones modulares El valor de ps n para los primeros enteros n es 1 3 4 6 6 12 8 12 12 18 12 24 sucesion A001615 en OEIS ps n es mayor que n para todo n mayor que 1 y es par para todo n mayor que 2 Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ps n s n La funcion ps puede tambien ser definida mediante la propiedad ps pn p 1 pn 1 para potencias de cualquier primo p y luego extender la definicion a todos los enteros por multiplicabilidad Esto tambien permite una demostracion de la funcion generadora en terminos de la funcion zeta de Riemann que es ps n n s z s z s 1 z 2 s displaystyle sum frac psi n n s frac zeta s zeta s 1 zeta 2s Esto tambien es una consecuencia del hecho de que se puede escribir como una convolucion de Dirichlet ps n ϵ 2 displaystyle psi n epsilon 2 donde ϵ 2 displaystyle epsilon 2 es la funcion caracteristica de los cuadrados Grandes ordenes EditarLa generalizacion a grandes ordenes usando ratios de indicatrices de Jordan es ps k n J 2 k n J k n displaystyle psi k n frac J 2k n J k n donde la serie de Dirichlet n 1 ps k n n s z s z s k z 2 s displaystyle sum n geq 1 frac psi k n n s frac zeta s zeta s k zeta 2s Es tambien la convolucion de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la funcion de Mobius ps k n n k m 2 n displaystyle psi k n n k mu 2 n Si ϵ 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 displaystyle epsilon 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ldots es la funcion caracteristica de los cuadrados otra convolucion de Dirichlet permite la generalizacion de la funcion s ϵ 2 n ps k n s k n displaystyle epsilon 2 n psi k n sigma k n Referencias EditarGoro Shimura 1971 Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions en ingles Princeton page 25 equation 1 Carella N A 2010 Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions en ingles arXiv 1012 4817 Mathar Richard J 2011 Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions en ingles arXiv 1106 4038 Section 3 13 2 A065958 es ps2 A065959 es ps3 y A065960 es ps4Enlaces externos EditarWeisstein Eric W Dedekind Function En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q1182153Obtenido de https es wikipedia org w index php title Funcion psi de Dedekind amp oldid 120121275, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,